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广西南宁市2023-2024学年七年级上学期期末数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）
1．（3分）数2的倒数是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
2．（3分）如图，尉迟恭单鞭救主图罐是南宁博物馆的镇馆之宝，下列平面图形绕轴旋转一周能形成这个瓷罐形状的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）2023年11月15日第一届全国学生（青年）运动会在南宁开幕，为保障比赛顺利进行，其中数据16500用科学记数法表示为（　　）
A．0.165×105 B．1.65×104 C．1.65×105 D．16.5×103
4．（3分）如图，检测4个排球，其中质量超过标准的克数记为正数，从轻重的角度，下列最接近标准的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）下列各式中，次数为5的单项式是（　　）
A．x2 B．x3y2 C．3xy D．x3+y3
6．（3分）如图，射线OA表示的方向是（　　）
A．北偏东65° B．北偏西35° C．南偏东65° D．南偏西35°
7．（3分）如图，数轴上点A和点B分别表示数a和b，则下列式子正确的是（　　）
A．a＞0 B．ab＞0 C．a﹣b＞0 D．a+b＜0
8．（3分）已知x＝y，根据等式的性质下列变形正确的是（　　）
A．x＝2y B．x+1＝y+2 C．x﹣3＝y﹣3 D．
9．（3分）一件衣服的进价是100元，如果卖出后盈利25%，则这件衣服的售价是（　　）
A．110元 B．115元 C．120元 D．125元
10．（3分）如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，所得的圆柱侧面展开图是（　　）
A． B．
C． D．
11．（3分）中国一本著名数学文献《九章算术》，书中出现了一个“共买鸡问题”，原文是：今有共买鸡，盈十一；人出六，问人数、物价各几何？其题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x则下面符合题意的方程是（　　）
A．9x+11＝6x﹣16 B．9x+6x＝16+11
C．9x+11＝6x+16 D．9x﹣11＝6x+16
12．（3分）如图，图中都是由大小和形状完全相同的小四边形按照一定的规律排列组成，其中第①个图形中一共有1个小四边形，第③个图形中一共有6个小四边形，…，按此规律排列下去第⑤个图形中小四边形的个数是（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）|﹣4|＝　 　．
14．（2分）用四舍五入法取近似值：9.527≈　 　（精确到0.01）．
15．（2分）如图，把原来弯曲的河道改直，两地间的河道长度会变短这其中蕴含的数学道理是　 　．
16．（2分）一个角的度数是30°，则它的余角为 　 　度．
17．（2分）如图，点C是线段AB上一点，AB＝8cm，则BC＝　 　cm．
18．（2分）幻方是非常古老的数学问题，其要求将9个数分别填入图中9个格中，使得处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数字之和都相等．请你将数字﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，3，那么“ ”所在的格中应填的数字是 　 　．
1 3
0

三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）（+1）+（﹣5）﹣（﹣9）+（+4）；
（2）（﹣1）×（﹣6）+22÷（7﹣5）．
20．（8分）解方程：
（1）3x﹣2＝8+x；
（2）．
21．（8分）先化简，再求值：2（3a2b﹣a）﹣（3a2b﹣2a），其中a＝2，．
22．（8分）如图，已知点A，B和线段m．
（1）用圆规和直尺作图，保留作图痕迹，不写作法
①连接AB；
②延长AB到点C，使BC＝AB；
③在线段AB上作线段AD＝m；
（2）在（1）的条件下，若AB＝5，求CD的长．
23．（10分）某公司在直播间推广壮族绣球文化，同时销售壮族绣球，规定每天销量超过100个的部分记为“+”，如表是该公司一周的销售情况：
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
销量（个） 10 12 ﹣15 ﹣6 14 ﹣18 13
（1）该公司本周共销售绣球多少个？
（2）每个绣球售价定为20元，求该公司本周的总销售额．
24．（10分）实验与操作：
【课本回顾】如图1，我们通过折纸可以找出一个角的平分线，射线QT即是∠PQR的平分线．
【操作实践】如图2，将长方形纸片ABCD沿OC折叠，点B落在点B'处
（1）若x＝35°，求∠AOB'的度数；
【拓广探索】如图3，在图2的基础上，再将长方形纸片ABCD沿OD折叠，边OA′在OB′的左侧，若此时OB'平分∠BOD．
（2）求∠AOD（用含x的式子表示）；
（3）若∠A'OB'＝12°，请直接写出x的度数．
25．（10分）学校举办了迎新春中国象棋比赛，以下是部分选手的积分记录表：
选手 比赛总局数 胜局 平局 负局 积分
A 12 12 0 0 36
B 12 7 3 2 22
C 12 5 4 3 16
D 12 6 0 6 12
（1）请直接写出胜一局、平一局、负一局分别积几分；
（2）已知某选手E的负局数是胜局数的一半，他的胜局积分能等于平局积分的四倍吗？为什么？
26．（10分）综合与实践
【问题提出】随着时间的变化，钟面上时针和分针形成夹角的度数也随之变化，记时针和分针的夹角为α（a大于等于 0°，且小于等于 180° ）
分针运动规律 分针每分钟走6°
时针运动规律 时针每小时走30°即每分钟走0.5°
规定 当时针和分针指向刻度12记为0°
特例探究1（8点50分） 分针绕点O旋转所得角的度数是6°×50＝300°，时针绕点O旋转所得角的度数是30°×8+0.5°×50＝265°所以∠α＝300°﹣265°＝35°.
