资源简介

第七节 指数函数（讲）（2）
第七节 指数函数（讲）（2）
考向一 指数型函数图象的判断
1．已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【类题通法】识别与指数函数图象有关问题的策略
考向 二指数型函数图象过定点问题
3．函数（其中，）的图象恒过的定点是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【类题通法】指数类函数的图象过定点
解指数类函数的图象过定点的步骤：
①令指数，解出x，即为定点横坐标.
②将①中解出的x代入函数中解出函数值，即为定点纵坐标.
考向 三指数函数图象应用
5．已知定义在R上的偶函数满足，当时，，函数（），则函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
6．（多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A． B． C． D．
7．函数的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围为 .
【类题通法】指数函数图象的应用问题的求解方法
【微点解读】求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.有时需要用换元法将内外层函数分开来依次分析函数的性质.
8．已知为偶函数，为奇函数，且满足.若存在，使得不等式有解，则实数的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．-1
9．已知函数，若关于的方程至少有8个不等的实根，则实数的取值不可能为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
10．函数的最小值为 ．
11．设，当时，恒成立，则实数的取值范围是 .
【微点解读】对于生活中像物种繁殖、GDP变化、存款利率等这种随着自变量的增大，函数值变化速度越来越快的现象都可以用指数函数模型来模拟，进而追溯过往或分析未来.
12．要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是年前的遗物（参考数据：），则实数的值为（ ）
A．12302 B．13304 C．23004 D．24034
13．我们知道二氧化碳是温室性气体，是全球变暖的主要元凶．在室内二氧化碳含量的多少也会对人体健康带来影响．下表是室内二氧化碳浓度与人体生理反应的关系：
室内二氧化碳浓度（单位：） 人体生理反应
不高于 空气清新，呼吸顺畅
空气浑浊，觉得昏昏欲睡
感觉头痛，嗜睡，呆滞，注意力无法集中
大于 可能导致缺氧，造成永久性脑损伤，昏迷甚至死亡
《室内空气质量标准》和《公共场所卫生检验办法》给出了室内二氧化碳浓度的国家标准为：室内二氧化碳浓度不大于（即为），所以室内要经常通风换气，保持二氧化碳浓度水平不高于标准值．经测定，某中学刚下课时，一个教室内二氧化碳浓度为，若开窗通风后二氧化碳浓度与经过时间（单位：分钟）的关系式为，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要开窗通风时间至少约为（参考数据：，）（ ）
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
14．净水机常采用分级过滤，其中第一级过滤一般由孔径为微米的PP棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过，则PP棉滤芯层数最少为（ ）（参考数据：，）
A．5 B．6 C．7 D．8
15．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度应小于等于．经测定，刚下课时，某教室空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（ ）
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
16．当x>0时，函数的值总大于1，则实数a的取值范围是（　　）
A．1<|a|<2 B．|a|<1 C．|a|> D．|a|<
17．在同一坐标系内，函数的图象关于
A．原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．直线y=x对称
18．已知函数，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
19．(多选)若函数(,且)的图像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有
A． B． C． D．
20．函数y=ax+2-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.
【详解】与是增函数，与是减函数，在第一象限内作直线，
该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A．
故选：A
2．A
【分析】函数为奇函数，排除BD，计算，排除C，得到答案.
【详解】由题可得，的定义域为，，
故函数为奇函数，排除BD；
，，，排除C，
故选：A．
3．B
【分析】令可得定点.
【详解】令，即，得，
函数（其中，）的图象恒过的定点是.
故选：B.
4．D
【分析】根据指数型函数的定点求解，代入后再求解一元二次不等式.
【详解】当时，，故，所以不等式为，解得，所以不等式的解集为.
故选：D
5．B
【分析】由函数的性质可得：的图像关于直线对称且关于轴对称，函数（）的图像也关于对称，由函数图像的作法可知两个图像有四个交点，且两两关于直线对称，则与的图像所有交点的横坐标之和为4得解.
【详解】由偶函数满足，
可得的图像关于直线对称且关于轴对称，
函数（）的图像也关于对称，
函数的图像与函数（）的图像的位置关系如图所示，
可知两个图像有四个交点，且两两关于直线对称，
则与的图像所有交点的横坐标之和为4.
故选：B
【点睛】本题主要考查了函数的性质，考查了数形结合的思想，掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题.
6．ABD
【分析】根据函数图象可得出、的取值范围，利用指数函数的基本性质可判断ACD选项，利用不等式的基本性质可判断B选项.
【详解】由图象可知，函数（且）在上单调递增，则，
且当时，，可得.
对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，由题意可知，，则，所以，，D对.
故选：ABD.
7．（0,1）
【分析】根据解析式可得到图象，利用数形结合即可得到结果.
【详解】图象如下图所示：

