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第九节 函数的图象（讲）
第九节 函数的图象
一.课标要求，准确定位
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.
2.会画简单的函数图象.
3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．
二.考情汇总，名师解读
函数图象在高考中主要集中在研究函数有关性质、解决方程解的个数与参数取值问题，还会与导数等相结合，主要考察学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体会数形结合、分类讨论、等价转化等思想在高考中的体现.
【二级结论】
1．对于函数y＝f（x）定义域内任意一个x的值，若f（a＋x）＝f（b－x），则函数f（x）的图象关于直线x＝对称．特别地，若f（a＋x）＝f（a－x），则函数f（x）的图象关于直线x＝a对称．
2．对于函数y＝f（x）定义域内任意一个x的值，若f（a＋x）＝－f（b－x），则函数f（x）的图象关于点中心对称．特别地，函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称 f（a＋x）＝2b－f（a－x） f（x）＝2b－f（2a－x）．
3．两个函数图象的对称性（相互对称）
（1）函数y＝f（a＋x）与y＝f（b－x）的图象关于直线（a＋x）－（b－x）＝0，即x＝对称．
（2）函数y＝f（x）与y＝f（2a－x）的图象关于直线x＝a对称．
（3）函数y＝f（x）与y＝2b－f（2a－x）的图象关于点（a，b）对称．
核心考点1 函数图象的绘制
1．下列命题正确的是（ ）
A．将函数的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象
B．当时，函数|与的图象相同
C．若函数满足，则函数的图象关于直线对称
D．为了得到函数的图象，可将函数图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位长度．
2．已知图①中的图象是函数的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，则函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
核心考点2 函数图象的识别
4．如图是函数的图像，的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
核心考点3 函数图象的应用
6．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿运动时，点P经过的路程x与的面积y的函数的图象的形状大致是（　　）

A． B．
C． D．
7．已知函数的图象如图，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
考向一 描点法
8．已知函数.
(1)证明是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求函数的值域.
【类题通法】描点法作函数图象的流程
考向二 图象变换法
9．若函数的图象如图所示，则函数的图象大致为．
A． B． C． D．
10．已知函数，，则函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
11．作出下列函数的图像：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
12．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当,时，，则下列说法正确的是（ ）
A．2是函数的周期
B．函数在上递减，在上递增
C．函数的最大值是1，最小值是0
D．当时，
【类题通法】
1.利用图象平移变换法绘制函数的图象（左加右减、上加下减）
注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1，需将系数提取到外面.
2.利用图象对称变换法绘制函数的图象
3.利用图象翻折变换法绘制函数的图象
4.利用图象伸缩变换法绘制函数的图象
5.利用图象周期变换法绘制函数的图象
①“对恒成立”等价于“函数有一个周期”；
②“有两条对称轴，”，则“函数有一个周期”；
③“对，函数关于直线和点对称”，则“函数有一个周期”；
④“对，函数关于点和点中心对称”，则“函数有一个周期”；
⑤函数是以为最小正周期的周期函数是以为最小正周期的周期函数；
⑥设与定义在公共集合上，且分别是以、为正周期的周期函数，（、为互质的正整数，则，，均是以为周期的周期函数.
考向一 特殊值法
13．已知函数，则的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
考向二 单调性法
14．函数部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
15．已知函数的导函数的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数的图象的是

A． B．
C． D．
【类题通法】基本函数的和差积商函数与复合函数的单调性规律
考向三 奇偶性法
16．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【类题通法】基本函数的和差积函数与复合函数的奇偶性规律
考向四 极限法（左右极限）
17．已知函数，则函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【类题通法】利用极限法判断图象的解题技巧：
判断没有定义的点或渐近线附近的函数图象变化可采用极限思想，来选择或排除，加快解题速度.
考向一 研究函数的性质
18．关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．在区间上单调递增 B． 的图象关于直线对称
C．若则 D．有且仅有两个零点
19．定义为中的最大值，设，则的最小值是
A．2 B．3 C．4 D．6
【类题通法】利用图象研究函数性质问题的思路
考向二 求解不等式
20．已知函数图像关于直线对称，当时，是增函数，则不等式的解集为 ．
21．已知是奇函数，是偶函数，它们的定义域均为，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集是 ．
【类题通法】利用函数图象求解不等式的思路
当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解．
考向三 求参
22．已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【类题通法】当参数的不等式关系不易找出时，可将函数（或方程）等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象的变化确定参数的取值范围.
考向四 求函数零点或方程解的个数
23．函数的零点个数为（ ）．
A． B． C． D．
24．已知函数则关于x的方程解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
25．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于
A．2 B．4 C．6 D．8
【类题通法】
当方程与函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标，即函数函数的零点，方程的根就是函数与图象交点的横坐标．
【微点解读】函数满足，函数图象的特点：当图象向右平移个单位长度时，图象纵坐标拉伸为原来的倍.
26．函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
27．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
28．已知定义在R上的函数满足，且当时，，若对任都有，则实数m的取值可以是（ ）
A．4 B．5
C． D．
【微点解读】
一．函数图象的渐近线的约束作用
在绘制函数图象或判断函数图象时易忽视渐近线这一重要要素；
①函数含分母，若存在x0使得分母为0，则直线x=x0即为函数的垂直渐近线;
②在函数中，若 或时，，则直线即为函数的水平渐近线.
29．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
30．已知函数的图象如图所示，则下列选项中可能为的解析式的是（ ）

