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第三章 一元函数的导数及其应用 第一节 导数的概念及运算(讲）
第三章 一元函数的导数及其应用
第一节 导数的概念及运算
一.课标要求，准确定位
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.
2.体会极限思想.
3.通过函数图象直观理解导数的几何意义.
4.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.
5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f （ax＋b））的导数.
6.会使用导数公式表.
二.考情汇总，名师解读
1.导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型大多为选择题、填空题.若为解答题的第（1）问，难度较低，若为解答题第（2）问，则难度较高，多为公切线问题；
2.近两年的新高考试卷中都没有单独考查导数的几何意义和导数的运算，但有与导数的单调性、最值等一起考查的.
【二级结论】
1.导数的两条性质
（1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.
（2）可导函数y＝f （x）的导数为f ′（x），若f ′（x）为增函数，则f （x）的图象是下凹的；反之，若f ′（x）为减函数，则f （x）的图象是上凸的.
2.区分在点处的切线与过点处的切线
（1）在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.
（2）过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.
3.函数y＝f（x）的导数f′（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，|f′（x）|的大小反映了f（x）图象变化的快慢，|f′（x）|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
4.几类重要的切线方程
（1）y＝x－1是曲线y＝ln x的切线，y＝x是曲线y＝ln（x＋1）的切线，…，y＝x＋n是曲线y＝ln（x＋n＋1）的切线，如图1.
（2）y＝x＋1与y＝ex是曲线y＝ex的切线，如图2.
（3）y＝x是曲线y＝sin x与y＝tan x的切线，如图3.
（4）y＝x－1是曲线y＝x2－x，y＝xln x及y＝1－的切线，如图4.
由以上切线方程可得重要不等式，如ln x≤x－1，x＋1≤ex等.
核心考点1 导数的概念
1．已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数在处的导数为，则（ ）
A． B． C． D．
核心考点2 导数的运算
3．（多选）下列导数的运算中正确的是（ ）
A． B．
C．＝ D．
PT
4．已知函数满足，则 .
核心考点3导数的几何意义
（教材改编题）
5．已知，则曲线在点处的切线方程为 .
（教材改编题）
6．曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则 .
8．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【类题通法】
如果存在，则.
考向一 求具体函数的导数
9．求下列函数的导数：
(1)
(2)；
(3) ；
(4).
10．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．1 B． C． D．4
【类题通法】
1.一般对函数式先化简再求导，常用求导技巧有：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用公式化简函数，再求导；⑥复合函数：确定复合关系，由外向内，层层求导.
考向二　求抽象函数的导数
11．已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，且，，且为奇函数，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知可导函数，定义域均为，对任意满足，且，求 .
【类题通法】
抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 常用结论：
①若连续且可导，那么若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数；
②若连续且可导，那么若关于对称，则关于点对称；若关于对称，则关于对称.
考向三 复合函数求导
13．下列求导运算正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
14．已知函数，若，则 .
15．设函数f (x)在(0,＋∞)内可导，且f (ex)＝x＋ex，则＝ ．
【类题通法】
复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
考向一 曲线的切线的斜率和方程
（2021·全国甲卷）
16．曲线在点处的切线方程为 ．
17．若曲线的一条切线经过点，则此切线的斜率为 .
（2022·新高考Ⅱ卷）
18．曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
【类题通法】
求曲线的切线方程的2种类型及方法
考向二 求切点坐标
19．在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .
20．设，函数的导数是，且是偶函数，若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为 .
【类题通法】
先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式，求出切点的纵坐标.
考向三 导数与函数图象问题
（2023·桂林模考）
21．设是函数的导函数，若，且对且总有，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
22．已知是可导函数，如图，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则 .
考向四 已知曲线的切线条数求参数范围
（2022·新高考Ⅰ卷）
23．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
（2021·新高考Ⅰ卷）
24．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【类题通法】
已知曲线的切线条数求参数范围问题时，需要明确的是，曲线存在几条切线，就会相应的有几个切点，因此就可以将切线条数问题转化为切点个数问题；也就是说抓住“切点”这个“牛鼻子”，将问题进一步转化为关于相应函数零点个数问题.
【微点解读】
求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上；与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个.
（2023·大连调研）
25．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则 .
