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6.2.1 排列6题型分类
一、排列概念
1.排列的定义：
从个不同元素中，任取个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从不同元素中取出个元素的一个排列.
2.要点诠释:
（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．
（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．
（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列．
二、排列数
1.排列数的定义：
从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示.
2.要点诠释:
“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；
三、排列数公式
1..
2.要点诠释:
公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数.
四、阶乘
1．阶乘的概念：
表示正整数到的连乘积，叫做的阶乘．规定．
2.排列数公式的阶乘式：
.
五、排列的常见类型与处理方法
1.相邻元素捆绑法
2.相离问题插空法
3.元素分析法
4.位置分析法
（一） 与排列数有关的运算 1、排列数： （1）排列数的定义：从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示. （2）排列数公式：. （3）阶乘：表示正整数到的连乘积，叫做的阶乘．规定． （4）排列数的阶乘式： 2、排列数公式的应用 （1）排列数的第一个公式适用于具体计算以及解当较小时的含有排列数的方程和不等式． （2）排列数的第二个公式适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等问题．在具体运用时，应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“”的运用．
题型1：与排列数有关的运算 1-1．（2023·高二课时练习）等于（ ） A．9×3 B．93 C．9×8×7 D．9×8×7×6×5×4×3 【答案】C 【分析】根据排列数的计算公式即可求出结果. 【详解】根据排列数的计算公式可得， 故选：C. 1-2．（2023下·陕西·高二校联考阶段练习）可以表示为( )． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据排列数的计算公式即可判断﹒ 【详解】＝， 故选：C﹒ 1-3．（2023下·江苏南通·高二统考期末）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数与阶乘的公式求解即可 【详解】由，则，故． 故选：D 1-4．（2023·高二课时练习）＝ ． 【答案】36 【分析】根据排列数的计算算出答案即可. 【详解】 故答案为：36 1-5．（2023下·山东临沂·高二统考期中） ． 【答案】0 【分析】根据排列数的定义计算． 【详解】. 故答案为：0. 1-6．（2023·高二课时练习）（1）已知，那么 ； （2）已知，那么 ； （3）已知，那么 ． 【答案】 【分析】利用排列数的计算公式即可求解. 【详解】（1）由， 则， 即，解得. （2）由， 则，解得. （3）由， 则且， 解得或（舍）. 故答案为： ； ； 1-7．（2023下·宁夏银川·高二校考期末）已知，则 ． 【答案】6 【分析】利用排列数公式求解. 【详解】因为， 所以， 即， 解得（舍去）． 故答案为：6. 1-8．（2023·高二课时练习）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用排列数公式化简可证得等式成立； （2）利用排列数公式化简可证得等式成立. 【详解】（1）证明：. （2）证明：.
（二） 无限制条件的排列问题 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取．
题型2：无限制条件的排列问题 2-1．（2023下·高二课时练习）甲 乙 丙三名同学排成一排，不同的排列方法有（ ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 【答案】C 【分析】三个人排成一排，即3个元素的一个全排列，由公式即可得到答案. 【详解】甲 乙 丙三名同学排成一排，不同的排列方法有 种 故选：C 2-2．（2023下·江西南昌·高二南昌市八一中学校考阶段练习）6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为（ ） A．36 B．120 C．720 D．240 【答案】C 【分析】分两步,第一步先排第一排,第二步再排第二排,然后利用分步乘法计数原理求解 【详解】解：由于6人排两排，先排第一排共有6×5×4=120(种)，再排第二排，共有3×2×1=6(种).由分步乘法计数原理可知，共有120×6=720(种)方法. 故选：C 2-3．（2023下·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有 种不同的招聘方案．(用数字作答) 【答案】 【详解】分析：根据排列定义求结果. 详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有＝5×4×3＝60(种)． 点睛：本题考查排列定义，考查基本求解能力.
