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第二章 函数的概念与性质 第八节 对数函数
第八节 对数函数
一.课标要求，准确定位
1.了解对数函数的概念，会画对数函数的图象.
2.理解对数函数的单调性与特殊点等性质，并能简单应用.
3.知道对数函数是一类重要的函数模型.
4.了解指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）互为反函数．
二.考情汇总，名师解读
近年高考对数函数试题的类型主要有:比较大小、解对数型不等式;对数函数在某区间上单调性、最值、值域；对数型复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性问题；给出对数型函数解析式判断函数图象；对数函数模型在生活实际中的应用.这些都对学生关于对数函数的性质准确掌握和灵活运用提出较高的要求.
【二级结论】
1.指数函数图象的画法
画对数函数y＝logax（a>0且a≠1）的图象时，应抓住三个关键点：且函数图象只在第一、四象限．
2.对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0由此我们可得到此规律：在第一象限内与y＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大．
3.对数函数y＝logax（a>0且a≠1）的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．
4.对数函数y＝logax（a>0且a≠1）的图象与对数函数（a>0且a≠1）的图象关于x轴对称.
5.指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）与对数函数y＝logax（a>0且a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线对称．
6.对数型函数需要变形时，必须先解定义域，再变形.
7.对于函数，若，则必有.
核心考点1 对数函数的概念
1．使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．,且
2．函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
核心考点2 对数函数的图象
3．函数的大致图象为
A． B．
C． D．
4．已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
核心考点3 对数函数的性质及应用
5．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的定义域是
B．函数是偶函数
C．函数在区间上是减函数
D．函数的图象关于直线对称
6．函数的单调增区间是
7．函数f(x)＝loga(ax－3)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是 .
考向一 对数型函数的定义域
8．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
9．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【类题通法】对数型函数定义域解法
求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1.若底数真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义.
考向二 对数型函数的解析式
10．设a与b均为实数，且，已知函数的图象如图所示，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
11．函数为偶函数，当时，，则时， ．
12．写出一个具有性质①②③的函数 .
①的定义域为；
②；
③当时，.
【类题通法】对数型函数的解析式的求解
1．设函数解析式，用待定系数法；
2．知函数奇偶性，运用奇偶性定义解函数解析式；
3．抽象函数符合，有可能是对数型函数.
考向三 对数型函数的值域
13．已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【类题通法】对数型函数的值域的求解
1.充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法.
2.形如的型函数，其值域的求解步骤如下:
①利用换元法，设，则；
②求的定义域；
③求的解集，并与②中集合求交集;
④利用单调性求解值域.
3.形如型函数，利用换元法，设 .则函数的值域就是函数的值域.
注意:（1）若对数函数的底数是含字母的代数式（或单独一个字母），要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论.
（2）求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响.当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围.
考向一 比大小
15．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
16．已知对数函数的图像经过点与点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【类题通法】比较对数值大小的方法
考向二 解对数不等式
17．不等式log2(2x＋3)＞log2(5x－6)的解集为 ．
18．若，则实数的取值范围是 ．
【类题通法】与对数函数有关的不等式的求解策略
考向三 对数函数性质的综合应用
19．对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．在区间上是减函数，在区间上是增函数
D．没有最小值
20．已知函数，则函数的图象与两坐标轴围成图形的面积是（ ）
A．4 B． C．6 D．
21．已知函数（且）的图象过点．
(1)求a的值．
(2)若．
（ⅰ）求的定义域并判断其奇偶性；
（ⅱ）求的单调递增区间．
【类题通法】解决对数函数性质的综合问题的三点提醒
（1）要分清函数的底数a∈（0，1），还是a∈（1，＋∞）．
（2）确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行．
（3）转化时一定要注意对数问题转化的等价性.
