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8.5.2　直线与平面平行
[学习目标]　
1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.
2.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行．
一、直线与平面平行的判定定理
问题1　如图将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在的平面有什么样的位置关系？该如何判定直线与平面平行呢？
知识梳理　
直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果平面外一条直线与__________________，那么该直线与此平面平行
符号语言 a α，b α，且a∥b a∥α
图形语言
例1　如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，B1C的中点．
求证：DE∥平面ACC1A1.
反思感悟　利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等．
跟踪训练1　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
二、直线与平面平行的性质定理
问题2　已知直线a与平面α平行，则直线a与平面α内的任一直线b有哪些位置关系？在什么条件下a与b平行？
知识梳理　
直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面________，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与________
符号语言 a∥α，________ a∥b
图形语言
例2　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
跟踪训练2　如图所示，在四面体ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．
1．知识清单：
(1)直线与平面平行的判定定理．
(2)直线与平面平行的性质定理．
2．方法归纳：转化与化归．
3．常见误区：证明线面平行时漏写线在平面外(内)．
1．下列命题正确的是(　　)
A．如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行
B．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行
C．如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行
D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行
2．直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面(　　)
A．有且只有一个
B．有无数多个
C．有且只有一个或不存在
D．不存在
3.如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.
8.5.2　直线与平面平行
问题1　AB平行于桌面所在平面，翻动过程中，封面另一边缘始终在桌面所在平面内，由直线与平面平行的定义可知，直线与平面无公共点，而此时直线AB与封面的另一边平行，同时，封面的另一边在平面内，那么该直线与此平面平行.
知识梳理
此平面内的一条直线平行　
例1　证明　方法一　连接BC1，AC1，
因为ABC－A1B1C1是斜三棱柱，
所以四边形BCC1B1为平行四边形，
由平行四边形性质得E也是BC1的中点.
因为D是AB的中点，
所以DE∥AC1.
又DE 平面ACC1A1，AC1 平面ACC1A1，
所以DE∥平面ACC1A1.
方法二　连接A1C，AC1交于点O，
连接OE，
则O是A1C的中点.
又E是B1C的中点，
所以OE∥A1B1，OE＝A1B1，
又AD∥A1B1，AD＝A1B1，
所以OE綉AD，
所以四边形ADEO是平行四边形，
所以AO∥DE，
因为AO 平面ACC1A1，DE 平面ACC1A1，
所以DE∥平面ACC1A1.
跟踪训练1　证明　连接BC1(图略)，
在△BCC1中，
∵E，F分别为BC，CC1的中点，
∴EF∥BC1，
又∵AB∥A1B1∥D1C1，
且AB＝A1B1＝D1C1，
∴四边形ABC1D1是平行四边形，
∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，
又EF 平面AD1G，AD1 平面AD1G，
∴EF∥平面AD1G.
问题2　平行或异面.当a与b不异面，即在同一个平面内时平行.
知识梳理
平行　交线平行　a β，α∩β＝b
例2　证明　如图，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点.
又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.
又∵AP 平面BDM，
OM 平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又∵AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.
跟踪训练2　证明　因为AB∥平面MNPQ，
平面ABC∩平面MNPQ＝MN，
且AB 平面ABC，
所以由线面平行的性质定理，
知AB∥MN.
同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.
同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形.
随堂演练
1.B　2.A　3.D　4.5

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