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10.1.4　概率的基本性质
[学习目标]　
1.理解概率的基本性质.
2.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题的方法．
一、概率的基本性质
问题1　在掷骰子试验中，设事件A＝“点数小于7”，事件B＝“点数大于7”，事件C＝“点数大于1”．以上事件的概率是多少？你认为任意事件的概率的取值范围是多少？
问题2　在掷骰子试验中，设事件D＝“出现1点”，事件E＝“出现2点”，事件F＝“出现的点数小于3”．事件D与E有什么关系？事件D，E，F的概率分别是多少呢？它们的概率又有怎样的关系？
问题3　在掷骰子试验中，设事件H＝“出现的点数为奇数”，事件I＝“出现的点数为偶数”，事件H与事件I是什么关系呢？它们的概率有什么关系呢？
问题4　在掷骰子试验中，事件E＝“出现2点”与事件I＝“出现的点数为偶数”是什么关系呢？它们的概率有什么关系呢？
知识梳理　
一般地，概率有如下性质：
性质1　对任意的事件A，都有P(A)________0.
性质2　必然事件的概率为________，不可能事件的概率为______，即P(Ω)＝________，P( )＝______.
性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝________.
如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之______，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝__________.
性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝________，P(A)＝________.
性质5　如果A B，那么________．
性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝　　　　　　　　.
例1　(1)下列说法正确的个数是(　　)
①必然事件的概率等于1；
②随机事件的概率可以等于1.1；
③不可能事件的概率是0.
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)抛掷两枚硬币，事件A表示“至少一枚正面朝上”，事件B表示“两枚正面都不朝上”，则(　　)
A．P(A)＝P(B) B．P(A)>P(B)
C．P(A)1
反思感悟　(1)由于事件的样本点数总是小于或等于试验的样本空间，所以任何事件的概率都在0～1之间，即0≤P(A)≤1.
(2)利用概率性质进行判断，要注意每一条性质使用的条件，不能断章取义．
跟踪训练1　若A，B为互斥事件，则(　　)
A．P(A)＋P(B)<1 B．P(A)＋P(B)>1
C．P(A)＋P(B)＝1 D．P(A)＋P(B)≤1
二、互斥事件与对立事件概率公式的应用
例2　为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料．若从一箱中随机抽出2罐，则：
(1)恰有1罐中奖的概率为多少？
(2)能中奖的概率为多少？
反思感悟　互斥事件、对立事件的概率公式的应用
(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一个非常重要的公式，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件拆分为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用概率加法公式得出结果．
(2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)＋P(B)＝1(A与B互为对立事件)，求出符合条件的事件的概率．
跟踪训练2　某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
三、概率性质的综合应用
例3　袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是.
(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率；
(2)从中任取一球，求得到的不是红球也不是绿球的概率．
反思感悟　求某些较复杂事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再用公式求此事件的概率．这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化．
跟踪训练3　某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4 000人，女职工1 600人；第二分厂有男职工3 000人，女职工1 400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人．如果从该公司职工中随机抽取1人，求该职工为女职工或第三分厂的职工的概率．
1．知识清单：
(1)概率的基本性质．
(2)互斥事件概率公式的应用．
(3)对立事件概率公式的应用．
(4)概率性质的综合应用．
2．方法归纳：转化法、正难则反．
3．常见误区：将事件拆分成若干个互斥的事件，易重复和遗漏．
1．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是(　　)
A．0.42 B．0.28
C．0.3 D．0.7
2．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，如果P(A∩B)＝0，那么P(A∪B)等于(　　)
A．0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
3．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次性随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
4．已知两个事件A与B互斥，记事件是事件B的对立事件，且P(A)＝0.3，P()＝0.6，则P(A∪B)＝________.
10．1.4　概率的基本性质
问题1　P(A)＝1，P(B)＝0，P(C)＝.任意事件的概率的取值范围为[0,1]．
问题2　事件D与E互斥．P(D)＝，P(E)＝，P(F)＝.
P(D)＋P(E)＝P(F)．
问题3　事件H与事件I是对立事件．P(H)＝，P(I)＝，
P(H)＋P(I)＝1.
问题4　E I.P(E)知识梳理
≥　1　0　1　0P(A)＋P(B)　和　P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)　1－P(A)　1－P(B)　P(A)≤P(B)　P(A)＋P(B)－P(A∩B)
例1　(1)C　(2)B
跟踪训练1　D
例2　解　(1)事件A＝“中奖”，事件B＝“恰有1罐中奖”，事件A1＝“第1罐中奖”，事件A2＝“第2罐中奖”，那么事件A1A2＝“2罐都中奖”，A12＝“第1罐中奖，第2罐不中奖”，
1A2＝“第1罐不中奖，第2罐中奖”，且B＝A12∪1A2，因为A12，1A2互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式可得
P(B)＝P(A12)＋P(1A2)，
我们借助树状图来求相应事件的样本点数．
可以得到，样本空间包含的样本点个数为n(Ω)＝6×5＝30，
且每个样本点都是等可能的，因为
n(A12)＝8，n(1A2)＝8，所以
P(B)＝＋＝＝，
故恰有1罐中奖的概率为.
(2)因为A1A2，A12，1A2两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得
P(A)＝P(A1A2)＋P(A12)＋P(1A2)，由(1)可知样本空间包含的样本点个数为n(Ω)＝6×5＝30，
n(A1A2)＝2，n(A12)＝8，
n(1A2)＝8，
所以P(A)＝＋＋＝＝，故能中奖的概率为.
跟踪训练2　解　(1)由题意知，
P(A)＝，P(B)＝＝，
P(C)＝＝.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖，设“1张奖券中奖”为事件M，
则M＝A∪B∪C.
因为A，B，C两两互斥，
所以P(M)＝P(A∪B∪C)
＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝.
故1张奖券的中奖概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
例3　解　(1)从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，它们彼此互斥，
则P(A)＝，
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，
P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝.
联立
解得P(B)＝，P(C)＝，
P(D)＝，
故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为，，.
(2)事件“得到红球或绿球”可表示为A∪D，由(1)及互斥事件的概率加法公式得P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝＋＝，
故得到的不是红球也不是绿球的概率
P＝1－P(A∪D)＝1－＝.
跟踪训练3　解　记事件A为“抽取的为女职工”，记事件B为“抽取的为第三分厂的职工”，则A∩B表示“抽取的为第三分厂的女职工”，A∪B表示“抽取的为女职工或第三分厂的职工”，则有P(A)＝
＝，
P(B)＝
＝，
P(A∩B)＝
＝，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
随堂演练
1．C　2.A　3.　4.0.7

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