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§10.2　事件的相互独立性(二)
[学习目标]　
1.掌握事件相互独立的定义.
2.会求相互独立事件的概率．
一、相互独立事件乘法公式的应用
例1　甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是.
(1)分别求乙、丙两人各自做对这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙中恰有一个人做对这道题的概率．
跟踪训练1　甲、乙、丙三人打靶，他们的命中率分别为p1，p2，，若三人同时射击一个目标，甲、丙击中目标而乙没有击中目标的概率为，乙击中目标而丙没有击中目标的概率为.设事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”，事件C表示“丙击中目标”．已知A，B，C是相互独立事件．
(1)求p1，p2；
(2)写出事件A∪B∪C包含的所有互斥事件，并求事件A∪B∪C发生的概率．
二、相互独立事件的综合应用
例2　某篮球场有A，B两个定点投篮位置，每轮投篮按先A后B的顺序各投1次，在A点投中一球得2分，在B点投中一球得3分．设球员甲在A点投中的概率为p，在B点投中的概率为q，其中0(1)求p，q的值；
(2)求甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的概率．
反思感悟　求较复杂事件的概率的一般步骤
(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示．
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式．
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
跟踪训练2　11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．已知甲、乙两位同学进行11分制乒乓球比赛，双方10∶10平后，甲先发球，甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．
(1)求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率；
(2)求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率．
三、统计与事件相互独立性的综合应用
例3　某中学在2022年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计，某班有50名同学，总分都在区间[600,700]内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的频率分布直方图．
(1)估计该班级的平均分；
(2)经过相关部门的计算，本次高考总分不低于680分的同学可以获得高校T的“强基计划”入围资格．高校T的“强基计划”校考分为两轮．第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目分为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有A＋，A，B，C四个等级，两科中至少有一科得到A＋，且两科均不低于B，才能进入第二轮面试．已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取A＋，A，B，C的概率分别为，，，；总分不高于690分的同学在每科笔试中取得A＋，A，B，C的概率分别为，，，；进入第二轮面试的同学，若两科笔试成绩均为A＋，则免面试，并被高校T提前录取；若两科笔试成绩只有一个A＋，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为，总分不高于690分的同学面试“通过”的概率为，面试“通过”的同学也将被高校T提前录取．若该班级本次高考总分不低于680分的同学都报考了高校T的“强基计划”，且恰有1人成绩高于690分．求：
①总分高于690分的这位同学进入第二轮面试的概率P1；
②该班恰有1名同学通过“强基计划”被高校T提前录取的概率P2.
反思感悟　(1)用恰当的字母表示题中的事件．
(2)根据题设条件，分析事件间的关系．
(3)利用公式求出事件的概率．
跟踪训练3　某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试．现从男、女生中各随机抽取20人，把他们的测试数据按照《国家学生体质健康标准》整理成下表．规定：总分大于等于60，体质健康等级为合格．
等级 总分 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分
优秀 [90,100] 5 91.3 2 91
良好 [80,89.9] 4 83.9 4 84.1
合格 [60,79.9] 8 70 11 70.2
不合格 60以下 3 49.6 3 49.1
总计 — 20 — 20 —
(1)从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康等级是合格的概率；
(2)从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康等级是优秀的概率．
1．知识清单：
(1)相互独立事件概率的计算．
(2)相互独立事件的综合应用．
(3)相互独立事件与统计的综合应用．
2．方法归纳：构造方程(组)、正难则反思想．
3．常见误区：相互独立事件与互斥事件易混淆．
1．从高中应届生中选飞行员，已知这批学生体形合格的概率为，视力合格的概率为，其他综合标准合格的概率为，三项标准互不影响，从中任选一学生，则三项均合格的概率为(　　)
A. B. C. D.
2．对于两个相互独立的事件A与B，若P(A)＝0.3，P(B)＝0.4，则P(A)等于(　　)
A．0.42 B．0.28 C．0.12 D．0.18
3．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为(　　)
A．1－a－b
B．1－ab
C．(1－a)(1－b)
D．1－(1－a)(1－b)
4．某天上午，李明要参加“青年文明号”活动．为了准时起床，他用A，B两个闹钟叫醒自己．假设A闹钟准时响的概率是0.8，B闹钟准时响的概率是0.9，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．
§10.2　事件的相互独立性(二)
例1　解　(1)设甲、乙、丙三人各自做对这道题分别为事件A，B，C，
则P(A)＝，由题意得
解得或
所以乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为和或和.
