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第二章 函数的概念与性质 第五节 幂函数
第五节 幂函数
一．课标要求，准确定位
1．了解幂函数的概念．
2．结合函数的图象，了解它们的变化情况．
二．考情汇总，名师解读
幂函数作为常见的函数模型，可以和许多问题联系在一起，是重要的知识交汇点，也是高考易考的考点．
【二级结论】
1．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限．
2．幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
3．若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0．
核心考点1 幂函数的概念
1．下列函数是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为（ ）
A． B． C． D．
核心考点2 幂函数的图象
3．已知幂函数的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p为奇数，且 B．p为奇数，且 C．p为偶数，且 D．p为偶数，且
4．图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（ ）
A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3
核心考点3 幂函数的应用
5．已知函数为偶函数且在区间上单调递减，则实数m的值可以为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知集合，，若，则实数的取值范围是 .
考向一 幂函数系数为1
7．已知幂函数的图象过点，则 .
8．在函数，中，幂函数的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
考向二 求幂函数的值
9．已知幂函数的图象经过点，则的值等于（ ）
A． B．4 C．8 D．
考向三 求幂函数的解析式
10．幂函数的图象恒过点 ，若幂函数的图象过点，则此函数的解析式是 ．
考向四 根据函数是幂函数求参
11．已知函数为幂函数，则实数的可能性取值为（ ）
A．1 B．-2 C．3 D．-4
【类题通法】判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是不是的形式；反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必须符合的形式．
考向一 求与幂函数有关的定义域或值域
12．已知点（n，8）在幂函数的图象上，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
13．若幂函数y＝xα的图像经过点(8，4)，则函数y＝xα的值域是 .
考向二 幂函数单调性应用(比大小、求参、解不等式)
14．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
15．已知幂函数在上是减函数，则的值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
16．已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考向三 幂函数奇偶性应用
17．已知幂函数为偶函数，则实数的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1或2
18．结合图中的五个函数图象回答问题：
(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？
(2)写出每个函数的定义域、值域；
(3)写出每个函数的单调区间；
(4)从图中你发现了什么？
【类题通法】比较幂值大小
①当幂指数不同时，转化成相同幂指数，借助单调性进行比较;
②当底数和幂指数都不同时，可选适当的中间值进行比较．
考向一 幂函数图象的判断
19．如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）
A．①，②，③ B．①，②，③
C．①，②，③ D．①，②，③
20．若点在幂函数的图象上，则的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考向二 幂函数图象的应用
21．若幂函数与在第一象限内的图像如图所示，则（ ）
A．； B．，；
C．，； D．，．
22．如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）
A． B． C． D．
考向三 幂函数图象过定点问题
23．当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为 ．
24．已知函数，则无论取何值，图象恒过的定点坐标 .
【类题通法】对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
【微点解读】参考幂函数性质，探究对勾函数的图象与性质．
（1）定义域：；
（2）值域：；
（3）奇偶性：奇函数，函数图象整体呈两个“对勾”的形状，且函数图象关于原点呈中心对称，即；
（4）图象在一、三象限，当时，，（当且仅当取等号），即在时，取最小值；由奇函数性质知：当时，在时，取最大值；
（5）单调性：增区间为，减区间是．当时，类同．
25．已知（双勾函数）．
（1）利用函数的单调性证明在上的单调性；
（2）证明f（x）的奇偶性；
（3）画出的简图，并直接写出它单调区间．
26．已知勾函数在和内均为增函数，在和 内均为减函数．若勾函数在整数集合内为增函数，则实数的取值范围为 ．
【微点解读】高次不等式穿针引线解法操作步骤
①移项，把不等式右边变为0且最高次项的系数为正；
②把不等式左边分解因式，分解到不能再分为止；
③把对应的方程的根在数轴上按从小到大的顺序标出；
④从右上方开始，遇到奇数次的根穿轴而过，遇到偶数次的根不穿轴；
⑤按从小到大的顺序依次写出不等式的解集．
⑥位于数轴上方对应的x的范围为不等式>0的解；位于数轴下方对应的x的范围是不等式<0的解．
27．解不等式
28．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（ ）
A． B． C． D．
29．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
30．已知为幂函数，则（ ）．
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递减
31．幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A．27 B． C． D．
32．幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，且，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
33．已知幂函数的图象过点，则 ，的解集为 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据幂函数的定义判断可得出结论.
