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习题课　空间中距离问题的解法
[学习目标]　
1.掌握异面直线间距离的定义及其求法.
2.掌握点到面的距离的定义及其求法.
3.掌握直线与平面、平面与平面间的距离的定义及其求法．
一、异面直线间的距离
问题1　和两条异面直线都垂直的直线有多少条？与这两条异面直线都垂直且相交的直线有多少条？两异面直线的距离该如何定义？
知识梳理　
1．公垂线：
和两条异面直线都________相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．
2．两异面直线的距离：
两条异面直线的____________的长度，叫做两条异面直线的距离．
例1　如图，已知正方体的棱长为a.
(1)求异面直线A1B与C1C的距离；
(2)求异面直线A1B与B1C1的距离．
反思感悟　求两异面直线的距离，关键是找到两异面直线的公垂线，并给出证明，然后再求出公垂线的长度，即采用“作”—“证”—“求”的方法．
跟踪训练1　空间四边形ABCD的边长都为10，对角线BD＝8，AC＝16，E，F分别是AC，BD的中点．
(1)求证：EF是AC，BD的公垂线段；
(2)求出异面直线AC，BD的距离．
二、点到平面的距离
知识梳理　
1．点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．
2．可以用垂线法和等积法求点到平面的距离．
例2　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥P－ABD的体积V＝，求点A到平面PBC的距离．
反思感悟　从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等积法转换求解．
跟踪训练2　已知在△ABC中，AC＝BC＝1，AB＝，S是△ABC所在平面外一点，SA＝SB＝2，SC＝，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离．
三、直线与平面、两平行平面之间的距离
问题2　若直线l∥平面α，直线l上各点到平面α的距离相等吗？你能证明你的结论吗？
知识梳理　
1．直线与平面的距离
一条直线与一个平面________时，这条直线上________________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
2．平面与平面的距离
如果两个平面________，那么其中一个平面内的________________到另一个平面的距离都________，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
例3　如图，已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求平面DA1C1与平面AB1C间的距离．
反思感悟　直线与平面、两平行平面之间的距离应转化为点到平面的距离，再求值．
跟踪训练3　如图，在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，则AD到平面PBC的距离为________．
1．知识清单：异面直线间的距离、点到平面的距离、直线与平面、平行平面间的距离的定义及其求法．
2．方法归纳：转化与化归．
3．常见误区：距离转化不当导致错误．
1. 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为6，△A1BC的面积为2，则点A到平面A1BC的距离为(　　)
A. B. C．2 D.
2．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点D1到平面AB1C的距离是(　　)
A.a B.a
C.a D.a
3．线段AB的端点A，B到平面α的距离分别是30 cm和50 cm，则线段AB的中点M到平面α的距离为(　　)
A．40 cm B．10 cm
C．80 cm D．40 cm或10 cm
4．在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB的中点，∠ABC＝90°，则点D到平面SBC的距离等于(　　)
A. B. C. D.
习题课　空间中距离问题的解法
问题1　无数条．仅有1条．两异面直线的距离即为公垂线段的长度．
知识梳理
1．垂直　
2．公垂线段　
例1　解　(1)由BC⊥A1B，CC1⊥BC得，BC即为异面直线A1B与C1C的公垂线，
所以异面直线A1B与C1C的距离为a.
(2)连接B1A交BA1于O点(图略)，则B1O⊥A1B且B1C1⊥B1O，
所以B1O即为异面直线A1B与B1C1的公垂线，
所以异面直线A1B与B1C1的距离为a.
跟踪训练1　(1)证明　如图，连接AF，FC，BE，ED.
∵空间四边形ABCD的边长都为10，AF，CF是△ABD和△CBD对应边上的中线，
∴AF＝CF，
∴△AFC是等腰三角形．
∵EF是底边AC上的中线，
∴EF⊥AC.
又DE，BE是△ADC和△ABC对应边上的中线，
∴BE＝DE，
∴△BED是等腰三角形，
∵EF是底边BD上的中线，
∴EF⊥BD，∴EF是AC，BD的公垂线段．
(2)解　在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝16，E为AC的中点，
∴BE＝6，
在Rt△BEF中，BF＝4，
∴异面直线AC，BD的距离为EF＝＝2.
例2　(1)证明　如图，设BD与AC的交点为O，连接EO.