(2)设“甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题”为事件D，
则P(D)＝P(A)P()P()＋
P()P(B)P()＋P()P()P(C)
＝＋＋＝.
所以甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为.
跟踪训练1　解　(1)由题意知
P(A)＝p1，P(B)＝p2，P(C)＝，
因为A，B，C为相互独立事件，
所以甲、丙击中目标而乙没有击中目标的概率为
P(AC)＝P(A)P()P(C)
＝p1(1－p2)＝，①
乙击中目标而丙没有击中目标的概率为
P(B)＝P(B)P()＝p2＝，②
联立①②，解得p1＝，p2＝.
(2)事件A∪B∪C包含的互斥事件有ABC，BC，AC，AB，C，
A，B，
P(A∪B∪C)＝1－P()
＝1－××＝1－＝.
例2　解　(1)由题意得解得
(2)每轮投篮结束后，甲得分可能为0,2,3,5.
记甲第一轮投篮得i分为事件Ci(i＝0,2,3,5)，第二轮投篮得i分为事件Di(i＝0,2,3,5)，则P(Ci)＝P(Di)，Ci，Di相互独立，
记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E，
则E＝C3D5＋C5D3＋C5D5，且C3D5，C5D3，C5D5彼此互斥．
易得P(C3)＝P(D3)
＝×＝，
P(C5)＝P(D5)＝×＝，
所以P(E)＝P(C3D5＋C5D3＋C5D5)＝P(C3D5)＋P(C5D3)＋P(C5D5)
＝×＋×＋×＝.
所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为.
跟踪训练2　解　设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件Ak(k＝1,2,3，…)，又打了X个球比赛结束，
(1)P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(12)＝P(A1)P(A2)＋P(1)P(2)
＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
(2)P(X＝4且甲获胜)＝P(A12A3A4)＋P(1A2A3A4)
＝P(A1)P(2)P(A3)P(A4)＋P(1)P(A2)P(A3)P(A4)
＝0.5×0.6×0.5×0.4＋0.5×0.4×0.5×0.4＝0.1.
例3　解　(1)根据频率分布直方图，可知平均分为
＝(610×0.004＋630×0.01＋650×0.02＋670×0.014＋690×0.002)×20＝650.
(2)总分不低于680分的同学有50×0.04＝2(人)，由已知，其中有1人总分不高于690分，1人总分高于690分．
①P1＝P(A＋A＋＋A＋A＋A＋B)＝2＋2××＋2××＝＋＋＝，
因此，总分高于690分的这位同学进入第二轮面试的概率P1＝.
②设总分高于690分的同学被高校T提前录取为事件M，总分不高于690分的同学被高校T提前录取为事件N，则
P(M)＝P(A＋A＋)＋P(A＋A＋A＋B)＝2＋×
＝，
P(N)＝P(A＋A＋)＋P(A＋A＋A＋B)＝2＋×
＝＋×＝，
P2＝×＋×
＝，
因此该班恰有1名同学通过“强基计划”被高校T提前录取的概率
P2＝.
跟踪训练3　解　(1)样本中体质健康等级是合格的学生人数为5＋2＋4＋4＋8＋11＝34，样本总数为20＋20＝40，
所以这名学生体质健康等级是合格的概率为＝.
(2)设事件A为“从男生样本中随机选出一人，其体质健康等级是优秀”，事件B为“从女生样本中随机选出一人，其体质健康等级是优秀”，
则P(A)＝＝，P(B)＝＝.
因为A，B为相互独立事件，
所以所求概率为
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)[1－P(B)]＋[1－P(A)]P(B)
＝×＋×
＝.
随堂演练
1．B　2.D　3.C　4.0.98

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