【详解】由幂函数的定义可知，B选项中的函数为幂函数，ACD选项中的函数都不是幂函数.
故选：B.
2．C
【分析】根据幂函数的定义判断得这三个函数为幂函数，根据幂函数图像所过定点可判断.
【详解】根据幂函数的定义可知，函数，与均为幂函数，
因为幂函数图像所过定点为，所以可得这三个函数图像均过点.
故选：C
3．D
【分析】从图象的奇偶性与在第一象限的单调性判断解析式的特征
【详解】因为函数的图象关于y轴对称，
所以函数为偶函数，即p为偶数，
又函数的定义域为，
且在上单调递减，
则有，
所以．
故选：D．
4．D
【分析】根据幂函数的图象，结合幂函数的性质判断参数的大小关系，即可得答案.
【详解】由题图知：，，，
所以，，依次可以是，，3．
故选：D
5．BC
【分析】根据幂函数单调性求得范围，再验证奇偶性可得.
【详解】因为函数在区间上单调递减，所以，解得，
因为，所以或3，
当时，函数为偶函数，符合题意；
当时，函数为偶函数，符合题意，
综上，或.
故选：BC.
6．
【分析】化简集合，根据子集关系列式可求出结果.
【详解】依题意得，，
若，则.
故答案为：
7．
【分析】根据幂函数可得，将点代入解析式可得的值，即可求解.
【详解】因为函数是幂函数，所以，所以
因为幂函数的图象过点，
所以，所以，
所以，
故答案为：.
8．B
【分析】根据幂函数的定义即可求解．
【详解】∵幂函数y＝xa，
∴是幂函数，不是幂函数，不是幂函数，
不是幂函数，比幂函数的图象多一个点，
∴幂函数的个数为1．
故选：B.
9．D
【分析】设幂函数，由题设条件可求，从而可求的值.
【详解】设幂函数，幂函数的图象经过点，所以，
解得，所以，则．
故选：D.
10．
【分析】由幂函数的性质判断图象所过的定点坐标，根据幂函数所过的点求解析式.
【详解】由幂函数的性质知：在第一象限恒过，
设幂函数，则，即，故.
故答案为：，.
11．AD
【分析】根据幂函数定义得到方程，求出实数，检验后得到答案.
【详解】由题意得，解得或，
当时，，当时，，均满足要求.
故选：AD
12．D
【分析】由为幂函数可求m，由点（n，8）在幂函数的图象上可求n，再根据函数的单调性求函数的值域.
【详解】由题可得m－2＝1，解得m＝3，所以，则，因此，定义域为[2，3]，因为函数和函数在[2，3]上单调递减，所以函数g（x）在[2，3]上单调递减，而g（2）＝1，g（3）＝－2，所以g（x）的值域为[－2，1]．
故选:D.
13．[0，＋∞)
【详解】幂函数图象经过点，解得函数的值域为.
14．A
【分析】先利用幂函数的性质比较的大小，再利用指数函数的性质比较的大小，即得解.
【详解】由题得，，
所以.
故选：A.
15．C
【分析】先根据是幂函数，由求得，再根据函数在上是减函数，确定的值求解.
【详解】由函数为幂函数知，
，解得或.
∵在上是减函数，而当时，，在是增函数，不符合题意，
当时，，符合题意，
∴，，
∴.
故选：C.
16．C
【解析】先根据题意得幂函数解析式为，再根据函数的单调性解不等式即可得答案.
【详解】解：因为幂函数的图像过点，
所以，所以，所以，
由于函数在上单调递增，
所以，解得：．
故的取值范围是.
故选：C.
【点睛】本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.
17．C
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论．
【详解】幂函数为偶函数，
，且为偶数，
则实数，
故选：C
18．(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)答案见解析；
(4)答案见解析.
【分析】根据已知函数图象，数形结合即可求得结果.
【详解】（1）数形结合可知，的图象关于轴对称，故其为偶函数；
的图象关于原点对称，故都为奇函数.
（2）数形结合可知：的定义域是，值域为；
的定义域都是，值域也是；
的定义域为，值域也为；
的定义域为，值域为.
（3）数形结合可知：的单调增区间是：，无单调减区间；
的单调增区间是：，无单调减区间；
的单调减区间是：和，无单调增区间；
的单调减区间是，单调增区间是.
（4）数形结合可知：
幂函数均恒过点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象.