因为四边形ABCD为矩形，所以点O为BD的中点．
又点E为PD的中点，
所以EO∥PB.
因为EO 平面AEC，PB 平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
(2)解　方法一　V＝AP·AB·AD＝AB.
由V＝，可得AB＝.
作AH⊥PB于点H.
由CB⊥AB，CB⊥PA，AB∩PA＝A，得BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，又PB∩BC＝B，故AH⊥平面PBC，即AH的长就是点A到平面PBC的距离．
因为PB＝＝，
所以AH＝＝，
所以点A到平面PBC的距离为.
方法二　V＝AP·AB·AD
＝AB.
由V＝，可得AB＝.
易得V三棱锥P－ABC＝V三棱锥P－ABD＝，
设点A到平面PBC的距离为h.
由CB⊥AB，CB⊥PA，AB∩PA＝A，得CB⊥平面PAB，
所以CB⊥PB，
PB＝＝，
因为CB＝，
所以S△PBC＝CB·PB＝，
V三棱锥P－ABC＝V三棱锥A－PBC＝S△PBC·h＝，所以h＝.
跟踪训练2　解　方法一　如图，连接PA，PB，由题意得SA⊥AC，BC⊥AC.
分别取AB，AC的中点E，F，连接PE，EF，PF，
则EF∥BC，PF∥SA.
所以EF⊥AC，PF⊥AC.
因为PF∩EF＝F，
所以AC⊥平面PEF，
所以PE⊥AC.
∵
∴△SAC≌△SBC(SSS)，
又P为SC的中点，所以PA＝PB.
又E是AB的中点，所以PE⊥AB.
因为AB∩AC＝A，
所以PE⊥平面ABC.
从而PE的长就是点P到平面ABC的距离．
因为P是SC的中点，
所以在Rt△APE中，
AP＝SC＝，AE＝AB＝，
所以PE＝
＝＝，
即点P到平面ABC的距离为.
方法二　如图，在平面ABC内，过点A作BC的平行线，过点B作AC的平行线，两直线交于点D.
因为AC＝BC＝1，AB＝，所以AC⊥BC.所以四边形ADBC为正方形，连接SD.
由题意得AC⊥SA，又AC⊥AD，SA∩AD＝A，
所以AC⊥平面SDA，所以AC⊥SD.
同理可得BC⊥SD.
因为BC∩AC＝C，所以SD⊥平面ADBC.
所以SD的长即点S到平面ABC的距离，
在Rt△SAD中，
SD＝＝.
因为点P为SC的中点，
故点P到平面ABC的距离为
SD＝.
问题2　相等．能.下证：
证明：
如图，过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线AA1，BB1，垂足分别为A1，B1.
∵AA1⊥α，BB1⊥α，
∴AA1∥BB1，
设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α＝A1B1，
∵l∥α，∴l∥A1B1.
∴四边形AA1B1B是矩形．
∴AA1＝BB1.
由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等．
知识梳理
1．平行　任意一点　
2．平行　任意一点　相等
例3　解　因为AC∥A1C1，AB1∥DC1，AC∩AB1＝A，A1C1∩DC1＝C1，
故平面AB1C∥平面DA1C1，
取平面AB1C上一点B1，
则点B1到平面DA1C1的距离就是两平行平面间的距离，
设点B1到平面DA1C1的距离为h，
∵A1C1＝DC1＝A1D＝，
∴△DA1C1是等边三角形，
则＝×××＝，
又∵＝××1×1×1＝，
∴×＝，
即×＝，
解得h＝，
则平面DA1C1与平面AB1C间的距离为.
跟踪训练3　
解析　因为AD∥BC，AD 平面PBC，BC 平面PBC，
所以AD∥平面PBC，
所以AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离，
因为侧棱PA⊥底面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥BC，
因为∠ABC＝90°，
即AB⊥BC，
因为PA∩AB＝A，
所以BC⊥平面PAB，
所以BC⊥PB，
因为PA＝AB＝BC＝2，
所以PB＝2，
设点A到平面PBC的距离为d，
则由V三棱锥P－ABC＝V三棱锥A－PBC得
PA·S△ABC＝d·S△PBC，
所以×2××2×2＝d××2×2，解得d＝，所以AD到平面PBC的距离为.
随堂演练
1．B　2.B　3.D　4.C

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