特例探究2（8时30分） 分针绕点O旋转所得角的度数是6°×30＝180°，时针绕点O旋转所得角的度数是30°×8+0.5°×30＝255°所以．∠α＝255°﹣180°＝75°. ．
特例探究3（8时10分） 分针绕点O旋转形成的角的度数是6°×10＝60°，时针绕点O旋转形成的角的度数是30°×8+0.5°×10＝245°，此时245°﹣60°＝185°，所以∠α＝360°﹣185°＝175°．
（1）当时间为7时30分时，请你求出∠α的度数；
（2）王老师7时整从家中出门散步，当她返回家中时还不到8时，此时她发现时针与分针形成的夹角正好是直角求王老师外出散步用了多少分钟？
2023-2024学年广西南宁市七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）
1．（3分）数2的倒数是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【分析】直接利用倒数的定义求2的倒数是；
【解答】解：2的倒数是；
故选：D．
【点评】本题考查倒数；熟练掌握倒数的求法是解题的关键．
2．（3分）如图，尉迟恭单鞭救主图罐是南宁博物馆的镇馆之宝，下列平面图形绕轴旋转一周能形成这个瓷罐形状的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】分别求出四个选项中的平面图形绕轴旋转一周所得到的几何体即可得出答案．
【解答】解：选项A，绕轴旋转一周为球体；
对于选项B，绕轴旋转一周为圆柱体；
对于选项C，绕轴旋转一周能够得到瓷罐形状；
对于选项D，绕轴旋转一周为不规则的圆锥体．
故选：C．
【点评】此题主要考查了简单几何体，平面图形的旋转，理解平面图形旋转得到简单几何体是解决问题的关键．
3．（3分）2023年11月15日第一届全国学生（青年）运动会在南宁开幕，为保障比赛顺利进行，其中数据16500用科学记数法表示为（　　）
A．0.165×105 B．1.65×104 C．1.65×105 D．16.5×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：16500＝1.65×104．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）如图，检测4个排球，其中质量超过标准的克数记为正数，从轻重的角度，下列最接近标准的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由已知和要求，只要求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的球．
【解答】解：通过求4个排球的绝对值得：
|+3.5|＝3.5，|﹣8.3|＝2.6，|﹣0.6|＝2.6，
﹣0.4的绝对值最小．
所以这个球是最接近标准的球．
故选：D．
【点评】本题考查了正数和负数，有理数的运算，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中表示的实际意义．
5．（3分）下列各式中，次数为5的单项式是（　　）
A．x2 B．x3y2 C．3xy D．x3+y3
【分析】根据单项式次数的定义即可求得答案．
【解答】解：x2的次数是2，则A不符合题意；
x2y2的次数是5，则B符合题意；
7xy的次数是2，则C不符合题意；
x3+y5的次数是3，则D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查单项式，熟练掌握相关定义是解题的关键．
6．（3分）如图，射线OA表示的方向是（　　）
A．北偏东65° B．北偏西35° C．南偏东65° D．南偏西35°
【分析】根据图中OA的位置，方向角的表示方法可得答案．
【解答】解：射线OA表示的方向是南偏东65°，
故选：C．
【点评】本题考查了方向角，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
7．（3分）如图，数轴上点A和点B分别表示数a和b，则下列式子正确的是（　　）
A．a＞0 B．ab＞0 C．a﹣b＞0 D．a+b＜0
【分析】根据数轴上的数得特点可知A在原点左侧，B在原点右侧，则a＜0，b＞0，且＞，根据所学知识即可做出判断，得到正确答案．
【解答】解：有图知：点A在原点左侧，
∴a＜0，故选项A错误；
又∵B在原点右侧，
∴b＞0，
∴a、b异号，
∴ab＜4，故选项B错误；
由图知a＜b，
∴a﹣b＜0，故选项C错误；
∵a＜0，b＞4，且＞，
∴a+b＜0，故选项D正确，
故答案选：D．
【点评】本题考查利用数轴比较有理数的大小比较，是属于基础，关键是掌握所学知识．
8．（3分）已知x＝y，根据等式的性质下列变形正确的是（　　）
A．x＝2y B．x+1＝y+2 C．x﹣3＝y﹣3 D．
【分析】等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，由此即可判断．