A． B．
C． D．
二、不同函数图象的高低比较
在研究图象交点问题中，涉及数两函数图象交点个数时，因画图不准确导致数交点个数出错，此时需要借助计算或推理，仔细分析函数图象的变化过程.
31．设函数，函数，则与两图象交点的个数为（ ）
A． B． C． D．
32．平面直角坐标系中，将函数，上满足，的点，称为函数的“正格点”． 若函数，，与函数的图象存在正格点交点，则这两个函数图象的所有交点个数为 个．
33．函数的图象如图所示，则下列结论成立的是

A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
34．若函数的图像如图所示，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
35．对于函数下列结论中正确的是（ ）
A．为奇函数 B．在定义域上是单调递减函数
C．的图象关于点对称 D．在区间上存在零点
36．将函数的图象先向左平移一个单位、再向上平移一个单位得到函数的图象，若为奇函数，则 ．
37．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．CD
【分析】根据函数图象的变换规律即可判断A，D；根据函数图象与绝对值函数的关系可判断B；根据抽象函数的对称性即可判断C.
【详解】对于A，将函数的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，故A不正确；
对于B，当时，函数|与的图象不一定相同，例如，则函数|与的图象如下图，

故B不正确；
对于C，若函数满足，则函数的图象关于直线对称，故C正确；
对于D，将函数图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位长度得到函数的图象，故D正确.
故选：CD.
2．C
【分析】根据函数图象的翻折变换，结合题中条件，即可直接得出结果.
【详解】图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数的图象在轴右侧的部分，
然后将轴左侧图象翻折到轴右侧，轴左侧图象不变得来的，
∴图②中的图象对应的函数可能是.
故选：C.
3．B
【分析】先求出的解析式，然后利用特殊值以及函数的单调性进行判断即可．
【详解】函数，
所以，
所以当时，，故选项A，C错误；
当时，单调递减，故选项D错误，选项B正确．
故选：B．
4．C
【解析】利用赋值法代入，，，用排除法即可得到答案.
【详解】由图象可知，若，，故可排除D；
当时，，若，，故可排除B；
当时，，若，，故可排除A；
故选：C.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
5．A
【分析】根据函数的奇偶性、特殊点的函数值来确定正确选项.
【详解】的定义域为，
，为奇函数，图象关于原点对称，排除C选项.
,，排除BD选项.
所以A选项符合.
故选：A
6．A
【分析】先分点P在AB上时，点P在BC上时，点P在CD上时求得函数，再利用函数的性质来判断．
【详解】点P在AB上时,；
点P在BC上时，
；
点P在CD上时，；
所以
画出分段函数的大致图象，如图所示．
故选：A．
7．D
【分析】把不等式转化成两个不等式组，再根据图象求出各不等式组的解集作答.
【详解】不等式，则或，
观察图象，解得，解得，
所以不等式的解集为.
故选：D
8．(1)证明见解析；
(2)图象见解析；
(3)
【分析】（1）根据偶函数的定义证明即可；
（2）由题知，再结合二次函数与分段函数作函数图象即可；
（3）根据函数图象求解即可.
【详解】（1）解：由题知函数的定义域关于原点对称，
，
所以函数是偶函数
（2）解：由题知，
进而结合二次函数与分段函数的性质作图如下：
（3）解：由（2）的函数图象可知函数的最小值为，函数的最大值为，
所以函数的值域为
9．C
【详解】从变成，应先将向左平移个单位，再关于轴对称，故选C．
点睛：本题主要考查了函数图像中的平移变换，对称变换，常见的平移变换原则“左加右减，上加下减”，对称变换有和关于轴对称，和关于轴对称，和关于原点轴对称等.
10．D
【分析】先求出的解析式，再作出的图象，即可选出正确答案.
【详解】当时，，所以，
当时，，所以，
所以，
所以的图象为：
故选：D
【点睛】本题主要考查了由函数解析式选择函数的图象，通常根据函数的性质来选择，属于基础题.