考向一 对数型函数图象的判断
22．函数的图像为（ ）
A． B．
C． D．
23．已知且，函数的图象如图所示，则函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【类题通法】研究对数型函数图象的两种策略
考向二 对数型函数图象过定点问题
24．函数的图象恒过定点（ ）
A． B． C． D．
25．已知函数（且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
26．已知函数的图像恒过定点A，若点A在直线 上，其中 ，则的最小值是（ ）
A．9 B．4 C． D．8
【类题通法】对数型函数的图象过定点
解对数型函数的图象过定点的步骤：
①令真数，解出x，即为定点横坐标.
②将①中解出的x代入函数中解出函数值，即为定点纵坐标.
考向三 对数函数图象的应用
27．正实数满足，则实数之间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
28．已知函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数，若，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
29．设函数，则 ，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 .
【类题通法】对数函数图象的应用技巧
（1）对于一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调区间、值域、零点等问题时，可利用数形结合的思想.
（2）对于一些与对数型方程、不等式等内容有关的问题，通常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合进行求解.
【微点解读】与对数函数有关的复合函数，涉及值域、单调性、最值等问题时，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即是由哪些基本初等函数复合而成的，分别判断内、外层函数的单调性，借助复合函数“同增异减”原则来研究复合函数各性质.
30．已知幂函数在上单调递增，函数，，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
31．函数的定义域为，则实数m的取值范围是 ．
32．已知函数的值域为，那么的取值范围是 .
33．设函数（a为常数），且，且，则不等式的解集为 .
【微点解读】指数函数与对数函数的关系
一般地，指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线y＝x对称．
注意：只有在定义域上单调的函数才存在反函数.
34．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）
A．－1 B．1
C．12 D．2
35．已知（且，且），则函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
36．已知函数（且）的反函数过点，设，则不等式的解集是 ．
【微点解读】 三种函数模型的性质
补充：①“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．
②注意确定实际问题中自变量的取值范围，求出结果后要验证其对实际问题的合理性．
③可应用于回归分析中线性回归的函数模型.
37．2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI发布的名为“ChatGTP”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5.则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A．36 B．37 C．38 D．39
38．一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据如下表所示：
温度 21 23 25 27 29 32 35
产卵个数个 7 11 21 24 66 115 325
(1)画出散点图，根据散点图判断与哪一个适宜作为产卵数y关于温度x的回归方程类型（给出判断即可 不必说明理由）；
(2)根据（1）的判断结果及表中数据.建立关于的回归方程.
（附：可能用到的公式，可能用到的数据如下表所示：
27.430 81.290 3.612 147.700 2763.764 705.592 40.180
（对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.）
39．某剧场的座位数量是固定的，管理人员统计了最近在该剧场举办的五场表演的票价（单位：元）和上座率（上座人数与总座位数的比值）的数据，其中，并根据统计数据得到如下的散点图：
(1)由散点图判断与哪个模型能更好地对与的关系进行拟合（给出判断即可，不必说明理由），并根据你的判断结果求回归方程；
(2)根据（1）所求的回归方程，预测票价为多少时，剧场的门票收入最多．
参考数据：，，；设，则，，；，，．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
40．若函数的图象过点，则（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
41．若函数的定义域是，则函数值域为（ ）
A． B． C． D．
42．已知，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
43．已知函数f(x)＝lg(x2－2x－3)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[5，＋∞) D．[3，＋∞)
44．若为奇函数，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
45．函数的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【解析】根据对数的定义得到不等式组解得.
【详解】解：
解得，即且.
故选：
【点睛】本题考查对数的定义，属于基础题.
2．B
【分析】利用换元法和对数函数的性质即可求得函数的值域．
【详解】令，则，
又在上单调递增，
所以，
故函数的值域为．
故选：B．
3．A
【分析】利用函数的奇偶性排除选项C和D，再利用函数的特殊点排除选项B即可.
【详解】，解得
函数定义域为关于原点对称.
函数在定义域上为偶函数，排除C和D.
当时，，排除B.
故选A.
【点睛】本题考查函数图象的判断，常利用函数的奇偶性、单调性以及特殊值进行判断.
