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2024年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟卷（T8联盟）
数学试题（四）
试卷满分：150分 考试用时：120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，则
A．0 B．2 C． D．0或2
2．若一元二次方程的根，则该方程的两根之积为
A．2 B． C． D．1
3．已知，，若 ，则在上的投影向量为
A． B． C． D．
4．函数 图象大致是
A． B．
C． D．
5．已知 ,则
A． B． C． D．
6．今年暑期，《八角笼中》《长安三万里》《封神榜》《孤注一掷》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这四部电影，若小明要看《长安三万里》，则恰有两人看同一部影片的概率为
A． B． C． D．
7．已知点在抛物线，过点作两条直线分别交于, 两点，且，则直线的斜率为
A． B． C． D．
8．已知,，，则
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知一组样本数据的值为，若它们的极差为8，则下列说法可能正确的是
A． B． C．中位数为10 D．方差为8
10．已知数列的通项公式为 ，前 项和为.则下列说法正确的是
A．数列有最小项，没有最大项 B．使的项共有6项
C．满足的 的值共有7个 D．使取得最小值的为7
11．已知菱形中，，，与相交于点 ，将 沿折起来，使顶点移至点的位置，在折起的过程中，下列结论正确的是
A．存在某个位置使得
B．当为等边三角形时，
C．当二面角为时，三棱锥外接球表面积为
D．设为线段的中点，则三棱锥体积的最大值为
12．已知定义域为的函数，满足 ，且，，则
A． B．是偶函数
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．展开式中的系数为 .
14．已知函数，其中为常数，且，将函数的图象向左平移个单位所得的图象对应的函数在取得极大值，则的值为 .
15．已知,两点是双曲线的左、右顶点，点是的右焦点，点是过点且与实轴垂直的直线上的动点，则的最小值为 .
16．在三棱锥中，两两互相垂直，,，当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球半径为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知数列为等差数列，,，且数列是公比为2的等比数列，.
（1）求，的通项公式；
（2）若数列满足将中的项按原有顺序依次插入到数列中，使与之间插入2项，形成新数列，求此新数列前面20项的和.
18．（本小题满分12分）
已知中，角，，所对的边分别为,,,.
（1）求的值；
（2）若为线段上一点且满足,平分，求的面积的取值范围.
19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是与的交点，为内一点（不包括边界）.
（1）当为的重心时，求证：平面;
（2）当平面时，求二面角的余弦值.
20．（本小题满分12分）
在篮球比赛中，如果球员在3分线内将球投进篮筐得2分，若在投篮过程中，遭到对方球员犯规，则将获得罚球机会，若球投中则获得1次罚球机会，若球未投中则获得2次罚球机会，每次罚中1球得1分，未罚中不得分；如果运动员在3分线外将球投进篮筐得3分，且在投篮过程中，若遭到对方球员犯规，也将获得罚球机会，若球投中则获得1次罚球机会，若球未投中则获得3次罚球机会. 已知球员甲在不被犯规的条件下2分命中率为0.6，3分命中率为0.4；在被犯规的条件下，各命中率减半. 每次投篮被犯规的概率始终为0.2，且罚球命中率为0.9，每次罚球相互独立.
（1）若在某场比赛的最后时刻，球员甲所在的球队落后2分，还剩最后一次投篮机会，教练决定让甲投3分球，求球队获胜的概率；
（2）在一次进攻回合中，甲决定投2分球，求这轮进攻甲得分的分布列及得分的数学期望.
21．（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，在椭圆上仅存在6个点,使得为直角三角形，且面积的最大值为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点是椭圆上一动点，且点在轴的左侧，过点作的两条切线，切点分别为,.求的取值范围.
22．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若时，恒成立，求实数的取值范围；
（2）当实数取第（1）问中的最小值时，若方程有两个不相等的实数根，,请比较，，2这三个数的大小，并说明理由.

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