11．(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
(4)图见解析
【分析】（1）根据反比例函数结合函数的平移即可画出图像;
（2）根据二次函数结合绝对值及翻折即可得出函数图像;
（3）根据指数函数的图像结合对称性即可画出图像;
（4）根据对数函数的图像结合对称性即可画出图像;
【详解】（1）函数，则其图像可看作由反比例函数的图像，
先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其图像如图示：
（2）设，其图像如图：
（3）设，其图像可看作由函数的图像向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到，
而，其图像可由的图像保留时的图像，然后将该部分关于y轴对称得到，
则图像如图示：
（4）设，则其图像可由的图像向左平移1个单位，
再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图：
12．ABD
【分析】根据已知，确定函数的周期性，单调性，奇偶性，对称性，最值等，进而判断各个命题的真假，可得答案．
【详解】，
，
即2是函数的一个周期，故A正确；
当,时，为增函数；
由函数是定义在上的偶函数，
可得：当,时，为减函数；
再由函数的周期为2，可得函数在上是减函数，在上是增函数，故B正确；
由此得：当，时，函数取最小值，
当，时，函数取最大值1，
故函数的最大值是1，最小值是，故C错误；
当时，，
即，
即，故D正确.
故选：ABD.
13．B
【分析】计算的值即可判断得解.
【详解】解：由题得，所以排除选项A,D.
,所以排除选项C.
故选：B
14．C
【分析】根据函数值在上的符号可判断BD不正确；根据函数在上的单调性可判断A不正确.
【详解】当时，，故BD不正确；
当时，，且为增函数，所以为减函数，故A不正确，
故选：C.
15．BCD
【分析】根据导函数的图像，确定函数单调性，进而可判断出结果.
【详解】由导函数图像可得：
当时，，即函数在上单调递增；
当时，，即函数在上单调递减；
当时，，即函数在上单调递增；
故BCD错误，A正确.
故选：BCD.
【点睛】本题主要考查由导函数的图像判定原函数的大致图像，属于基础题型.
16．A
【解析】先利用奇偶性，排除B，D，再利用的值，排除C得到正确答案.
【详解】由，
所以为奇函数，可排除B、D；
.
故选：A.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
17．D
【分析】得到函数的定义域，然后计算，然后根据，可得结果.
【详解】由题可知：函数定义域为，
，
所以，故该函数为奇函数，排除A,C
又，所以排除B,
故选：D
18．ABD
【分析】作出函数的图象，由图象观察性质判断各选项．
【详解】根据图象变换作出函数的图象（，作出的图象，
再作出其关于轴对称的图象，然后向右平移2个单位，
最后把轴下方的部分关于轴翻折上去即可得），如图，
由图象知在是单调递增，A正确，函数图象关于直线对称，B正确；
，直线与函数图象相交可能是4个交点，如图，
如果最左边两个交点横坐标分别是，则不成立，C错误，
与轴仅有两个公共点，即函数仅有两个零点，D正确．
故选：ABD．
19．C
【详解】0
【分析】画出函数的图象，如图
由图可知，函数在 处取得最小值，即的最小值为，故选C.
20．
【详解】由题意可知是偶函数，且在递增，所以得即 解得，所以不等式的解集为.
故答案为
点睛：本题考查了函数的对称性，单调性的应用，由得到需要进行平移变换，注意方向即可,偶函数利用单调性来解决问题常转化为.
21．
【分析】由图象分析时，的取值正负，再利用函数奇偶性分析得时，的取值正负，问题得解.
【详解】根据图像得：
当时，异号；
当时，同号；
由是奇函数，是偶函数得：
当时，异号；
当时，同号；
因此不等式的解集是
【点睛】本题主要考查了识图能力及函数奇偶性的应用，还考查了转化能力，属于中档题．
22．C
【分析】先求出直线与相切时的斜率，作出函数与的图象，由数形结合求解即可.
【详解】设与相切于点，
则，解得，此时，
由得，由可得，此时切点为，
作出函数与的图象如图，
由图象可知，当或时，直线与有三个不同的交点，
故选：C
23．D
【分析】将的零点问题转化为函数，与函数的焦点个数.
【详解】令，得；
在同一直角坐标系中分别作出，的大致图象如图所示；