（三） 排队问题 1．“处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则． ①元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列． ②元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素． 2．解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．
题型3：相邻问题 3-1．（2023·河南平顶山·汝州市第一高级中学校考模拟预测）某晚会上需要安排4个歌舞类节目和2个语言类节目的演出顺序，要求语言类节目之间有且仅有2个歌舞类节目，则不同的演出方案的种数为（ ）． A．72 B．96 C．120 D．144 【答案】D 【分析】首先全排列2个语言类的节目，再从4个歌舞类节目中选出2个节目放入2个语言类的节目之间，最后与其余的两个歌舞节目全排列即可. 【详解】第一步：全排列2个语言类的节目，共有种情况， 第二步：从4个歌舞类节目中选出2个节目放入2个语言类的节目之间，共有种情况， 第三步：再将排好的4个节目视为一个整体，与其余的两个歌舞节目全排列， 共有种情况，所以. 故选：D 3-2．（2023·四川攀枝花·统考二模）甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排．甲、乙要相邻．且甲不站在两端，则不同的排法种数 ． 【答案】36 【分析】甲只能从中间三个位置选一个站，乙要与甲相邻只有两个位置可选择，甲、乙站好后其他三人位置随便站，从而即可求解. 【详解】解：由题意，甲只能从中间三个位置选一个站，乙要与甲相邻只有两个位置可选择，甲、乙站好后其他三人位置随便站，故有种不同的排法种数， 故答案为：36. 3-3．（2023·辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 A．3×3！ B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9！ 【答案】C 【详解】根据题意，分2步进行： ①将每个三口之家都看成一个元素，每个家庭都有种排法； 三个三口之家共有种排法， ②、将三个整体元素进行排列，共有种排法 故不同的作法种数为 故选． 【考点】排列、组合及简单的计数原理.
题型4：不相邻问题 4-1．（2023下·高二课时练习）高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有 种不同的排法． 【答案】3600 【分析】先排除2个舞蹈节目外的另5个节目，再利用插空法列式计算作答. 【详解】依题意，先排除2个舞蹈节目外的另5个节目有种，再在6个空隙中任取两个插入2个舞蹈节目有种， 所以不同排法的种数为. 故答案为：3600 4-2．（2023下·江西·高二九江一中校考期末）5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算出5人随机排列的方法总数，再利用插空法求解出甲、乙两人不相邻的排列方法数，然后利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】将5人随机排成一列，共有种排列方法； 当甲、乙不相邻时，先将5人中除甲、乙之外的3人排成一列，然后将甲、乙插入， 故共有种排列方法， 则5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为. 故选：C. 【点睛】本题考查简单的排列问题，考查古典概型概率的计算，较简单. 解答时，不相邻排列问题用插空法求解. 4-3．（2023下·江苏盐城·高二盐城市大丰区新丰中学校考期中）三位老师和三位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法种数为（ ） A．72 B．144 C．36 D．12 【答案】B 【分析】根据题意利用插空法进行排列，先排三位老师，再将三位学生插进老师形成的四个空中，即可求解. 【详解】解：因为要求任何两位学生不站在一起， 所以可以采用插空法， 先排3位老师，有种结果， 再使三位学生在教师形成的4个空上排列，有种结果， 根据分步计数原理知共有种结果. 故选：B. 【点睛】本题考查排列组合的综合运用：利用插空法求解不相邻问题，不相邻问题插空处理的策略： 先排其他元素，再将不相邻元素插入到其他元素形成的空档中. 4-4．（2023上·上海虹口·高二上海市复兴高级中学校考期末）甲 乙 丙三人相约去看电影，他们的座位恰好是同一排10个位置中的3个，因疫情防控的需要（这一排没有其他人就座），则每人左右两边都有空位的坐法（ ） A．120种 B．80种 C．64种 D．20种 【答案】A 【分析】根据题意，先排7个空座位，由于空座位是相同的，则只有1种情况，其中有6个空档，将3人连同座一起安排在空档上，计算可得答案. 【详解】根据题意，一并排座位有10个，3人就坐，有7个空座位，将7个空座位排成一排，中间有6个空档，将3人连同座位一起安排空档上，有种安排方法， 故答案为：A. 4-5．（2023下·山东滨州·高二阶段练习）7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是（　　） A．60 B．120 C．240 D．360 【答案】C 【分析】先排甲、乙、丙以外的人，再把甲、乙按甲在乙左边捆好，与丙插两个空位，并去掉顺序，即可得解. 【详解】先排甲、乙、丙以外的人，再把甲、乙按甲在乙左边捆好，与丙插两个空位，并去掉顺序， 所以不同的排法种数有（种）. 故选：C． 4-6．