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习题课　二面角的平面角的常见解法
[学习目标]　
1.掌握二面角的定义及其平面角的作法.
2.会使用定义法、垂面法、垂线法、射影面积法求二面角的大小．
一、定义法求二面角
知识梳理　
定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，过这个点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．
例1　(1)如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝，求二面角V－AB－C的大小．
(2)二面角α－l－β的大小为60°，A，B分别在两个面内且A和B到棱l的距离分别为2和4，AB＝10，求AB与棱l所成角的正弦值．
反思感悟　利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面内作棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角．
二、垂面法求二面角
知识梳理　
垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角．如图，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．
例2　如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小．
反思感悟　二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面都相交，那么这两条交线所成的角即为该二面角的平面角．
三、垂线法求二面角
知识梳理　
垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角．如图，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．
例3　如图，平面β内一条直线AC，AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α－BD－β的大小．
反思感悟　如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用三垂线定理可证明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角．
四、射影面积法
例4　在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PCD所成的二面角的大小．
反思感悟　若多边形的面积为S，它在一个平面内的射影图形的面积为S′，且多边形与该平面所成的二面角为θ，则cos θ＝.
1．知识清单：二面角的定义及其平面角的作法，求二面角．
2．方法归纳：用定义法、垂面法、垂线法、射影面积法求二面角．
3．常见误区：寻找二面角的平面角，求二面角的三角函数值时出错．
1. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
2. 如图，在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝4 cm，AC＝6 cm，BD＝8 cm，CD＝2 cm，则这个二面角的度数为(　　)
A．30° B．60° C．90° D．120°
3．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为______．
4. 已知在如图所示的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC＝CD＝1，AD＝，则二面角B－CD－A的正切值为______．
习题课　二面角的平面角的常见解法
例1　(1)解　如图，取AB的中点D，连接VD，CD，
∵在△VAB中，
VA＝VB＝AB＝2，
∴△VAB为等边三角形，
∴VD⊥AB且VD＝，
∵在△ACB中，AB＝AC＝BC＝2，
∴△ACB为等边三角形，
∴CD⊥AB，CD＝，
∴∠VDC为二面角V－AB－C的平面角，
∵在△ADC中，VD＝CD＝VC＝，
∴△VDC是等边三角形，
∴∠VDC＝60°，
∴二面角V－AB－C的大小为60°.
(2)解　如图，作AC⊥l，BD⊥l，C，D为垂足，
则AC＝2，BD＝4，AB＝10.
在β内过点C作CE∥DB，且CE＝DB，连接BE，AE，
∴四边形CEBD为平行四边形，
∴BE∥l，且CE＝BD＝4，
∴∠ABE为AB与棱l所成的角，
∵BD∥CE，∴l⊥CE，
又l⊥AC，AC∩CE＝C，
∴∠ACE为α－l－β的平面角，
且l⊥平面ACE，
∴∠ACE＝60°，
∴AE2＝AC2＋CE2－2AC·CE·cos∠ACE
＝22＋42－2×2×4×＝12，
∴AE＝2，
又BE∥l，l⊥平面ACE，
∴BE⊥平面ACE，
∴BE⊥AE，
∴sin∠ABE＝＝＝.
∴AB与棱l所成角的正弦值为.
例2　解　∵SB＝BC且E是SC的中点，
∴BE是等腰三角形SBC底边SC的中线，
∴SC⊥BE.
又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE 平面BDE，
∴SC⊥平面BDE，
∴SC⊥BD.
又SA⊥平面ABC，BD 平面ABC，
∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA 平面SAC，
∴BD⊥平面SAC.
∵平面SAC∩平面BDE＝DE，
平面SAC∩平面BDC＝DC，
∴BD⊥DE，BD⊥DC，
∴∠EDC是所求二面角的平面角．
∵SA⊥底面ABC，
∴SA⊥AB，SA⊥AC.
设SA＝2，
则AB＝2，BC＝SB＝2.
∵AB⊥BC，
∴AC＝2，
∴∠ACS＝30°.
又已知DE⊥SC，
∴∠EDC＝60°.
即二面角E－BD－C的大小为60°.
例3　解　如图，过点A作AF⊥BD，F为垂足，作AE⊥平面α，E为垂足，连接EF，CE，
∴由三垂线定理知BD⊥EF，
∴∠AFE为二面角α－BD－β的平面角．
依题意∠ACF＝45°，∠ACE＝30°，
设AC＝2，
∴AF＝CF＝，AE＝1，
∴sin∠AFE＝＝＝，
∴∠AFE＝45°.
∴二面角α－BD－β的大小为45°.
例4　解　如图，
∵PA⊥平面ABCD，
AD 平面ABCD，
∴PA⊥AD，
又AD⊥AB，
且PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
∴AD⊥平面PAB，
又BC∥AD，
∴BC⊥平面PAB.
∴△PCD在平面PBA上的射影为△PAB，
设平面PBA与平面PCD所成的二面角为θ，
∴cos θ＝＝
＝，
∴θ＝45°.
故平面PBA与平面PCD所成的二面角的大小为45°.
随堂演练
1．B　2.B　3.60°　4.1

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