观察可知，两个函数的图象有个交点（其中个交点的横坐标介于到之间，另外两个交点分别为，，故函数的零点个数为，
故选：D．
24．C
【分析】时直接解方程，时，引入函数，利用导数确定零点个数，从而方程解的个数．
【详解】时，由得，，，
时，设，，
时，，递增，时，，递减，
，，在上无零点，
，
所以在也是在上有唯一零点．
综上，在上有一个解，
所以，方程解的个数是3．
故选：C．
25．D
【分析】试题分析：由于函数与函数 均关于点成中心对称，结合图形以点 为中心两函数共有个交点，则有 ，同理有，所以所有交点的横坐标之和为 .故正确答案为D.
考点：1.函数的对称性；2.数形结合法的应用.
【详解】
26．A
【分析】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.
【详解】因，又当时，，
当，，时，，
则，
，
当，，时，，
则，
，
作出函数的大致图象，
对任意，都有，
设的最大值为，
则，且
所以，解得
所以m的最大值为.
故选：A.
27．B
【分析】作出图示，求出当时，函数的解析式，求出成立的x的值，运用数形结合的思想可得选项．
【详解】解：时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当时，，令，解得，
所以要使对任意，都有，则，，
故选：B．
【点睛】
易错点睛：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．
28．ABC
【分析】判断函数在的单调性及值域，则可将命题转化为，求解可得范围，即可判断.
【详解】当时，，则在，单调递减，，单调递增，此时.
由定义在R上的函数满足得，在的图象向右移动个单位时，图象纵坐标拉伸为原来的倍，对应值域为；
向左移动个单位时，图象纵坐标压缩为原来的倍，对应值域为.
图象如图所示，
若对任都有，由及图象可得，，
又当时，，故有，
故实数m的取值范围为.
故选：ABC.
29．C
【分析】根据函数解析式可判断出为奇函数，其图象关于原点对称，再利用时的取值即可判断出正确选项.
【详解】由函数可知，其定义域为，关于原点对称；
又对于定义域内任意满足，
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，因此排除B，
又根据不同函数的增长速度可知，当趋近于，趋近于，而非接近于0，所以排除A；又排除D
故选：C
30．A
【分析】根据题意得到，结合选项中的函数，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数，可得
对于A中，函数，当时，，当时，，
其函数为单调递减函数，符合题意；
对于B中，对于，当时，，不符合题意；
对于C中，对于，当时，，不符合题意；
对于D中，对于，当时，，不符合题意.
故选：A.
31．A
【分析】再同一个坐标系中作出两个图象，即可得到交点个数.
【详解】在同一坐标系内画出，的图象，
由于，
所以时，两图象的交点个数为，
故选：A.

32．5
【分析】由已知，根据“正格点”的定义，求解出满足函数与的正格点交点，即，根据该点结合m的取值范围，求解出m的值，然后画出两函数图象看交点个数即可.
【详解】由已知，函数与函数的图象存在正格点交点，
而满足，的点，称为函数的“正格点”，
所以两函数的正格点交点只能是，
则，所以，所以，
而，所以，所以函数，，
画出两函数图象，可知：

由两函数图象可知，两个函数图象交点个数为5个（其中D、E两点非常接近），
故答案为：5.
33．C
【详解】试题分析：函数在处无意义，由图像看在轴右侧，所以，，由即，即函数的零点，故选C．
考点：函数的图像
34．A
【分析】由图可知图像关于原点对称，所以函数为奇函数，且，函数在上恒为正，然后逐个分析判断即可
【详解】由图可知图像关于原点对称，所以函数为奇函数，且，
对于A，因为，所以函数为奇函数，
因为当时，，所以A正确，
因为，由，得
对于B，因为，所以函数为奇函数，因为，，所以B错误，
对于C，因为，所以函数为奇函数，因为，所以C错误，
对于D，因为，所以函数为偶函数，所以D错误，
故选：A
35．C
【分析】把转化为分段函数，画出图像，即可得解.
【详解】
如图，
由图象可知，
图象关于点对称，因此不是奇函数，
在定义域内函数为增函数，
在上有零点，
故选：C．
【点睛】本题考查了利用函数解析式求函数相关性质，考查了分类讨论思想和数形结合思想，本题主要是数形结合，根据函数图像，直观的看出函数相关性质，属于简单题.
36．-2
【分析】根据题意可得知与之间的关系式，然后利用函数的奇函数性质，计算可得答案.
【详解】由函数的图象先向左平移一个单位、再向上平移一个单位得到函数的图象，可得： ，
故，
所以,
故答案为：-2.
37．
【分析】将方程的实根，转化为函数与函数的交点，令，画出和的图象，数形结合即可得解．
【详解】解：因为
画出函数的图象，如图示：

令，由图象可以读出：时，和有3个交点，
即方程有三个不同的实根，
故答案为：．
【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，考查数形结合思想，属于基础题.
答案第1页，共2页
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