（2023上·山西大同·高三统考阶段练习）高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一 二 三共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一 必修二不相邻的排列方法种数是（ ） A．72 B．144 C．48 D．36 【答案】A 【分析】先将选择性必修有一 二 三这三本书排成一排的方法种数, 先将选择性必修有一 二 三这三本书排成一排的方法种数，由分步计数原理即可得出答案. 【详解】先将选择性必修有一 二 三这三本书排成一排，有种方法， 再将必修一 必修二这两本书插入两个空隙中，有种方法， 所以把这5本书放在书架上排成一排，必修一 必修二不相邻的排列方法种数是：. 故选：A. 4-7．（2023上·云南昆明·高三校考阶段练习）根据新课改要求，昆明市艺卓中学对学校的课程进行重新编排，其中对高二理科班的课程科目：语文、数学、英语、物理、化学、生物这六个科目进行重新编排（排某一天连续六节课的课程，其中每一节课是一个科目），编排课程要求如下：数学与物理不能相邻，语文与生物要相邻，则针对这六个课程不同的排课顺序共有（ ） A．144种 B．72种 C．36种 D．18种 【答案】A 【分析】由题意知，语文生物相邻用捆绑法“捆绑法”，先与不受限学科全排列，数学物理不相邻，用“插空法”后排列，最后要考虑语文生物的顺序，根据排列数公式以及分步乘法原理即可求出结果. 【详解】语文与生物要相邻，将语文与生物捆绑看作一个整体. 数学与物理不能相邻，采用插空法，后排. 第一步，将语文与生物捆绑看作一个整体后，与英语、化学共3个，排列种类为； 第二步，第一步完成后共有4个位置，将物理和数学排好，排列种类为； 第三步，语文与生物的排列种类为. 所以，总的排列顺序有. 故选：A.
（四） 排列中的定序问题 在有些排列问题中，某些元素有前后顺序是确定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有两种： ①整体法：即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m＋n个元素排成一列，有A种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法． ②插空法：即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空隙中．
题型5：定序问题 5-1．（2023下·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）7个人排成一队参观某项目，其中ABC三人进入展厅的次序必须是先B再A后C，则不同的列队方式有多少种（ ） A．120 B．240 C．420 D．840 【答案】D 【解析】先求出7人排成一列总共多少种排法，再对ABC三人进行定序缩倍即可得解. 【详解】根据题意，先将7人排成一列，有A77种排法， 其中ABC三人进入展厅的次序必须是先B再A后C，即ABC三人顺序一定， 则不同的列队方式有840种； 故选：D. 【点睛】本题考查了排列中的定序问题，即在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法来解决，本题就用了该方法，属于中档题. 5-2．（2023下·山东临沂·高二统考期中）在某班举行的“庆五一”联欢晚会开幕前已排好有8个不同节目的节目单，如果保持原来的节目相对顺序不变，临时再插进去三个不同的新节目，且插进的三个新节目按顺序出场，那么共有 种不同的插入方法(用数字作答)． 【答案】165. 【详解】分析：运用插空法，分别取出个，个，个空来放置，然后再用组合计算答案即可． 详解：①选出个空有种方法 ②选出个空有种方法 ③选出个空有种方法 综上有种 故共有种不同的插入方法 点睛：本题主要考查了计数原理，运用了插空法选取不同的空来安排，注意在选取个空时有两种方法，运用组合原理求解，计算出和，即可得到答案． 5-3．（2023·江苏·高二专题练习）用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有 个七位数符合条件． 【答案】210 【分析】根据1，3，5，7的顺序一定的排法数只占总排法数的，结合排列数公式，即可求解. 【详解】若1，3，5，7的顺序不定，有(种)排法， 所以1，3，5，7的顺序一定的排法数只占总排法数的， 所以共有(个)七位数符合条件. 故答案为：
（五） 数字排列问题 数字排列的常见特殊性：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数．
题型6：数字排列问题 6-1．（2023·湖北·统考一模）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ） A．8 B．24 C．48 D．120 【答案】C 【详解】解：由题意知本题需要分步计数， 2和4排在末位时，共有种排法， 其余三位数从余下的四个数中任取三个有24种排法， 根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24＝48（个）． 故选：C． 6-2．（2023·高二课时练习）一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如735，414等)，那么这样的三位数共有（ ） A．240个 B．249个 C．285个 D．