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第二章 函数的概念与性质 第六节 指数式、对数式的运算（讲）
第六节 指数式、对数式的运算
一.课标要求，准确定位
1．通过对有理数指数幂（a>0，m，n为正整数，且n>1）、实数指数幂ax（a>0，x∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．
2．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．
3．理解指数对数的联系与互化.
二.考情汇总，名师解读
高考对于指数式和对数式运算的考查主要是融合他科知识以选择、填空的形式出现，运用指、对运算性质即可解决；对于指数式、对数式比大小，大多涉及指数函数、对数函数的单调性.
【二级结论】
1.立方和差公式：;
2.;
3.;
4. ＝log ab;
5.对数换底公式：log ab＝（a>0，a≠1；b>0；c>0，且c≠1）;
6.对数恒等式：＝N（a>0，a≠1，N>0）.
核心考点1 指数式的运算
1．已知，，化简得（ ）
A． B． C． D．
2．设，，，且，则下列等式中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．计算：①＝ .
②＝ .
核心考点2 对数式的运算
4．计算（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5． ．
核心考点3 指数式与对数式的互化
6．若，则的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．
7．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（ ）天．（参考数据：，，）
A．9 B．15 C．25 D．35
考向一 根式的化简求值
8． ．
9．若，则 .
考向二 分数指数幂与根式的互化
10．下列各式中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．化简：= ．（用分数指数幂表示）.
考向三 指数幂的运算
12．化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
13．若，且，当时，则一定有（ ）
A． B．
C． D．
14． .
【类题通法】
指数幂运算的一般原则
考向一 对数的判断与求值
15．若函数f（x）是奇函数，当时，，则（ ）
A．2 B．-2 C． D．
16．已知是正项等比数列，且，则 ．
考向二 利用对数概念求参
17．函数的零点为 ．
18．已知x满足式子，求x.
【类题通法】
1.对含字母的对数式一定要注意隐含条件：真数大于0，底数大于0且不等于1.
2.留意题意中的隐藏信息，比喻出现零点时想到.
3.并不是所有指数式都有对应的对数式.
考向一 基本运算性质化简求值
19．设，，则　　
A． B． C． D．
20．计算：
(1);
(2)
考向二 换底公式的应用
21．已知，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
22．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
23．设，求证：.
【类题通法】对数式化简与求值的策略
【微点解读】指数式与对数式的互化（a>0且a≠1，N>0）：
对数由指数转化而来，则底数a、指数或对数b、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了改变.
对数恒等式：＝N（a>0，a≠1，N>0）.
24．已知a是方程的解，b是方程的解，则为（ ）
A． B． C．3 D．
25．已知函数，，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．，e） D．
26．设实数，若对不等式恒成立，则m的取值范围为 ．
【微点解读】
1.生物学科细胞有丝分裂、物种繁殖；物理学科核衰变聚变；化学学科物质浓度；地理学科地震震级研究等等都涉及数学指数型与对数型数据.
2.学科融合题解题程序：读题（文字语言） 建模（数学语言） 求解（数学应用） 反馈（检验作答）.
27．已知一种放射性元素最初的质量是500g，按每年10%衰减，则可求得这种元素的半衰期（质量变到原有质量一半所需的时间）为（ ）（已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，结果精确到0.1）
A．7.6年 B．7.8年 C．6.2年 D．6.6年
28．某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是（ ）（参考数据：，，，）
A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年
29．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：（其中是自然对数的底数）描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足.有学者基于已有数据估计出，，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（ ）（参考数据：，）
A．天 B．天 C．天 D．天
30．2021年5月15日，中国首次火星探测任务天问一号探测器在火星成功着陆.截至目前，祝融号火星车在火星上留下1900多米的“中国脚印”，期待在2050年实现载人登陆火星.已知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都相等.若火星与地球的公转周期之比约为，则地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约为（ ）
A． B． C． D．
31．化简（ ）
A． B． C． D．
32．“绿水青山就是金山银山”理念已经成为全党全社会的共识和行动，工业废水中的某稀有金属对环境有污染，甲企业经过数年攻关，成功开发出了针对该金属的“废水微循环处理利用技术”，废水每通过一次该技术处理，可回收20%的金属．若当废水中该金属含量低于最原始的5%时，至少需要循环使用该技术的次数为（ ）（参考数据：）
A．12 B．13 C．14 D．15
33．若，则　　
A．2 B．3 C． D．1
34．已知，求
35．计算
(1) .
(2) .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据根式和实数指数幂的运算法则，即得解
【详解】由题意：，
故选：B
2．AD
【解析】由指数幂的运算公式进行判断
【详解】解：由指数幂的运算公式可得，，，所以AD正确，B错误，
对于C，当为奇数时，，当为偶数时， ，所以C错误，
故选：AD
3． 1 102
【分析】根据指数幂的运算法则计算即可.
【详解】①原式＝.
②原式=.
故答案为：1；102
4．A
【解析】先化简，再结合换底公式即可求解
【详解】
故选：A
【点睛】本题考查对数的化简求值，属于基础题
5．13
【分析】利用对数运算公式，化简求得所求表达式的值.
【详解】原式
.
故答案为：13.
6．A
【分析】由已知对数式可得，从而代入可求出结果
【详解】，，
，
故选：A
7．D
【分析】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则，然后利用对数的运算和题目所给的数据求出的值即可.