4．A
【详解】本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小．
由图易得，；取特殊点，
，．选A．
5．BD
【分析】求出函数定义域为，A选项错误；利用定义证明函数是偶函数，B选项正确；函数在区间上是增函数，故C选项错误；可以证明f (x)的图象关于直线对称，故D选项正确.
【详解】解：函数，
由可得，故函数定义域为，A选项错误；
的定义域为，设所以
即是偶函数，B选项正确；
，
当时，是减函数，外层也是减函数，所以函数在区间上是增函数，故C选项错误；
由，可得f (x)的图象关于直线对称，故D选项正确.
故选：BD
6．
【分析】根据复合函数的单调性，及对数型函数的定义域即可得出答案.
【详解】解：由函数，则，即，
故定义域为，
令，为增函数，
且也是增函数，
所以函数的单调增区间是.
故答案为：.
7．(3，＋∞).
【分析】根据题意得且，由已知可得当时，恒成立，且内外函数的单调性一致，即可得实数的范围
【详解】由于a＞0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数，∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，因此a＞1.又y＝ax－3在[1，3]上恒为正，∴a－3＞0，即a＞3，a的取值范围是(3，＋∞).
故答案为
【点睛】本题考查的知识点是函数单调性的性质，复合函数的单调性，对数函数的定义域等，难度中档．在遇到对数函数的底数与真数含有参数问题，要保证真数恒大于0，并进行分类讨论，是解答此类问题的关键．
8．D
【解析】直接根据可得解
【详解】要使函数有意义，只需，解得，
所以函数的定义域为：.
故选：D.
9．D
【分析】列出使函数有意义的不等式组求解即可.
【详解】有意义满足，即，，
解得，
故选：D
10．C
【解析】根据函数过的点即可求出，进而求出的值.
【详解】解：令，
由图可知：，，
即，
解得：，
故，
故选：C.
11．
【分析】由偶函数的定义求解．
【详解】时，，是偶函数，
∴，
故答案为：．
12．（答案不唯一）
【分析】结合函数的定义域、函数的法则和单调性即可求解，满足题意的答案不唯一.
【详解】由①②知，对数函数形式的函数满足要求，又由③知，在定义域上是增函数，故符合题意，
故答案为：（答案不唯一）.
13．C
【分析】根据对数函数的定义域以及三函数的值域得出真数的取值范围，根据对数函数的单调性求得结果即可.
【详解】已知函数，则，
所以，
所以函数的值域为.
故选：C.
14．D
【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.
【详解】当时，，
当时， ，
因为函数的值域为，
所以，得，
所以实数的取值范围是，
故选：D.
15．A
【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
16．C
【分析】根据对数函数可以解得，，再结合中间值法比较大小．
【详解】设，由题意可得：，则
∴
，，
∴
故选：C．
17．{x| ＜x＜3}
【分析】根据对数函数的单调性和定义域列出不等式组求解即可.
【详解】解析：由
解得即＜x＜3，故不等式的解集为{x|＜x＜3}．
故答案为：{x| ＜x＜3}
18．
【分析】由基本不等式可得，结合对数函数的单调性可求解.
【详解】由，可得，结合，可得，
由，得，所以.
【点睛】本题主要考查了基本不等式和对数函数单调性的应用，属于基础题.
19．AD
【分析】根据奇偶函数的定义判定A,B.再去绝对值将写成分段函数判断C,D即可.
【详解】对A,B,因为,故,
又,故为偶函数.故A正确,B错误.
对C.因为.
当时,因为在为减函数,故为减函数,所以在区间为减函数.故C错误.
对D,因为当时, 为减函数.故且当时, .
故没有最小值.故D正确.
故选：AD
【点睛】本题主要考查了函数性质的判定,需要根据奇偶性的定义以及函数图像变换与单调性的结合分析,属于中档题.
20．A
【分析】根据函数的对称性及函数的单调性，即可确定与坐标轴围成的面积.