26．已知函数，若直线过点，并且与曲线相切，则直线l的方程为 ．
【微点解读】
（1）如果直线l既是函数的图象在处的切线，又是函数的图象在处的切线，则.特别地，如果与相等且等于，那么就会有.
（2）处理与公切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程（组）并解出参数，建立方程（组）的依据主要是：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
（3）公切线条数的判断问题可转化为方程根的个数求解问题.
一、共切点的公切线问题
27．已知函数与的图象在公共点处有共同的切线，则实数的值为 ．
二、不同切点的公切线问题
28．已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a= ．
三、公切线条数的判断
29．曲线与曲线公切线（切线相同）的条数为 ．
（2023·上饶检测）
30．设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．
31．函数的导函数为，若，则 ．
32．设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．
（2020·全国Ⅲ卷）
33．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
34．直线分别与曲线，交于，，则的最小值为 .
35．若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为 ．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．A
【分析】根据题意，结合导数的几何意义和平均变化率的定义，利用直线斜率的关系，即可求解.
【详解】如图所示，根据导数的几何意义，可得表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率，表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率，
又由平均变化率的定义，可得表示过两点的割线的斜率，
结合图象，可得，所以.
故选：A.
2．C
【分析】利用导数的定义即可求解.
【详解】根据题意，.
故选：C
3．ABD
【分析】根据导数运算法则计算即可；
【详解】,正确；
，正确；
，正确；
因为，所以C项错误，其余都正确.
故选： ABD
4．
【分析】根据三角函数的求导公式求导得出，然后代入求值即可．
【详解】解：
，
，解得．
故答案为：．
5．
【分析】利用导数的几何意义求切线斜率，再由点斜式可得答案.
【详解】因为，所以.
当时，，
所以曲线在点处的切线方程为:
，即.
故答案为：
6．AD
【分析】设切点.利用导数表示切线的斜率，列方程即可求解.
【详解】设切点.
因为曲线在点P处的切线的斜率，所以，所以点P的坐标为或.
故选：AD.
7．
【分析】利用导数的定义可求得所求代数式的值.
【详解】.
故答案为：.
8．D
【分析】由导数的定义求解
【详解】，则
故选：D
9．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据基本函数导数以及导数四则运算法则即可；
【详解】（1）;
（2）；
（3）
（4）
10．C
【分析】先对进行求导，然后把代入，可列出关于的等式，即可解出，从而得出的解析式，即可求出.
【详解】解：因为，
所以，
把代入，
得，解得：，
所以，所以.
故选：C.
11．D
【分析】将用代入已知等式可构造方程组得到，由此可得关于对称；结合为偶函数可推导得到是周期为的周期函数，则可得D正确；令，代入中即可求得A错误；令，由可推导得到B错误；设，由可知，结合可知，由此可得，知C错误.
【详解】由得：，
，关于中心对称，则，
为奇函数，，左右求导得：，
，为偶函数，图象关于轴对称，
，
是周期为的周期函数，
，D正确；
，，又，
，A错误；
令，则，，
又，，，
即，B错误；
，，
设，则，，
又为奇函数，，，
即，C错误.
故选：D
【点睛】结论点睛：本题考查利用抽象函数关系式求解函数周期性、对称性、奇偶性的问题；对于与导数有关的函数性质，有如下结论：
①若连续且可导，那么若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数；
②若连续且可导，那么若关于对称，则关于点对称；若关于对称，则关于对称.
12．
【分析】利用函数值的定义及函数的求导法则，结合导数值的定义即可求解.
【详解】由题意可知，令，则，解得，
由，得，即，
令，得，即，
解得.
故答案为：.
13．ACD
【分析】利用导数的运算求解判断.
【详解】A. 因为，所以，故正确；
B.因为，所以，故错误；
C. 因为，所以，故正确；
D. 因为，所以，故正确.
故选：ACD
14．
【分析】对求导，将代入解方程即可得出答案.
【详解】因为，
所以，
∴，则.
故答案为：
15．
【详解】试题分析：令，，所以，，，所以答案应填：．
考点：导数的运算．
16．
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
17．或
【分析】设出曲线的切点，利用导数求出切线的斜率，求出切线方程，再把点的坐标代入切线方程中，解方程即可求出切线的斜率.
