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第十节 函数与方程 （讲）
第十节 函数与方程
一.课标要求，准确定位
1．结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系．
2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，并能简单应用．
3．了解用二分法求方程的近似解的步骤．
二.考情汇总，名师解读
函数零点问题是一个考查学生综合素质的很好途径，它主要涉及到基本初等函数的图象、导数等知识，渗透着转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法.
【二级结论】
1.零点不是点，是方程的解.
2.若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；
3.连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
4.连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号；
5.函数有零点方程有实数解函数与的图象有交点；
6.函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点
，其中为常数.
核心考点1 函数零点
1．已知函数，则函数的零点为（ ）
A． B．，0 C． D．0
2．函数和存在公共点，则的范围为（ ）．
A． B． C． D．
核心考点2 函数零点的判断
3．函数的零点所在的区间是
A． B． C． D．
4．若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为 .
核心考点3 函数零点的应用
5．已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数恰有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
考向一 函数零点与方程的根
7．函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．定义域和值域均为[﹣a，a]（常数a＞0）的函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象如图所示，方程g[f（x）]＝0解得个数不可能的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【类题通法】
函数有零点方程有实数解函数与的图象有交点.
考向二 求函数的零点
9．函数的零点是
A． B． C． D．
10．已知函数，，的零点分别为，，，则（ ）．
A． B．
C． D．
【类题通法】函数的零点是相应方程的解，也是函数图象与横坐标轴交点的横坐标.函数的零点不是点是数.
考向一 零点存在定理求零点
11．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
12．若函数有零点，则的取值范围为 ．
考向二 二分法求零点
13．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，．下列说法正确的有（ ）
A．的零点在区间内 B．的零点在区间内
C．精确到0.1的近似值为1.4 D．精确到0.1的近似值为1.5
14．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根（精确度）可以是（ ）
A． B． C． D．
15．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【类题通法】给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下
（1）确定区间，验证，给定精确度；
（2）求区间的中点；
（3）计算：
①若，则就是函数的零点；
②若，则令（此时零点）；
③若，则令（此时零点 ）；
④判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤②~④.
注意：“精确度”与“精确到”的不同.
考向三 函数零点所在区间的判断
16．函数的一个零点所在的区间是
A． B． C． D．
17．函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
【类题通法】
1．确定函数f （x）的零点所在区间的常用方法
（1）利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f （x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f （a）·f （b）<0.若有，则函数y＝f （x）在区间（a，b）内必有零点．
（2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
2．函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要结合函数性质进行分析判断．
考向四 函数零点个数的判断
18．函数在区间（0,1）内的零点个数是
A．0 B．1
C．2 D．3
19．已知函数是周期为的周期函数，且当时时，，则函数的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
【类题通法】函数零点个数的判定方法
（1）直接求零点：令f （x）＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．
（2）函数零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f （a）·f （b）<0，还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．
（3）把函数拆分为两个简单函数，画出两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
考向一 根据零点求参数
20．已知函数.若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
22．已知函数，若有3个零点，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【类题通法】根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.
考向二 比较零点大小
23．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（ ）
A． B． C． D．
24．若，则下列不等关系一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
25．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【类题通法】比较零点的大小方法
（1）将零点问题转化为多个函数图象交点问题，根据图象观察交点横坐标的大小即可.
（2）当出现多种可能性时，注意对函数y=m的图象进行动态讨论.
考向三 零点求和
26．函数的所有零点之和为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
27．已知M是函数的所有零点之和.则M的值为 .
28．已知函数，若存在，使得，则的取值范围是 .
【类题通法】求函数的多个零点（或方程的根以及直线y＝m与函数图象的多个交点横坐标）的和时，常借助函数的性质（如函数本身关于点的对称、直线的对称等）求和．
【微点解读】对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．
对于嵌套函数y＝f （g（x））的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数u＝g（x）和外层函数y＝f （u）；
（2）确定外层函数y＝f （u）的零点u＝ui（i＝1，2，3，…，n）；
（3）确定直线u＝ui（i＝1，2，3，…，n）与内层函数u＝g（x）图象交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f （g（x））的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an.
29．设定义域为的函数则关于的函数的零点的个数为（ ）
A．3 B．7 C．5 D．6
30．已知，若关于x的方程仅有一解，则a的取值范围是 ．
31．已知函数是定义域在上的偶函数，当时，则函数的零点个数为 ．
32．已知函数，若关于x的方程有8个不等的实数根，则a的取值范围是 ．
【微点解读】新定义问题是高考常考题型，考查学生的理解能力与转化能力.与零点相关的新定义问题，可以结合图象的直观想象与逻辑推理转化成零点问题，从而化棘手问题为常规问题.
33．若函数的图象上存在两个不同点A，B关于原点对称，则称A，B为函数的一对友好点，记作，规定和是同一对友好点．已知，则函数的友好点共有( )
A．3对 B．5对 C．7对 D．14对
34．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.下列为“不动点”函数的是（　　）
A． B．
C． D．
35．已知，，若存在，，使得，则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为 .
、、
36．设函数，则在下列区间中使得有零点的是
A． B． C． D．
37．方程的实数解的个数为　　
A．2 B．3 C．1 D．4
38．若是奇函数，且是函数的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（　　）
A． B．
C． D．
39．已知函数的零点为1，则实数a的值为 ．
40．函数的所有零点之和等于 ．
41．已知函数
①当时，函数的值域是 ；
②若函数的图象与直线只有一个公共点，则实数的取值范围是 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】函数的零点，即令分段求解即可.
【详解】函数
当时，
令，解得
当时，
令，解得（舍去）
综上函数的零点为0.
故选：D.
2．B
【分析】构造函数，结合函数单调性和零点存在定理可选出正确答案.
【详解】解：由题意知，有解，，
因为在上连续且在上单调递增，有，则解的范围为，
故选:B.
3．B
【分析】由于连续函数f（x）满足 f（1）＜0，f（2）＞0，从而得到函数y＝x﹣4 （）x的零点所在区间．
【详解】∵y＝x﹣4 （）x为R上的连续函数，
且f（1）＝1﹣2＜0，f（2）＝2﹣1＞0，
∴f（1） f（2）＜0，
故函数y＝x﹣4 （）x的零点所在区间为：（1，2），
故选B．
【点睛】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．
4．10
【分析】分析函数的性质，函数的零点个数转化为函数与图象的交点个数求解作答.
【详解】因为，则有，即函数是R上以2为周期的周期函数，
令，则，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，如图：
观察图象得：函数与在上的图象有10个交点，
所以函数在区间内的零点有10个.
故答案为：10
5．D
【分析】判断函数单调性，根据零点存在定理即可判断零点所在范围，即可比较得出答案.
【详解】函数在R上单调递增，又，
故的零点，
令，解得，即；
由在上单调递增，得，，
因此的零点，则，
故选：D．
6．A
【解析】画出图象，通过移动结合函数的零点与方程的解的判断即可得结果.
【详解】由题意，函数，的图象如图：
方程的解为，方程的解为或；
①当时，函数恰有两个零点，3；
②当时，函数有2个零点，5；
则实数m的取值范围是：．
故选：A.
7．B
【分析】将题意转化成在区间上有解，设，利用导数求出的取值范围即可得到答案
【详解】解：由题意得在区间上有解，即在区间上有解，
设，所以
令，解得，
所以当，，单调递减；当，，单调递增，
所以，因为
所以，
所以实数a的取值范围是，
故选：B
8．D
【分析】由图象知有一个上的正根，结合图象可知根的个数.
【详解】因为时，有唯一解，
不妨设唯一解为，由图象可知，
则由g[f（x）]＝0可得，
因为，由图象可知，可能有1根，2根，3个根，不可能又4个根，
故选：D
【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，函数的图象，考查逻辑思维能力，数形结合思想，属于中档题.
9．A
【分析】令，解方程求得的值，也即是零点.
【详解】令，即，故选A.
【点睛】本小题主要考查函数零点的求法，考查指数式和对数式互化，属于基础题.
10．C
【分析】转化函数，，的零点为与，，的交点，数形结合，即得解.
【详解】函数，，的零点，即为与，，的交点，
作出与，，的图象，

