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第九章　统　计
§9.1　随机抽样
9.1.1　简单随机抽样
[学习目标]　
1.了解随机抽样的必要性和重要性.
2.理解随机抽样的目的和基本要求.
3.理解简单随机抽样中的抽签法、随机数法.
4.掌握用样本平均数估计总体平均数的方法．
一、全面调查和抽样调查
问题1　一天，爸爸叫儿子去买一包糖．临出门前，爸爸嘱咐儿子要买甜的．儿子拿着钱出门了，过了好一会儿，儿子才回到家．
“糖都甜吗？”爸爸问．
“都甜．”
“你这么肯定？”
儿子把糖递过来，兴奋地说：“我每颗都尝过啦．”
在这则笑话中，儿子采用的是什么调查方式？这种调查方式好不好？适宜采用什么方法调查？
知识梳理　
调查方式 全面调查 抽样调查
定义 对________调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查 根据一定目的，从总体中抽取________个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出______和________的调查方法，称为抽样调查
相关概念 总体：在一个调查中，调查对象的________称为总体 个体：组成总体的每一个调查对象称为个体 样本：从总体中抽取的________个体称为样本 样本量：样本中包含的________称为样本容量，简称样本量
例1　(1)在一次数学课堂上，陈老师请四位同学列举出生活中运用全面调查或抽样调查的例子．
小凉：为了了解玉米种子的发芽情况，采用抽样调查．
小爽：为了了解全班同学是否给父母洗过脚，采用全面调查．
小夏：为了了解某批导弹的射程，采用全面调查．
小天：为了了解全国中学生安全自救知识的掌握情况，采用抽样调查．
你认为以上四位同学所列举事例的调查方式错误的是(　　)
A．小凉 B．小爽 C．小夏 D．小天
(2)(多选)从某年级的500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是(　　)
A．500名学生是总体
B．每名学生是个体
C．学生的体重是变量
D．抽取的60名学生的体重是样本容量
反思感悟　一般地，如果调查对象比较少，容易调查，则适合普查；如果调查对象较多或者具有破坏性，则适合抽样调查．
跟踪训练1　(1)下列调查方式，你认为最合适的是(　　)
A．了解北京每天的流动人口数，采用抽样调查
B．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查
C．了解北京居民“建党百年庆祝大会”期间的出行方式，采用全面调查
D．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查
(2)(多选)为了了解某校600名学生的学习情况，随机抽取了100名学生进行调查，在这个问题中样本是(　　)
A．100
B．100名学生
C．100名学生的学习情况
D．600名学生的学习情况
二、简单随机抽样
问题2　假设口袋中有红色和白色共1 000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同．你能通过抽样调查的方式估计袋中红球所占的比例吗？
知识梳理　
放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样
一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中________抽取n(1≤n如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都________，这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内__________________被抽到的概率都相等，这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样
简单随机抽样：________简单随机抽样和____________简单随机抽样统称为简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本
例2　(1)下列抽样方法是简单随机抽样的是(　　)
A．将500个零件逐个做质量检验
B．课上，李老师在全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的
C．老师要求学生从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性
D．某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑
(2)炎炎夏日，冰淇淋成为许多人的热宠，现用简单随机抽样的方法检测某品牌冰淇淋是否符合食品安全标准，若从21个冰淇淋中逐个抽取一个容量为3的样本，则其中某一个体A“第一次被抽到”的可能性是________，“第二次被抽到”的可能性是________．
反思感悟　简单随机抽样必须具备以下特点
(1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的．
(2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的．
(3)简单随机抽样是一种等可能的抽样．
如果三个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样．
跟踪训练2　(1)(多选)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的是(　　)
A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本
B．箱子里共有100个零件，从中取出5个零件进行质量检验．在抽样操作过程中，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回箱子里，然后再抽取下一个零件进行质量检验
C．从30件玩具中，逐个抽取4件进行质量检验
D．某班有45名同学，指定身高最高的5名同学参加学校组织的排球赛
(2)从总体容量为N的一批零件中，通过简单随机抽样抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为0.25，则N的值为(　　)
A．120 B．200 C．150 D．100
三、简单随机抽样的方法
问题3　学校要从某班选取5人参加某项活动，应如何选取？若要从全校学生中选5人，还可以采用上述方法吗？
知识梳理　
1．抽签法的步骤
(1)确定总体容量N并编号；
(2)制签并放入不透明容器中；
(3)充分搅拌均匀；
(4)不放回地逐个抽取n次，得到容量为n的样本．
2．随机数法的步骤
(1)确定总体容量N并编号，例如按0,1,2，…，N－1编号；
(2)利用随机数工具产生0～N－1 范围内的整数随机数；
(3)把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本；
(4)重复上述过程，直到抽足样本所需的数量．
例3　某高校共有50名志愿者被选中参加某志愿服务活动，暑假期间，该校欲从这50名志愿者中选取8人组成志愿服务小组，请用抽签法设计抽样方案．
反思感悟　(1)一个抽样试验能否采用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异是否明显．一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法．
(2)当总体容量较大、样本容量不大时，用随机数法抽取样本较好．
跟踪训练3　(1)抽签法确保样本具有代表性的关键是(　　)
A．制签 B．搅拌均匀
C．逐一抽取 D．抽取不放回
(2)某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00,01，…，38,39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第1个零件的编号是(　　)
0347　4373　8636　9647　3661　4698
6371　6233　2616　8045　6011　1410
A．36 B．16 C．11 D．14
四、用样本平均数估计总体平均数
问题4　用随机数法从某中学高一年级抽取一个容量为50的样本，测量这50名学生的身高，通过这些数据，我们可以计算出样本的平均数为164.3，据此，我们可以估计高一年级全体学生的平均身高吗？
知识梳理　
一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝__________＝________为总体均值，又称总体平均数．如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝________＝________为样本均值，又称样本平均数．在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数.
