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§8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1　平　面
[学习目标]　
1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.
2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实.
3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系．
一、平面的概念、画法及表示
问题1　生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？
知识梳理　
平面的画法及表示
画法 平面水平放置 平面竖直放置
表示 ①平行四边形的四个顶点：平面______； ②对角顶点：平面______或平面______； ③希腊字母：平面______，平面________，平面γ
例1　(多选)下列说法正确的是(　　)
A．平面是处处平的面
B．平面是无限延展的
C．平面的形状是平行四边形
D．一个平面的厚度可以是0.001 cm
反思感悟　(1)“平面”是平的(这是区别“平面”与“曲面”的依据)；
(2)“平面”无厚薄之分；
(3)“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据．
跟踪训练1　下列说法正确的是(　　)
A．平行四边形是一个平面
B．任何一个平面图形都是一个平面
C．平静的太平洋面就是一个平面
D．一个平面可以将空间分成两部分
二、基本事实及应用
问题2　我们知道，两点确定一条直线，要确定一个平面需要几个点呢？过空间一点有几个平面？两个点呢？三个点呢？
问题3　如果直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内呢？如果直线与平面有两个公共点，直线在平面内吗？
问题4　我们把三角尺的一个顶点直立在桌面上，则该三角尺所在的平面与桌面是否只有一个公共点？
知识梳理　
1．点、直线、平面之间的基本位置的符号表示
文字语言 符号语言
点A在直线l上
点A在直线l外
点A在平面α内
点A在平面α外
直线l在平面α内
直线l不在平面α内
平面α，β相交于直线l
2.
基本事实 内容 图形 符号
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，____________一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2 如果一条直线上的____________在一个平面内，那么这条直线在________________ A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α ________
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的____________ P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l
3.
推论 内容 图形
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
角度1　立体几何三种语言的相互转化
例2　用符号表示下列语句，并画出图形．
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B.
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．
反思感悟　根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
跟踪训练2　(1)(多选)若点A在直线b上，直线b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作(　　)
A．A∈b B．b β C．A∈β D．A β
(2)如图所示，用符号语言可表述为(　　)
A．α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n α，A m，A n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
角度2　点、线共面问题
例3　已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．
反思感悟　证明点、线共面问题的常用方法
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”．
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”．
跟踪训练3　如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
角度3　共线、共点问题
例4　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M”，求证：点D，A，M三点共线．
反思感悟　(1)证明三点共线的方法
(2)证明三线共点的步骤
跟踪训练4　如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.求证：AB，CD，l共点．
1．知识清单：
(1)平面的概念．
(2)基本事实．
(3)共面、共线、共点问题．
2．方法归纳：同一法、纳入法．
3．常见误区：三种语言的相互转换．
1.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(　　)
A．平面MN B．平面NQP
C．平面α D．平面MNPQ
2．若一直线a在平面α内，则正确的作图是(　　)
3．空间四个点中，三点共线是这四个点共面的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为________．
8.4.1　平　面
问题1　无限延展、不计大小、不计厚薄、没有质量等.
知识梳理
ABCD　AC　BD　α　β
例1　AB　跟踪训练1　D
问题2　不共线的三个点；无数个平面；无数个平面；如果三点共线，则有无数个平面，如果三点不共线，有唯一的一个平面.
问题3　不在；在.
问题4　不是.三角尺所在的平面是可以无限延展的，用它去“穿透”课桌面，两个平面相交于一条直线.
知识梳理
1.A∈l　A l　A∈α　A α　l α　l α　α∩β＝l
2.有且只有　两个点　这个平面内
l α　公共直线
例2　解　(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图.
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图.
跟踪训练2　(1)ABC　(2)A
例3　证明　如图所示，∵a∥b，
∴过a，b有且只有一个平面α.
设a∩l＝A，b∩l＝B，
∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，
∴l α，即过a，b，l有且只有一个平面.
跟踪训练3　证明　方法一　(纳入法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2 α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
方法二　(同一法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
例4　证明　因为D1F∩CE＝M，
且D1F 平面A1D1DA，
所以M∈平面A1D1DA，
同理M∈平面BCDA，
从而M在两个平面的交线上，
因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，
所以M∈AD成立.
所以点D，A，M三点共线.
跟踪训练4　证明　因为在梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AB，CD是梯形ABCD的两腰，
所以AB，CD必定相交于一点，
如图，设AB∩CD＝M.
又因为AB α，CD β，
所以M∈α且M∈β，
又因为α∩β＝l，
所以M∈l.即AB，CD，l共点.
随堂演练
1.A　2.A　3.A　4.A∈l，l α

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