如图所示，可知
故选：C
11．A
【分析】结合函数的单调性、零点存在性定理确定正确选项.
【详解】在上递增，
，
，所以的零点在区间.
故选：A
12．
【分析】根据得到，再根据函数单调性，即可求出结果.
【详解】因为，所以，
又由指数函数的单调性可知，单调递增，
因此，函数有零点，只需，
解得.
故答案为
【点睛】本题主要考查函数的零点，熟记指数函数的单调性以及函数零点的概念即可，属于常考题型.
13．BC
【分析】根据二分法基本原理判断即可.
【详解】解：易知是增函数，因为，，所以零点在内，所以A错误，B正确，
又1.4375和1.375精确到0.1的近似数都是1.4，所以C正确，D错误．
故选：BC.
14．C
【解析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.
【详解】因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，，所以函数在内有零点，
因为，所以满足精确度，
所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选C.
故选：C
【点睛】关键点点睛：掌握二分法求零点的步骤以及精确度的概念是解题关键.
15．C
【分析】由于长度等于1区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过次操作后，区间长度变为，若要求精确度为时则，解不等式即可求出所需二分区间的最少次数.
【详解】因为开区间的长度等于1，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，
所以经过次操作后，区间长度变为，
令，解得，且，
故所需二分区间的次数最少为7.
故选：C.
16．B
【分析】零点所在单调区间满足，依次判定，即可．
【详解】，，故其中一个零点位于区间内，故选B．
【点睛】考查了函数零点所在区间的判定，关键抓住零点所在区间满足，即可，难度中等．
17．B
【分析】根据零点存在性定理判断即可得到所求的区间．
【详解】函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0,＋∞)，并且f(x)在(0,＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．
又f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，
根据零点存在性定理，可知函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内．
故选B．
【点睛】求解函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是用零点存在性定理，二是解方程，三是用函数的图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件．
18．B
【详解】试题分析：,在范围内，函数为单调递增函数．又，，，故在区间存在零点，又函数为单调函数，故零点只有一个．
考点：导函数，函数的零点．
19．B
【分析】作出图象，由图可得有个交点．
【详解】零点个数就是图象交点个数，
作出图象，如图：
由图可得有个交点，
故有个零点．
故选：B ．