【解答】解：A、由x＝y，故A不符合题意；
B、由x＝y，或x+2＝y+2；
C、由x＝y，正确；
D、由x＝y＝或＝，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查等式的性质，关键是掌握等式的性质．
9．（3分）一件衣服的进价是100元，如果卖出后盈利25%，则这件衣服的售价是（　　）
A．110元 B．115元 C．120元 D．125元
【分析】根据单件售价＝单件进价+单件利润，列出算式进行计算即可．
【解答】解：由题意得：100+100×25%
＝100+25
＝125（元），
∴这件衣服的售价是125元，
故选：D．
【点评】本题主要考查了有理数的乘法，解题关键是理解单件售价＝单件进价+单件利润．
10．（3分）如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，所得的圆柱侧面展开图是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答】解：因圆柱的展开面为长方形，AC展开应该是两直线．
故选：B．
【点评】此题主要考查圆柱的展开图，以及学生的立体思维能力．
11．（3分）中国一本著名数学文献《九章算术》，书中出现了一个“共买鸡问题”，原文是：今有共买鸡，盈十一；人出六，问人数、物价各几何？其题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x则下面符合题意的方程是（　　）
A．9x+11＝6x﹣16 B．9x+6x＝16+11
C．9x+11＝6x+16 D．9x﹣11＝6x+16
【分析】设买鸡的人数为x，则鸡的价钱是（9x﹣11）文钱或（6x+16）文钱，根据鸡的价格不变可得9x﹣11＝6x+16，此题得解．
【解答】解：若设买鸡的人数为x，则鸡的价钱是（9x﹣11）文钱或（6x+16）文钱，
根据题意得：6x﹣11＝6x+16，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
12．（3分）如图，图中都是由大小和形状完全相同的小四边形按照一定的规律排列组成，其中第①个图形中一共有1个小四边形，第③个图形中一共有6个小四边形，…，按此规律排列下去第⑤个图形中小四边形的个数是（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
【分析】依次求出图形中小四边形的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第①个图形中小四边形的个数为：1＝1；
第②个图形中小四边形的个数为：5＝1+2；
第③个图形中小四边形的个数为：4＝1+2+6；
…，
所以第n个图形中小四边形的个数为：1+2+3+…+n＝；
当n＝7时，
（个），
即第⑤个图形中小四边形的个数为15个．
故选：D．
【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现小四边形个数变化的规律是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）|﹣4|＝　4　．
【分析】因为﹣4＜0，由绝对值的性质，可得|﹣4|的值．
【解答】解：|﹣4|＝4．
【点评】本题考查绝对值的化简，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
14．（2分）用四舍五入法取近似值：9.527≈　9.53　（精确到0.01）．
【分析】把千分位上的数字7进行四舍五入即可．
【解答】解：9.527≈9.53（精确到3.01）．
故答案为：9.53．
【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式．
15．（2分）如图，把原来弯曲的河道改直，两地间的河道长度会变短这其中蕴含的数学道理是　两点之间线段最短　．
【分析】直接利用线段的性质进而分析得出答案．
【解答】解：把原来弯曲的河道改直，两地间的河道长度会变短，
这其中蕴含的数学道理是两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
【点评】本题考查的是线段的性质，正确掌握两点之间线段最短是解题关键．
16．（2分）一个角的度数是30°，则它的余角为 　60　度．
【分析】根据余角的定义，即可求解．
【解答】解：∵一个角的度数是30°，
∴它的余角的度数为90°﹣30°＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题主要考查了余角的定义，熟练掌握互为余角的两个角的和等于90°是解题的关键．
17．（2分）如图，点C是线段AB上一点，AB＝8cm，则BC＝　6　cm．
【分析】根据线段图得到BC＝AB﹣AC，把数代入进行计算即可．