由图象可知，若与有两个不同的交点，则
本题正确结果：
【点睛】本题考查根据交点个数求解参数范围的问题，常采用数形结合的方式来进行求解.
8．A
【解析】由题意得出、的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得转化为求函数的最值，求出函数的最大值即可.
【详解】为偶函数，为奇函数，且①
②
①②两式联立可得，.
由得，
∵在为增函数，
∴，
故选：A.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用、考查了不等式存在有解问题以及函数的单调性求最值，注意分离参数法的应用，此题属于中档题.
9．AD
【分析】对方程变形，因式分解得到或，画出的图象，结合图象特点，对进行分类讨论，求出答案.
【详解】由，得，
解得或，
作出的图象如图所示，
若，则或，
设，由，得，此时或.
当时，，有2个不等的实根;
当时，，有2个不等的实根，所以有4个不等的实根，
若原方程至少有8个不等的实根，则必须有且至少有4个不等实根，
若，由，得或有1个根，有3个不等的实根，此时有4个不等的实根，满足题意;
若，由，得有1个根，不满足题意;
若，由，得有1个根，不满足题意;
若，由，得或或，
当有1个根，
当时，有3个不等的实根，
当时，有3个不等的实根，
此时共有7个不等的实根，满足题意.
综上实数的取值范围为
.故选：AD.
【点睛】复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.
10．##0.5
【分析】对函数变形后，利用基本不等式求出最小值.
【详解】定义域为，
因为，
由基本不等式可得：，
当且仅当，即时，等号成立，
在同一坐标系内画出与，可知，使得，
故的最小值为.
故答案为：
11．
【分析】根据题意把不等式转化为即，结合函数的单调性和奇偶性，得到在上恒成立，根据二次函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数，
根据指数函数的图象与性质，可得函数是上的单调递增函数，
且满足，所以函数为奇函数，
因为，即，
可得恒成立，即在上恒成立，
则满足，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
12．B
【分析】设每年的衰变率为，古物中原的含量为，然后根据半衰期，建立方程，将已知条件带入取对数，利用对数性质运算即可.
【详解】设每年的衰变率为，古物中原的含量为，
由半衰期，得．
所以，即．
由题意，知，即．
于是．
所以．
故选：B．
13．A
【分析】由，可求得的值，然后解不等式，可得结果.
【详解】由题意可知，当时，，可得，则，
由，可得，
故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要开窗通风时间至少约为分钟.
故选：A.
14．B
【分析】根据题意建立函数模型，解函数不等式即可.
【详解】设过滤后水中大颗粒杂质含量为，则经过层过滤后，满足，，
若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过，
则，即，
∵在区间上单调递增，
∴，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴的最小值为，
∴PP棉滤芯层数最少为.
故选：B.
15．C
【分析】当时，可求得的值，然后解不等式，求出的范围，即可得解.
【详解】由题意可知，当时，由，可得，所以，，
由可得，解得（分钟），
因此，该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为分钟.
故选：C.
16．C
【分析】根据x>0时，函数的值总大于1，求解.
【详解】解：因为当x>0时，函数的值总大于1，
所以，则，
解得，
故选：C.
17．C
【详解】因为，所以两个函数的图象关于y轴对称，故选C．
18．B
【解析】先将函数化成分段函数的形式，再根据函数在不同范围上的性质可得正确的选项.
【详解】易知函数的图象的分段点是，且过点，，又，
故选：B．
【点睛】本题考查函数图象的识别，此类问题一般根据函数的奇偶性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号等来判别，本题属于基础题.
19．AD
【分析】根据指数型函数的图象分布列式可解得.
【详解】因为函数 (,且)的图像经过第 一、三、四象限，所以其大致图像如图所示:

由图像可知函数为增函数，所以.当时，，
故选AD.
【点睛】本题考查了指数函数的图象,属于基础题.
20．(-2,0)
【详解】分析：利用即可得出.
详解：令，则函数，
函数的图象必过定点.
故答案为.
点睛：本题考查了指数函数的性质和，属于基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