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8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系
[学习目标]　
1.了解空间中两直线间的位置关系.
2.理解空间中直线与平面的位置关系.
3.掌握空间中平面与平面的位置关系．
一、空间中两直线的位置关系
问题1　观察你所在的教室．
(1)教室内同一列的灯管所在的直线有什么位置关系？
(2)教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是平行直线吗？是相交直线吗？
知识梳理　
1．异面直线
(1)定义：不同在________________平面内的两条直线．
(2)异面直线的画法．
2．空间两条直线的三种位置关系
例1　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
反思感悟　(1)判断空间两条直线位置关系的诀窍
①建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线．
②重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．
(2)判断异面直线的方法
定义法 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
图象法 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线
反证法 判定两条直线既不平行也不相交，那么这两条直线就是异面直线
跟踪训练1　若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　)
A．平行
B．异面
C．相交
D．平行、相交或异面
二、直线与平面的位置关系
问题2　一支笔所在的直线与桌面所在的平面有哪些位置关系呢？
知识梳理　
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 有______公共点 __________公共点 ________公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
例2　(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是(　　)
A．直线上所有的点都在平面外
B．直线上有无数多个点都在平面外
C．直线上有无数多个点都在平面内
D．直线上至少有一个点在平面内
(2)(多选)若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中是假命题的是(　　)
A．若a∥b，b α，则a∥α
B．若a∥α，b∥α，则a∥b
C．若a∥b，b∥α，则a∥α
D．若a∥α，b α，则a∥b或a与b异面
反思感悟　在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断．
跟踪训练2　下列命题中正确的个数是(　　)
①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；
③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α.
A．0 B．1 C．2 D．3
三、平面与平面的位置关系
问题3　拿出一本书看作一个平面，随意上下、左右移动和翻转，它和桌面所在平面的位置关系有几种？有什么特点？
知识梳理　
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 ______公共点 有________个公共点(在一条直线上)
符号表示
图形表示
例3　如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是(　　)
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．无法确定
延伸探究　本例若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？
反思感悟　利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判断与两个平面的位置关系有关的命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法．
跟踪训练3　(多选)以下四个命题中，正确的有(　　)
A．在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
B．在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行
C．平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行
D．平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交
1．知识清单：
(1)两直线的位置关系．
(2)直线与平面的位置关系．
(3)平面与平面的位置关系．
2．方法归纳：举反例、特例．
3．常见误区：异面直线的判断．
1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(　　)
A．共面
B．平行
C．异面
D．平行或异面
2．若直线l∥平面α，直线a α，则(　　)
A．l∥a
B．l与a异面
C．l与a相交
D．l与a没有公共点
3．(多选)两平面α，β平行，a α，则下列四个命题正确的是(　　)
A．a与β内的所有直线平行
B．a与β内无数条直线平行
C．a与β至少有一个公共点
D．a与β没有公共点
4．(多选)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(　　)
8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系
问题1　(1)互相平行.
(2)既不是平行直线，也不是相交直线.
知识梳理
1.(1)任何一个　
2.相交直线　一个公共点　平行直线　没有公共点　没有公共点
例1　(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面
跟踪训练1　D
问题2　相交、平行、在平面内.
知识梳理
无数个　有且只有一个　没有
例2　(1)B
(2)ABC　[
可借助正方体来判断.如图，在正方体
ABCD－A1B1C1D1中，A1B1∥AB，AB 平面ABB1A1，
A1B1 平面ABB1A1，故A错误；A1B1∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD，
但A1B1与B1C1相交，故B错误；
AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB 平面ABB1A1，故C错误；
因为a∥α，所以a与α无公共点，又b在α内，所以a与b无公共点，所以a∥b或a与b异面.]
跟踪训练2　B　[
可借助正方体来判断.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC 平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，又b α，所以b∥α，故命题③正确.]
问题3　有两种.平行、相交.
特点：两个平面平行时，两者没有公共点；两个平面相交时，两者有一条公共直线.
知识梳理
没有　无数　α∥β　α∩β＝l
例3　C　[根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系，如图所示.
]
延伸探究　解　如图，a α，b β，a，b异面.
由图知这两个平面可能平行，也可能相交.
跟踪训练3　CD
随堂演练
1.D　2.D　3.BD　4.BD

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