【解答】解：BC＝8﹣2＝5（cm），
故答案为：6cm．
【点评】本题考查了两点间的距离，解题的关键是根据线段间的数量关系来解答．
18．（2分）幻方是非常古老的数学问题，其要求将9个数分别填入图中9个格中，使得处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数字之和都相等．请你将数字﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，3，那么“ ”所在的格中应填的数字是 　4　．
1 3
0

【分析】根据所给数的特征，可知每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数字之和都等于0，进而得出答案．
【解答】解：如表所示：
1 x 3
5

∵﹣4﹣3﹣2﹣1+0+8+2+3+8＝0，处于每一横行．
∴1+x+7＝0，
解得x＝﹣4，
∴﹣3+0+ ＝0，
解得 ＝3．
故答案为：4．
【点评】本题考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则，能够根据所给的条件推理出每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数字之和等于0是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）（+1）+（﹣5）﹣（﹣9）+（+4）；
（2）（﹣1）×（﹣6）+22÷（7﹣5）．
【分析】（1）先把减法变成加法，再按有理数加减法的计算法则计算；
（2）先计算出乘方的结果，再按有理数混合运算的计算法则计算．
【解答】解：（1）（+1）+（﹣5）﹣（﹣2）+（+4）
＝1+（﹣2）+9+4
＝14+（﹣3）
＝9．
（2）（﹣1）×（﹣6）+22÷（6﹣5）
＝（﹣1）×（﹣7）+4×
＝6+2
＝5．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是按照运算顺序和计算法则进行计算．
20．（8分）解方程：
（1）3x﹣2＝8+x；
（2）．
【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答；
（2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）3x﹣2＝4+x，
3x﹣x＝8+6，
2x＝10，
x＝5；
（2），
3（x+1）＝8x+6，
3x+7＝2x+6，
5x﹣2x＝6﹣8，
x＝3．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
21．（8分）先化简，再求值：2（3a2b﹣a）﹣（3a2b﹣2a），其中a＝2，．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后将a＝2，b＝代入计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝6a2b﹣6a﹣3a2b+2a
＝3a2b，
当a＝3，b＝时，
原式＝5×22×
＝4．
【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握整式的加减及有理数的相关运算法则是解题的关键．
22．（8分）如图，已知点A，B和线段m．
（1）用圆规和直尺作图，保留作图痕迹，不写作法
①连接AB；
②延长AB到点C，使BC＝AB；
③在线段AB上作线段AD＝m；
（2）在（1）的条件下，若AB＝5，求CD的长．
【分析】（1）根据要求画出图形；
（2）求出AC，利用CD＝AC﹣AD求解．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）∵AB＝BC＝5，AD＝3，
∴AC＝10，
∴CD＝AC﹣AD＝10﹣8＝7．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，掌握线段的和差定义．
23．（10分）某公司在直播间推广壮族绣球文化，同时销售壮族绣球，规定每天销量超过100个的部分记为“+”，如表是该公司一周的销售情况：
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
销量（个） 10 12 ﹣15 ﹣6 14 ﹣18 13
（1）该公司本周共销售绣球多少个？
（2）每个绣球售价定为20元，求该公司本周的总销售额．
【分析】（1）根据题意列出算式计算即可；
（2）根据“总销售额＝数量×单售价”公式即可得到答案．
【解答】解：（1）100×7+10+12﹣15﹣6+14﹣18+13＝710（个），
答：该公司本周共销售绣球710个．
（2）710×20＝14200（元），
答：该公司本周的总销售额为14200元．
【点评】本题考查的是正负数，解题的关键是掌握有理数的运算法则．
24．（10分）实验与操作：