【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则，
∴，
故选：D．
8．
【分析】根据立方差公式与根式的性质可求出结果.
【详解】
.
故答案为：
9．1
【分析】根据算术平方根可解得，代入即可求解.
【详解】因为,
所以，
所以 .
所以.
故答案为：1
10．ABD
【分析】根据分数指数幂的定义和指数运算法则直接判断即可.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，由根式与分数指数幂的关系可得，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD.
11．
【分析】先把根式转化成指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算法则，即可求出结果.
【详解】因为
.
故答案为：.
12．C
【分析】利用同底数幂的运算法则进行计算.
【详解】
故选：C.
13．B
【分析】特殊值法判断A,C,D选项错误，根据已知条件结合式子范围及指数幂判断证明B选项.
【详解】令
A,C选项错误;
,D选项错误;
,
,
,
,B选项正确.
故选:B.
14．19
【分析】根据指数幂的运算性质即可求解.
【详解】
.
故答案为：19
15．C
【分析】根据奇函数的性质转化后求解
【详解】由奇函数得，而
得
故选：C
16．3
【分析】根据等比数列的下标和性质结合对数的定义与运算求解.
【详解】.
故答案为：3.
17．4
【分析】根据对数函数的定义及函数零点的定义计算即可.
【详解】依题意有，
所以.
故答案为：4.
18．或
【分析】根据对数函数真数大于0，底数大于0且不等式1，列出方程组，求出答案.
【详解】因为x满足式子.
故，解得.
19．D
【分析】利用对数的运算法则即可得出．
【详解】，，，，
则 .
故选D.
【点睛】本题考查了对数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题．
20．(1)2
(2)
【分析】（1）根据对数的运算法则，注意利用；
（2）根据对数的运算法则计算即可.
【详解】（1）原式＝.
（2）原式
.
21．B
【分析】由换底公式和基本不等式即可求解.
【详解】由知,
结合，以及换底公式可知，
，
当且仅当，，
即时等号成立，
即时等号成立，
故的最小值为，
故选：B.
22．A
【分析】利用换底公式得到，再利用基本不等式比较即可；同理得到的大小.
【详解】解：因为，
又因为，
所以，即；
因为，
又因为，
所以，即，
所以，
故选：A
23．证明见解析
【分析】设，则表示出，然后利用对数的运算性质计算和，即可得结论.
【详解】证明：设，
则，，.
所以，，.
所以，
所以.
24．C
【分析】依题意，设，利用指对数互化可得，再将化简可得，即可求出的值.
【详解】因为是方程的解，所以，
令，则有，
所以，①
因为b是方程的解，所以，即，②
设，易知在R是单调递增，
由①②得，，所以，
代入得，，
故选：C
25．D
【分析】由已知得，令，求导，然后分和来研究函数的取值大于零的情况.
【详解】由已知，得，
令，
则，可得，
（1）当时，，在上单调递增，
，成立；
（2）当时，令，则
令，则，
在上单调递增，
①当时，
在上单调递增，
在上单调递增，，成立；
②当时，，，
，
当，在上单调递减，
即在上单调递减，
此时有，在上单调递减，
，矛盾；
综上.
故选：D.
26．
【分析】构造函数判定其单调性得，分离参数根据恒成立求即可.
【详解】由，
构造函数，
在为增函数，则
即对不等式恒成立，则，
构造函数
令，得；令，得；
在上单调递增，在上单调递减，
，即.
故答案为：.
27．D
【分析】按每年10%衰减，得出每年剩余90%，列出方程，根据对数运算得出结果.
【详解】最初的质量是500g，经过一年后，质量变为，
经过2年后，质量变为，
经过t年后，质量变为，
令，则，
则，.
则这种元素的半衰期年.
故选：D.
28．C
【分析】根据已知条件，可推得，再结合对数运算的公式求解即可.
【详解】设从年后，第年该公司全年投入的研发资金为万元，
则，
由题意得，，即，
故
，
则，
故公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是年.
故选：C
29．B
【分析】根据所给模型求得，令，求得，根据条件可得方程，然后解出即可．
【详解】把，代入，可得，，
当时，，则，两边取对数得，解得．
故选：B.
30．A
【分析】根据已知先设周期再应用分数指数幂与根式的互化得出比值.
【详解】设地球的公转周期为，则火星的公转周期为.
设地球 火星运行轨道的半长轴分别为，，
则，
于是.
故选: A.
31．C
【分析】由根式与有理数指数幂的关系及指数幂运算，化简为指数幂形式即可.
【详解】由.
故选：C
32．C
【分析】利用条件建立不等式，再转化成，再利用对数的运算法则和条件即可求出结果.
【详解】设至少需要循环使用该技术的次数为，则，所以，故取14.
故选：C.
33．D
【分析】首先将指数式化为对数式解出和，将换底公式与对数的加法运算性质相结合即可得到最后结果.
【详解】∵，∴，，
∴，故选D.
【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的互化，换底公式（当两对数底数和真数位置互换时，两数互为倒数）与对数加法运算法则的应用，属于基础题.
34．
【分析】根据绝对值、平方及二次根式的意义可求的值，从而可得答案．
【详解】因为，
所以，解得，所以，
故答案为：．
35．(1)
(2)2
【分析】（1）（2）利用对数的运算性质和分数指数幂的运算性质求解即可.
【详解】（1）
＝
＝
＝
＝
（2）
=2
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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