例4　为了调查某校高一学生每天午餐消费情况，通过简单随机抽样从该校高一学生中抽查了20名学生，这20名学生每天午餐消费数据如下(单位：元)：
10　12　8　8　10　14　17　8　10　8　12
10　10　17　8　10　12　10　10　12
试估计该校高一学生每天午餐的平均费用以及午餐费用不低于12元的比例．
反思感悟　样本平均数与总体平均数的关系
(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数；
(2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性；
(3)一般情况下，样本容量越大，估计值越准确．
跟踪训练4　为了了解某校高三学生每天的作业量，通过简单随机抽样从该校高三学生中抽取了60名学生，通过调查发现这60名学生每天完成作业平均用时2小时，则可以推测该校高三学生每天完成作业所需时间的平均数(　　)
A．一定为2小时 B．高于2小时
C．低于2小时 D．约为2小时
1．知识清单：
(1)全面调查和抽样调查．
(2)简单随机抽样．
(3)抽签法、随机数法．
(4)用样本平均数估计总体平均数．
2．方法归纳：数据分析．
3．常见误区：在简单随机抽样中，每个个体被抽取的可能性是相等的．
1．下列抽样方法是简单随机抽样的是(　　)
A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B．某饮料公司从仓库中的1 000箱饮料中按顺序搬20箱进行质量检查
C．某连队从200名战士中挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动
D．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编好号，对编号随机抽取)
2．下列抽样试验中，适合用抽签法的是(　　)
A．从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
3．一个总体中含有100个个体，用简单随机抽样的方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的可能性为________．
4．通过简单随机抽样从一个篮球训练营中抽取10名学员进行投篮比赛，每人投10次，统计出该10名学员投篮投中的次数：4个投中5次，3个投中6次，2个投中7次，1个投中8次．试估计该训练营中学员投篮投中的比例为______．
9．1.1　简单随机抽样
问题1　全面调查；不好；抽样调查．
知识梳理
每一个　一部分　估计　推断　全体
那部分　个体数
例1　(1)C　(2)ABC
跟踪训练1　(1)A　(2)BC
问题2　这里袋中所有小球是调查的总体，每一个小球是个体，小球的颜色是所关心的变量．
方案一：我们可以从袋中随机地摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再摸出一个球，如此重复，即可用红球出现的频率估计出红球所占的比例．
方案二：采用不放回地摸球去估计红球所占的比例．
知识梳理
逐个　相等　未进入样本的各个个体
放回　不放回
例2　(1)D
(2)　
解析　在抽样过程中，个体A每一次被抽到的可能性是相等的，因为总体容量为21，所以个体A“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为.
跟踪训练2　(1)AD　[对于A项，不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个体数是无限的，而不是有限的；
对于B项，是(放回)简单随机抽样，因为总体的个体数是有限的，这是有放回的抽样，且每次抽取时总体内的每个个体被抽到的机会都相等；
对于C项，是简单随机抽样，符合简单随机抽样的定义；
对于D项，不是简单随机抽样，因为不是等可能的抽样．]
(2)A　[因为从含有N个个体的总体中通过简单随机抽样抽取一个容量为30的样本，每个个体被抽到的可能性为，所以＝0.25，
解得N＝120.]
问题3　抽签．不可以，人数太多．
例3　解　(1)将50名志愿者编号，号码分别是1,2，…，50.
(2)将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签．
(3)将小纸片放入一个不透明的盒子里，充分搅匀．
(4)从盒子中不放回地逐个抽取8个号签，使与号签上的编号对应的志愿者进入样本，组成志愿服务小组．
跟踪训练3　(1)B　(2)A
问题4　可以估计高一年级全体学生的平均身高为164.3 cm左右．
知识梳理
　
　
例4　解　样本平均数为＝＝10.8，
样本中午餐消费不低于12元的比例为＝0.35，
所以估计该校高一学生每天午餐的平均费用为10.8元左右，在高一学生中，午餐费用不低于12元的比例约为0.35.
跟踪训练4　D
随堂演练
1．D　2.B　3.　4.0.6

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