【详解】由题意，可设切点坐标为，由，得，
切线斜，由点斜式可得切线方程为，
又切线过点，所以，
整理得，解得＝4或2，所以切线斜率k＝或.
故答案为：或
18．
【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
解： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
因为是偶函数，图象为：
所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.
[方法三]：
因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；.
19．.
【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.
【详解】设点，则.又，
当时，，
点A在曲线上的切线为，
即，
代入点，得，
即，
考查函数，当时，，当时，，
且，当时，单调递增，
注意到，故存在唯一的实数根，此时，
故点的坐标为.
【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
20．或.
【解析】先求出函数的导函数，然后根据偶函数性质，求出参数的值，最后利用切线的斜率列方程，求出切点的横坐标.
【详解】∵且是偶函数，∴.设切点为，则
解得或.
故答案为：或
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查根据切线的斜率求参数，属于基础题.
21．BD
【分析】由判断函数为增函数，由条件分析得到函数的图象是向上凸函数，然后结合图像分别逐项分析即可求解；
【详解】选项A：
由，得在R上单调递增，因为所以，
故A不正确；
选项B：
对且，总有，可得函数的图象是向上凸的，可用如图的图象来表示.

由表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，随着x的增大，的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以，故B正确；
选项C：
表示点与点连线的斜率，
由图可知，D正确，C不正确.
故选:BD
22．
【分析】由导数的几何意义可知，故先求出，然后利用求出的值.
【详解】由图可知，曲线在处切线的斜率等于，
∴.
∵，
∴，
∴.
故答案为：.
【点睛】本题考查导数的计算及导数的几何意义，较简单. 解答时牢记曲线在某点处的切线斜率等于.
23．
【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
24．D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
25．1
【分析】易知点在曲线上，求出函数的导函数，由两直线垂直斜率之积为，得到，即可得到方程，解得即可.
【详解】易知点在曲线上，
令，则，
所以，又该切线与直线垂直，
所以，解得.
故答案为：
26．
【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义可得切线方程为，再根据切线过点，可求出，进而求出结果．
【详解】∵点不在曲线上，设切点坐标为．
又∵，所以
∴在处的切线方程为，
∵切线过点，
∴，解得，
∴直线的方程为：，即直线方程为.
故答案为：．
【点睛】方法点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
27．
【分析】设公共点为（），则，联立消去可得到关于的方程，进而可求出的值
【详解】解：公共点为（），则，
由，得，由，得，
因为函数与的图象在公共点处有共同的切线，
所以，即，得，
所以，即，得，
所以，
故答案为：
28．8
【详解】试题分析：函数在处的导数为，所以切线方程为；曲线的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.
考点：导函数的运用.
【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．
29．1
【分析】由已知，分别根据两函数的解析式，设出切点写出共切线方程，然后利用待定系数法找到与之间的关系，消掉得到一个关于的函数关系，然后设出函数，利用导数研究函数的单调性和零点即可完成求解.
【详解】由已知，的导数为，的导数为，
设公切线在函数切点为（），函数的切点为，
则切线为，，两切线相同，
则有，消去，整理得，
记，则，
当时，，递减，
且，，
因此在上只有一解，即方程只有一解，
因此所求公切线只有一条．
故答案为：1.
30．D
【分析】利用导数的定义及几何意义进行求解.
【详解】由导数的几何意义，点处的切线斜率为，
因为时，，
所以，
所以在点处的切线斜率为，
故选：D.
31．
【分析】由题求导可得，可得函数，即解.
【详解】，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
32．
【详解】设.
对y＝ex求导得y′＝ex，令x＝0，得曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线上点P处的切线斜率为－1，由，得，则，所以P的坐标为(1，1)．
考点：导数的几何意义．
33．D
【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
34．
【分析】利用构造函数，求导得出单调性，求得函数最值即可得到结果.
【详解】由题知，，，
则，
令，，，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以时，最大，且为，
所以，
即的最小值为.
故答案为：
35．
【详解】解：由y=ax2(a>0),得y′=2ax，
由y=ex,得y′=ex，
曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线，
设公切线与曲线C1切于点(x1,ax12),与曲线C2切于点，
则，
可得2x2=x1+2，∴ ，
记，则 ，
当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)递减；
当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增．
∴当x=2时,.
∴a的范围是 .
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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