330个 【答案】C 【分析】分十位数字是0、1、2、3、4、5、6、7、8讨论，即得解 【详解】因为十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字， 所以当十位数字是0时有9×9=81种结果， 当十位数字是1时有8×8=64种结果， 当十位数字是2时有7×7=49种结果， 当十位数字是3时有6×6=36种结果， 当十位数字是4时有5×5=25种结果， 当十位数字是5时有4×4=16种结果， 当十位数字是6时有3×3=9种结果， 当十位数字是7时有2×2=4种结果， 当十位数字是8时有1种结果， 所以共有81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1=285种结果. 故选：C 6-3．（2023·四川）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 A．144个 B．120个 C．96个 D．72个 【答案】B 【详解】试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案． 解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个； 分两种情况讨论： ①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个， ②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个， 共有72+48=120个． 故选B 考点：排列、组合及简单计数问题． 6-4．（2023·高二课时练习）用0，1，2，3，…，9十个数字可组成不同的： （1）三位数 个； （2）无重复数字的三位数 个； （3）小于500且无重复数字的三位奇数 个． 【答案】 900 648 144 【分析】（1）先考虑百位上数字，然后依次考虑十位和个数数字，用分步乘法原理； （2）先考虑百位上数字，然后依次考虑十位和个数数字（注意不重复妈可），用分步乘法原理； （3）首位有4种选择，十位和个位数字任意选择，由乘法原理可得． 【详解】（1）由于0不能在百位，所以百位上的数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法，所以不同的三位数共有9×10×10＝900(个)． （2）百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以共有9×9×8＝648(个)无重复数字的三位数． （3）小于500的无重复数字的三位奇数，应满足的条件是：首位只能从1，2，3，4中选，个位必须为奇数，按首位分两类： 第一类，首位为1或3时，个位有4种选法，十位有8种选法，所以共有4×8×2＝64(种)； 第二类，首位为2或4时，个位有5种选法，十位有8种选法，所以共有5×8×2＝80(种)． 由分类加法计数原理知，共有64＋80＝144(种)． 故答案为：900，648，144
一、单选题
1．（2023上·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）下列问题是排列问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2023个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
【答案】D
【分析】根据排列的定义逐个选项辨析即可.
【详解】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；
B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；
C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；
D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题．
故选：D
2．（2023下·高二课时练习）下列问题是排列问题的是（ ）
A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？
【答案】B
【分析】排列问题是与顺序问题有关的问题，只有B选项涉及顺序，由此可得结果.
【详解】对于A，名同学中选取名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误；
对于B，个人互相通信，涉及到顺序问题，是排列问题，B正确；
对于C，个点中任取点，不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误；
对于D，个数字中任取个，根据乘法交换律知结果不涉及顺序，不是排列问题，D错误.
故选：B.
3．（2023下·广东茂名·高二统考期中）甲 乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为（ ）
A．6 B．4 C．8 D．10
【答案】B
【分析】先排甲，有2种方法，然后乙和丙全排列即可.
【详解】先排甲，有2种方法，然后乙和丙全排列即可，所以共有种排法.
故选：B.
4．（2023下·湖北·高二统考期末）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，则不同站法的种数有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．60种
【答案】C
【分析】根据题意，分2步进行分析:由于老师站在正中间，易得老师的站法，将甲、乙、丙、丁全排列，安排在两边4个位置，由分步乘法计数原理计算可得答案.
【详解】根据题意，若老师站在正中间，则站法只有1种，将甲、乙、丙、丁全排列，安排在两边4个位置，有种情况，
由分步乘法计数原理知共有种，故选：C.