20．B
【解析】由可得出，令，其中，由题意可知，实数的取值范围即为函数在上的值域，求出函数在上的值域即可得解.
【详解】由，可得，令，其中，
由于存在，使得，则实数的取值范围即为函数在上的值域.
由于函数、在区间上为增函数，所以函数在上为增函数.
当时，，又，
所以，函数在上的值域为.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
21．A
【分析】判断函数单调性，根据零点所在区间，列出相应不等式，即可求得答案.
【详解】因为函数，在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
由函数的一个零点在区间内得，
解得，
故选：A
22．B
【分析】设求出函数的单调区间和最小值，再利用数形结合分析得解.
【详解】解：设，
令，令，
所以函数在单调递增，在单调递减.
所以.
令有三个零点.作出函数和的图象如图所示，
所以a的取值范围为.
故选：B

23．B
【分析】在同一坐标系中作出的图象，利用数形结合法求解.
【详解】解：在同一坐标系中作出的图象，
由图象知：，
故选：B
24．D
【分析】将条件转化为，结合对应函数的性质画出函数图象，判断它们与有交点时各交点横坐标的大小情况.
【详解】由，得．
由，得，，
作函数，，的图象，再作直线．
变换m的值发现：，，均能够成立， D不可能成立.
故选：D．
25．B
【分析】在同一坐标系中分别画出，，，的图象， 转化为图像交点的横坐标，数形结合即得解
【详解】在同一坐标系中分别画出，，，的图象，

与 的交点的横坐标为， 与的图象的交点的横坐标为 ，与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出．
故选：B
26．B
【分析】令，则函数的零点问题转化为方程的根的问题，即转化为函数与交点问题，画出函数图象即可求解.
【详解】令，则，
画出，的图象如下图所示，
由图可知两图象的交点关于点对称，故零点之和为.
故选：B.
27．
【分析】根据和的函数图像的对称点和交点个数得出答案.
【详解】令可得，
作出和的函数图像如图所示：

由图像可知两函数图像有个交点，
又两函数图像均关于直线对称，
的个零点之和为.
故答案为：
【点睛】本题考查了函数零点之和，考查了转化与化归、数形结合的思想，属于基础题.
28．
【分析】设，作出函数的图象，由图可得，由、为的两根可得，由二次函数的对称性可得即可求解.
【详解】作出函数的图象，
由图知当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
令，
若存在，使得，由图可得，
由即，所以，
因为函数的对称轴为，所以，
所以，
故答案为：.

