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第八章 立体几何初步 章末复习课
　　　　　　
一、几何体的表面积与体积
1．主要考查多面体、旋转体的表面积，旋转体的侧面展开图，柱体、锥体、台体的体积，球的表面积和体积，不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解．
2．利用公式求解表面积、体积，提高数学运算素养．
例1　在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈．求所得几何体的表面积和体积．
反思感悟　关于空间几何体的体积、表面积
首先要准确确定几何体的基本量，如球的半径，几何体的高、棱长等，其次是准确代入相关的公式计算．
跟踪训练1　如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(　　)
A. B.
C. D.
二、空间中的平行关系
1．空间中的平行主要有线线平行、线面平行、面面平行，主要考查在空间几何体中证明线面平行、面面平行以及线线平行．
2．通过线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化，提升逻辑推理和直观想象素养．
例2　已知M，N分别是底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD的棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)MN∥PE.
反思感悟　线线平行、线面平行、面面平行间的关系
线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行任意转化，相互间的转化关系如图．
跟踪训练2　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
三、空间中的垂直关系
1．主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，以及线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的联系与转化．
2．通过线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的转化，提升直观想象和逻辑推理素养．
例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)平面BEF⊥平面PCD.
反思感悟　线线垂直、线面垂直、面面垂直相互间的转化
跟踪训练3　如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝2，AB＝4.
(1)求证：AC⊥平面BCE；
(2)求证：AD⊥AE.
四、空间角的求法
1．空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定义及求法，求角时要先找角，再证角，最后在三角形中求角．
2．通过找角、证角、求角，提升逻辑推理与数学运算素养．
例4　如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的大小；
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
(3)二面角B－AO－C的大小．
反思感悟　(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)．
(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)．
(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②三垂线法；③垂面法．
跟踪训练4　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD.若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为45°，求二面角P－CD－B的大小．
章末复习课
例1　解　根据题意知，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈后所得几何体的上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半径等于圆柱体高的半球的组合体；
该组合体的表面积为
S几何体＝S圆锥侧＋S圆柱侧＋S半球＝×2π×2×2＋2π×2×2＋×4π×22＝(4＋16)π，
组合体的体积为
V几何体＝V圆锥＋V圆柱－V半球＝×π×22×2＋π×22×2－××π×23＝.
跟踪训练1　A　[如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，
容易求得EG＝FH＝，GH＝1，
AG＝DG＝BH＝CH＝，
取AD的中点O，连接OG，
易得OG＝，
∴S△ADG＝S△BCH＝××1＝，
∴多面体的体积V＝V三棱锥E-ADG＋V三棱锥F-BCH＋V三棱柱ADG-BCH＝2V三棱锥E-ADG＋V三棱柱ADG-BCH＝2×××＋×1＝.]
例2　证明　(1)如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ.
∵NQ是△PCD的中位线，
∴NQ∥PD.
∵NQ 平面PAD，PD 平面PAD，
∴NQ∥平面PAD.
∵M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴MQ∥AD.
∵MQ 平面PAD，AD 平面PAD，
∴MQ∥平面PAD.
∵MQ∩NQ＝Q，
∴平面MNQ∥平面PAD.
∵MN 平面MNQ，
∴MN∥平面PAD.
(2)∵平面MNQ∥平面PAD，平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE，
∴MN∥PE.
跟踪训练2　解　当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图，连接BD与AC交于点O，连接FO，则PF＝PB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，∴OF∥PD.
又OF 平面PMD，PD 平面PMD，
∴OF∥平面PMD.
又MA∥PB且MA＝PB，
∴PF∥MA且PF＝MA，
∴四边形AFPM是平行四边形，
∴AF∥PM.
又AF 平面PMD，PM 平面PMD，
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF 平面AFC，OF 平面AFC，
∴平面AFC∥平面PMD.
例3　证明　(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA 平面PAD，PA⊥AD，
所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，
所以AP⊥CD.
又因为AP∩AD＝A，AP，AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF，所以CD⊥EF.
又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，
EF，BE 平面BEF，
所以CD⊥平面BEF，
又CD 平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.
跟踪训练3　证明　(1)在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，
AB＝4，
所以AC＝BC＝2，
所以AC2＋BC2＝AB2，
所以AC⊥BC.
因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，
又AC 平面ABCD，
所以BE⊥AC.
又BE 平面BCE，BC 平面BCE，BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
(2)因为AF⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以AF⊥AD.
又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.
又AF 平面ABEF，AB 平面ABEF，AF∩AB＝A，
所以AD⊥平面ABEF，
又AE 平面ABEF，所以AD⊥AE.
例4　解　(1)∵A′C′∥AC，
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC(或其补角)．
∵AB⊥平面BC′，OC 平面BC′，
∴OC⊥AB，
又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO 平面ABO，
∴OC⊥平面ABO.
又OA 平面ABO，∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，
sin∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝30°.
即AO与A′C′所成的角为30°.
(2)如图，作OE⊥BC于点E，连接AE.
∵平面BC′⊥平面ABCD，平面BC′∩平面ABCD＝BC，OE 平面BC′，
∴OE⊥平面ABCD，
∴∠OAE为AO与平面ABCD所成的角．
在Rt△OAE中，OE＝，
AE＝＝，
∴tan∠OAE＝＝.
即AO与平面ABCD所成角的正切值为.
(3)由(1)可知OC⊥平面AOB.
又∵OC 平面AOC，
∴平面AOB⊥平面AOC.
即二面角B－AO－C的大小为90°.
跟踪训练4　解　∵AB⊥AD，CD∥AB，
∴CD⊥AD，
又PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，∴PA⊥CD.
又PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，
又PD 平面PAD，∴CD⊥PD，
∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角．
又直线PB与CD所成的角为45°，
∴∠PBA＝45°，PA＝AB.
∵AB＝AD，
∴在Rt△PAD中，PA＝AD，
∴∠PDA＝45°，
即二面角P－CD－B的大小为45°.

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