对幂函数，当，其一定在是单调增函数；当，在是单调减函数.
19．A
【分析】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解.
【详解】由函数是反比例函数，其对应图象为①；
函数的定义域为，应为图②；
因为的定义域为且为奇函数，故应为图③.
故选：A.
20．B
【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再进行判断即可得出答案．
【详解】设幂函数，将点代入，得，解得，
所以，定义域为，且在定义域内单调递增，大致图像为B，
故选：B．
21．B
【分析】利用幂函数的图象和性质判断.
【详解】由图象知；在上递增，
所以，
由的图象增长的越来越慢，
所以，
在上递减，
所以，
又当时，的图象在的下方，
所以，
故选：B
22．D
【分析】根据函数图象求出幂函数的指数取值范围，得到正确答案.
【详解】根据函数图象可得：①对应的幂函数在上单调递增，且增长速度越来越慢，故，故D选项符合要求.
故选：D
23．
【分析】根据幂函数恒过定点即可求解.
【详解】由于对任意的，恒经过点，所以函数的图象恒过定点,
故答案为：
24．
【分析】根据对数函数及幂函数的性质即可得解.
【详解】因为函数恒过点，
且函数恒过点，
所以函数的图象恒过的定点.
故答案为：.
25．（1）证明见解析（2）证明见解析（3）图像见解析，的单调递增区间为，，单调递减区间为，
【分析】（1）根据函数单调性的定义进行证明即可；（2）结合三角函数的奇偶性进行判断即可；（3）根据函数的奇偶性和单调性，作出函数的图象进行判断即可.
【详解】（1）设，
则，
则，
当时，，则，则，
即，
此时函数为减函数，
当时，，则，则，
即，
此时函数为增函数．
（2），
则函数为奇函数．
（3）由（1）知结合函数奇偶性和单调性作出函数的图象如图：
由图象和性质知的单调递增区间为，，
单调递减区间为，．
【点睛】本题主要考查对勾函数的图象和性质，结合函数单调性和奇偶性的定义以及利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题.
26．
【详解】根据题意在，内为增函数；要使在整数集合内为增函数，则即解得，∴实数的取值范围为，故答案为.
点睛：本题主要考查函数单调性的定义，能够根据的单调性得出函数的单调增区间，理解在整数集合内为增函数的含义是正确解题的关键，最容易忽视定义域为点集，而错把临界位置和1比较，即错表达为，得到错误结果.
27．
【分析】分解因式，分六种情况讨论，分别判断各因式的正负，从而可得答案.
【详解】因式分解得
；
；
；
；
；
综上可得不等式的解集为．
28．D
【分析】由幂函数性质可得解.
【详解】A中定义域和值域都是；
B中 ,定义域和值域都是；
C中定义域和值域都是；
D中定义域为R，值域为
故选：D
【点睛】本题考查幂函数的性质，属于基础题.
29．B
【分析】利用特殊值法即可排除错误选项.
【详解】由，排除A，D，
当时，，所以，排除C．
故选：B．
30．B
【分析】首先根据幂函数的定义求出参数的值，即可得到函数解析式，再分析其性质.
【详解】因为是幂函数，所以，解得或，
所以或，
对于，函数在上单调递增，在上单调递减；
对于，函数在上单调递减，且为奇函数，故在上单调递减；
故只有B选项“在上单调递减”符合这两个函数的性质．
故选：B
31．A
【分析】根据幂函数的概念及性质，求得实数的值，得到幂函数的解析式，即可求解.
【详解】由题意，令，即，解得或，
当时，可得函数，此时函数在上单调递增，符合题意；
当时，可得，此时函数在上单调递减，不符合题意，
即幂函数，则.
故选：A.
32．A
【分析】先根据幂函数的定义和函数单调性求出m的值，再判断函数的单调性，根据单调性和奇偶性即可判断．
【详解】幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，
∴，解得m＝2，
∴，
∴在R上为奇函数，
由，得，
∵在R上为单调增函数，
∴，
∴恒成立．
故选：A．
33．
【分析】设出幂函数的解析式，再由给定条件列式计算，然后借助函数性质列出不等式，求解即得.
【详解】依题意，设，则，解得，于是得，
显然是偶函数，且在上单调递增，而，
即有，解得或，
所以的解集为.
故答案为：；
【点睛】思路点睛：解涉及奇偶性的函数不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性
脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)=f(|x|).
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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