29．B
【分析】问题转化为要求方程的解的个数，对应于函数或的解的个数．故先根据题意作出的简图，由图可知，函数或的解的个数，可以得出答案．
【详解】解：根据题意，令，
得或．
作出的简图：
由图象可得当或时，分别有3个和4个交点，
故关于的函数的零点的个数为 7．
故选：．

30．
【分析】可判断a≠0,从而由分段函数判断方程的解的个数即可.
【详解】若，则方程有无数个解，故；
或（舍去）
,
或
或
关于x的方程仅有一解，
在上无解，
综_上所述, a的取值范围是.
故答案为：
31．2
【分析】先画出函数图像，结合图像，即可求解.
【详解】画出函数的图象，如图所示．

的零点即为方程，
令，则，
当时，无解，
当时，，解得，
结合图象可知函数有个零点．
故答案为：2.
32．
【分析】令，结合的图象将问题转化为“方程在上有两不等实根”，利用韦达定理结合二次函数性质求解出的取值范围.
【详解】作出的图象如下图所示，
令，因为关于x的方程有8个不等的实数根，
结合图象可知，关于的方程有两不等实根，记为，且，
因为，，所以，
又因为，，即，
所以的取值范围是，
所以的取值范围是，
故答案为：.
33．C
【分析】结合题意，将函数的友好点的对数转化为与的图象的交点个数，然后利用图像求解即可.
【详解】因为函数的图象与函数的图象关于原点对称，
所以函数的友好点的对数即方程，的解的个数，
即函数与的图象的交点个数，
作出函数与的图象，如图所示:

可知共有7个交点，即函数的友好点共有7对.
故选:C．
34．BC
【分析】根据条件，将问题转化成方程有解问题，再逐一对各个选项分析判断即可得出结果.
【详解】对于选项A，令，则，所以，当时，，时，，
故，即时，恒有，
所以无解，所以该函数不是“不动点”函数；
对于选项B，令，得，因为，所以方程有两个不等的实数根，所以该函数为“不动点”函数；
对于选项C，当时，令，得或，从而该函数为“不动点”函数；
对于选项D，令，得，无解，因而该函数不是“不动点”函数.
故选：BC.
35．
【分析】先确定有唯一零点2，得到，得到，设求导得到单调性得到，得到答案.
【详解】且在R上单调递减，所以有唯一零点2.
设为函数的一个零点，则，
故函数在区间上有零点；由，
令，，，在单增，在单减
，，，，从而.
故答案为：
【点睛】本题考查了函数的零点问题，意在考查学生对于函数性质的综合应用.
36．D
【分析】由题意得，，根据函数零点存在性定理可得出答案．
【详解】由，得，，
，
根据函数零点存在性定理可得函数在区间上存在零点．
故选D.
【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用，属于基础题．
37．A
【分析】结合题意,构造两个函数,绘制图像,将解的个数转化为函数交点个数,即可.
【详解】令,绘制这两个函数的函数图像,可得
故有2个交点,故选A.
【点睛】考查了数形结合思想,关键将函数解的问题转化为函数交点个数的问题,难度中等.
38．C
【分析】根据是奇函数可得，因为是的一个零点，代入得，利用这个等式对A、B、C、D四个选项进行一一判断可得答案.
【详解】因为是的一个零点，所以，
又因为f（x）为奇函数，所以，
所以，即.
所以，
故一定是的零点.
故选：C.
39．
【分析】利用求得的值.
【详解】由已知得，即，解得.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查函数零点问题，属于基础题.
40．
【分析】令，利用换元法可解得方程的根，即得函数的零点.
【详解】令，则.
设，则，解得(舍去)或.
所以，解得或.
所以函数有两个零点，它们之和等于
【点睛】本题考查函数的零点，通过解方程来求函数的零点.
41．
【解析】（1）分段求值域，再求并集可得f（x）的值域；
（2）转化为f（x）＝在上与直线只有一个公共点，分离a求值域可得实数a的取值范围．
【详解】（1）当a＝1时，即当x≤1时，f（x）＝，
当x＞1时，f（x）＝2-x<1，
综上所述当a＝1时，函数f（x）的值域是，
（2）由无解，故f（x）＝在上与直线只有一个公共点，则有一个零点，即实数的取值范围是
故答案为：；
【点睛】本题考查了分段函数的应用，同时考查了数形结合解决数学问题的能力，属于中档题，
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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