【详解】已知函数，定义域为，
又.
因此函数的图象关于点成中心对称，
又，且点与点也关于点成中心对称，
由基本初等函数的单调性可得函数在区间上单调递减，
因此与坐标轴围成图形的面积是.
故选：A.
21．(1)
(2)（ⅰ）定义城为，偶函数；（ⅱ）．
【分析】（1）将点的坐标代入函数中化简可得a的值；
（2）先求出的解析式，（ⅰ）由，可求出定义域，再利用函数奇偶性的定义判断其奇偶性；（ⅱ）利用复合函数“同增异减”的方法求其增区间.
【详解】（1）由条件知，即，
又且，所以．
（2）．
（ⅰ）由，得，故的定义城为．
因为，故是偶函数．
（ⅱ），
因为函数单调递增，函数在上单调递增，
故的单调递增区间为．
22．A
【分析】以函数的定义域、奇偶性去排除错误选项即可.
【详解】函数的定义域为，可以排除选项B、C；
由，
可知函数为偶函数，其图像应关于y轴轴对称，可以排除选项D.
故选：A
23．D
【分析】先由函数的图象可判断出.利用图像变换和单调性即可得到周期答案.
【详解】由函数的图象可判断出.
当时，经过定点（1，0），为增函数.
因为与关于y轴对称，所以经过定点（-1，0），为减函数.
而可以看作的图像向右平移一个单位得到的.
所以的图像经过定点（0，0），为减函数.
故选：D.
24．A
【分析】根据对数函数的性质确定定点即可.
【详解】当时，即函数图象恒过.
故选：A
25．B
【分析】令对数的真数等于0，求得x、y的值，可得图象经过的定点坐标．再根据在幂函数y＝f（x）的图象上，求出函数f（x）的解析式，从而求出的值．
【详解】∵已知a＞0且a≠1，对于函数，令x﹣1＝1，求得x＝2，y，
可得它的图象恒过定点P（2，4），
∵点P在幂函数y＝f（x）＝xn 的图象上，∴2n，∴n，∴f（x）
则f（2）,故
故选B．
【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，求函数值，属于基础题．
26．C
【分析】先求出定点A的坐标，再代入直线的方程得到m+n=2,再利用基本不等式求最小值.
【详解】由题得A(-2,-2),所以-2m-2n+4=0,所以m+n=2,
所以=.
当且仅当时取到最小值.
故答案为C
【点睛】(1)本题主要考查对数函数的定点问题，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 本题的解题关键是常量代换，即把化成，再利用基本不等式求函数的最小值. 利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.
27．A
【分析】由，得，而与的图象在只有一个交点，从而可得在只有一个根，令，然后利用零点存在性定理可求得，同理可求出的范围，从而可比较出的大小
【详解】，即，即，与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，
，，，则；
，即，即，由与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，，
，，故；
，即，
即，由与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，，
，，则；
故选：A.
28．A
【分析】依题意作出函数的大致图象，不等式或，进而可解得结果.
【详解】由题意知函数的大致图象如图所示，
则不等式或，
解得，或.
故选：A.
29． 1
【分析】(1)先求出的值，再求即得解；
(2) 作出函数的图像，再作出直线，数形结合分析即得解.
【详解】（1）由题得，所以. 所以1.
（2）作出函数的图像，再作出直线，方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为.
故答案为：1；.
30．A
【分析】首先根据幂函数的性质得到，分别求出函数和在区间的值域，再结合题意即可得到答案.
【详解】因为幂函数在上单调递增，
所以，即.
，则的值域为，
又因为函数在上为增函数，
所以，的值域为，
因为，，使得成立，
所以，解得.
故选：A
31．
【分析】求函数的定义域转化为不等式恒成立的问题求解即可.
【详解】由函数的定义域为，
得，恒成立．
当时，，成立；
当时，需满足于是．
综上所述，m的取值范围是．
故答案为：.