【课本回顾】如图1，我们通过折纸可以找出一个角的平分线，射线QT即是∠PQR的平分线．
【操作实践】如图2，将长方形纸片ABCD沿OC折叠，点B落在点B'处
（1）若x＝35°，求∠AOB'的度数；
【拓广探索】如图3，在图2的基础上，再将长方形纸片ABCD沿OD折叠，边OA′在OB′的左侧，若此时OB'平分∠BOD．
（2）求∠AOD（用含x的式子表示）；
（3）若∠A'OB'＝12°，请直接写出x的度数．
【分析】（1）由折叠可得∠B′OC＝∠BOC＝x＝35°，然后利用平角定义即可解决问题；
（2）根据OB'平分∠BOD，得∠B′OD＝∠BOB′＝2x，结合（1），利用平角定义即可解决问题；
（3）结合（2）利用平角定义列出方程，求出x的度数即可．
【解答】解：（1）由折叠可知：∠B′OC＝∠BOC＝x＝35°，
∴∠BOB′＝2×35°＝70°，
∴∠AOB'＝180°﹣∠BOB′＝180°﹣70°＝110°；
（2）由折叠可知：∠B′OC＝∠BOC＝x，
∴∠BOB′＝2x，
∵OB'平分∠BOD，
∴∠B′OD＝∠BOB′＝4x，
∴∠BOD＝4x，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣4x；
（3）由（2）知：∠AOD＝180°﹣5x；
由折叠可知：∠B′OC＝∠BOC＝x，∠A′OD＝∠AOD，
∴∠BOB′＝2x，∠A′OA＝2∠AOD＝6（180°﹣4x）＝360°﹣8x，
∵∠BOB′+∠A'OB'+∠A′OA＝180°，∠A'OB'＝12°，
∴6x+12°+360°﹣8x＝180°，
∴x＝32．
∴x的度数为32°．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本题的关键．
25．（10分）学校举办了迎新春中国象棋比赛，以下是部分选手的积分记录表：
选手 比赛总局数 胜局 平局 负局 积分
A 12 12 0 0 36
B 12 7 3 2 22
C 12 5 4 3 16
D 12 6 0 6 12
（1）请直接写出胜一局、平一局、负一局分别积几分；
（2）已知某选手E的负局数是胜局数的一半，他的胜局积分能等于平局积分的四倍吗？为什么？
【分析】（1）根据A可求得胜一局的积分，再根据D可求得负一局的积分，从而可求平一局的积分；
（2）可设选手E负局数为x，则胜局数为2x，可表示出平局数，再结合（1）进行求解即可．
【解答】解：（1）胜一局的积分为：36÷12＝3；
负一局的积分为：（12﹣3×7）÷6
＝（12﹣18）÷6
＝﹣5÷6
＝﹣1；
平一局的积分为：[16﹣7×5﹣（﹣1）×3]÷4
＝（16﹣15+3）÷5
＝4÷4
＝2；
答：胜一局积3分、平一局积1分；
（2）不能，理由如下：
设选手E负局数为x，依题意得：
2×2x＝4×6×（12﹣x﹣2x），
解得：x＝，不是整数，
故胜局积分不能等于平局积分的四倍．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
26．（10分）综合与实践
【问题提出】随着时间的变化，钟面上时针和分针形成夹角的度数也随之变化，记时针和分针的夹角为α（a大于等于 0°，且小于等于 180° ）
分针运动规律 分针每分钟走6°
时针运动规律 时针每小时走30°即每分钟走0.5°
规定 当时针和分针指向刻度12记为0°
特例探究1（8点50分） 分针绕点O旋转所得角的度数是6°×50＝300°，时针绕点O旋转所得角的度数是30°×8+0.5°×50＝265°所以∠α＝300°﹣265°＝35°.
特例探究2（8时30分） 分针绕点O旋转所得角的度数是6°×30＝180°，时针绕点O旋转所得角的度数是30°×8+0.5°×30＝255°所以．∠α＝255°﹣180°＝75°. ．
特例探究3（8时10分） 分针绕点O旋转形成的角的度数是6°×10＝60°，时针绕点O旋转形成的角的度数是30°×8+0.5°×10＝245°，此时245°﹣60°＝185°，所以∠α＝360°﹣185°＝175°．
（1）当时间为7时30分时，请你求出∠α的度数；
（2）王老师7时整从家中出门散步，当她返回家中时还不到8时，此时她发现时针与分针形成的夹角正好是直角求王老师外出散步用了多少分钟？
【分析】（1）根据题中的方法列式求解；
（2）根据“时针与分针形成的夹角正好是直角”列方程求解．
【解答】解：（1）分针绕点O旋转所得角的度数是6°×30＝180°，时针绕点O旋转所得角的度数是30°×7+3.5°×30＝225°，
所以：∠α＝225°﹣180°＝45°；
（2）设王老师外出散步用了x分钟，
则|30×7+4.5x﹣6x|＝90，
解得：x＝，
答：王老师外出散步用了分钟．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．

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