32．
【分析】根据函数的取值范围转化为定义域的问题，对参数是否为0进行分类讨论，即可求出的取值范围
【详解】解：由题意
在中，值域为
当时，，
∴解得：
当时，
则解得
综上，
故答案为：.
33．
【分析】先通过求出，然后分和分别解不等式即可.
【详解】因为，所以，则，
所以
①当时，，解得；
②当时，，解得，
综上所述，的解集为．
故答案为：.
34．A
【分析】法一，解出反函数，代值即可；法二，应用互为反函数的两函数的对应关系求解.
【详解】解法1：由，得，所以函数的反函数为，则
解法2：设，则函数过点，由于函数的反函数为，因此有，故.
故选：A.
35．B
【分析】由（且，且），得，从而得到与互为反函数，根据互为反函数的性质即可得到结果．
【详解】∵（且，且），
∴，∴，
∴，函数与函数互为反函数，
∴函数与的图象关于直线对称，且具有相同的单调性.
故选：B．
36．
【分析】根据反函数定义得到反函数解析式，根据题中所给点解出a的取值，得到解析式，根据单调性得到最后解集.
【详解】根据反函数定义可知，由题可知
故，，即，根据解析式可知在为增函数，
可列不等式
故答案为：
37．A
【分析】由已知求得衰减系数，然后根据已知模型列不等式求解．
【详解】由已知，得，所以，
则有，即，即，
即，因此G至少为36.
故选：A.
38．(1)散点图答案见解析，
(2)
【分析】（1）按照表格作图即可，并根据散点图判定回归方程类型；
（2）令，先建立关于的线性回归方程，根据线性回归方程的计算公式结合数据，得出，从而得出结果.
【详解】（1）散点图如图所示，
根据散点图可以判断，适宜作为产卵数关于温度的回归方程类型.
（2）令，先建立关于的线性回归方程，由数据得
.
所以关于的线性回归方程为
因此，关于的回归方程为
39．(1)能更好地对y与x的关系进行拟合，；
(2)预测票价为元时，剧场的门票收入最多．
【分析】（1）由散点图知，能更好地对与的关系进行拟合，设，由公式求出，再将代入求出，可得关于的线性回归方程，进而得出关于的回归方程；
（2）设函数，对函数求导，判断出单调性和极值，可预测剧场的门票收入最多时的票价．
【详解】（1）能更好地对与的关系进行拟合．
设，先求关于的线性回归方程．
由已知得，
所以，
，
所以关于的线性回归方程为，
所以关于的回归方程为；
（2）设该剧场的总座位数为，由题意得门票收入为，
设函数，则，
当，即时，函数单调递减，当，即时，函数单调递增，
所以在处取最大值，
所以预测票价为元时，剧场的门票收入最多．
40．A
【分析】因为函数图象过一点，代入该点的坐标解方程即得解.
【详解】解：由已知得，所以，解得：，
故选：A．
41．A
【分析】根据的单调性求得正确答案.
【详解】根据复合函数单调性同增异减可知在上递增，
，
即.
故选：A
42．D
【详解】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意结合对数函数的性质可知：
，，，
据此可得：.
本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
43．D
【分析】根据对数函数的性质，结合二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法，求得函数的单调递增区间为，进而求得的取值范围.
【详解】由题意，函数满足，解得或，
设，根据二次函数的性质，可得函数在单调递增，
根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数的单调递增区间为，
又由函数在上单调递增，可得，
即实数的取值范围是.
故选：D.
44．C
【分析】根据奇函数定义域的对称性求解.
【详解】因为函数为奇函数，所以的定义域关于原点对称，
显然当时，没意义，所以当时，也没意义，但是有意义的，所以必定是，即，
，，
即，
则，是奇函数，
；
故选：C.
45．A
【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，最后利用特殊值及排除法判断即可.
【详解】因为，则，解得且，
所以函数的定义域为，
令，则，即为偶函数，
又为奇函数，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除D，
又，故排除B、C；
故选：A
答案第1页，共2页
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