【点睛】本题主要考查排列组合的应用，注意优先满足受到限制的元素，属于基础题.
5．（2023下·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第三十二中学校校考期中）将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为（ ）
A．54 B．45
C．5×4×3×2 D．5
【答案】D
【分析】由于参观票只有4张，而人数为5人，且每名同学至多1张，故一定有1名同学没有票，即可求得结果．
【详解】由于参观票只有4张，而人数为5人，且每名同学至多1张，故一定有1名同学没有票，
因此从5名同学中选出1名没有票的同学，有5种选法．
又因为4张参观票是相同的，不加以区分，所以不同的分法有5种．
故选：D
6．（2023上·陕西西安·高二西北工业大学附属中学校考阶段练习）某学习小组共5人，约定假期每两人相互微信聊天，共需发起的聊天次数为（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【答案】C
【详解】由题意，微信聊天次数没有先后顺序之分，所以共需发起的聊天次数为5×4＝10.
7．（2023下·高二课时练习）从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为（ ）
A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲
B．甲乙丙，乙丙甲
C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
D．甲乙，甲丙，乙丙
【答案】C
【解析】根据题意依次列出即可.
【详解】解：若选出的是甲、乙，
则站法有甲乙、乙甲；
若选出的是甲、丙，则站法有甲丙、丙甲；
若选出的是乙、丙，则站法有乙丙、丙乙.
故选：C.
8．（2023·高二课时练习）沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为（ ）
A．15 B．30 C．12 D．36
【答案】B
【分析】由分步乘法原理求不同的火车票的种数.
【详解】对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，故不同的火车票有6×5＝30(种)
故选：B.
9．（2023下·重庆沙坪坝·高二重庆市天星桥中学校考阶段练习）从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．60
【答案】C
【分析】计算从5个不同元素中取出2个元素的排列数即可.
【详解】此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数，
即共有=20(种)不同的送书方法.
故选：C.
10．（2023·全国·高二专题练习）由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为( )
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】B
【分析】利用数形图将满足条件的四位数逐一列出即可.
【详解】本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：
由此可知共有12个符合题意的四位数．
故选：B
11．（2023上·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有（ ）
A．4种 B．12种 C．18种 D．24种
【答案】D
【分析】由全排列的知识进行计算可得答案.
【详解】解：由题意可得不同的采访顺序有种，
故选：D.
【点睛】本题主要考查排列组合中的全排列的知识，考查对基础知识的了解，属于基础题.
12．（2023·高二课时练习）下列各式中，不等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用排列数的计算公式即可得出结果.
【详解】A，，
B，，
C，，
D，，
故选：C
13．（2023·高二课时练习）已知，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据排列数的计算公式，进行计算即可.
【详解】，
化简得，所以.
故选：B
14．（2023下·高二课时练习）不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用排列数公式和排列数的性质，列出方程求得，结合，即可求解.
【详解】由，可得，整理得，解得，
又因为，解得，
综上可得，又由 所以.
故选：D.
15．（2023下·新疆喀什·高二统考期末）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有（ ）种不同的送法．
A．60 B．125 C．45 D．11
【答案】A
【分析】确定是排列问题，根据排列数的计算，可得答案.
【详解】由题意得，从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，
共有种不同的送法，
故选:A
16．（2023下·新疆巴音郭楞·高二校考期中）有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
【答案】C
【分析】由排列及分步乘法计数原理求解.
【详解】司机、售票员各有种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有种不同的分配方法.
故选：C
17．（2023上·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，分3步进行分析：①，将4名男生分成1、3的两组，②，将6名女生全排列，排好后有7个空位，③，将分好的2组安排到7个空位中，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，分3步进行分析：
①，将4名男生分成1、3的两组，有种分组方法，其中三人组三人之间的顺序有种，
②，将6名女生全排列，有种情况，排好后有7个空位，
③，将分好的2组安排到7个空位中，有种情况，
则不同的排法有种，
故选：D．
18．（2023下·宁夏·高二阶段练习）要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是（ ）
A．20 B．16 C．10 D．6
【答案】B
【分析】利用间接法，先求总的选2人担任正副组长的选法，再减去当副组长的情况，即为所求．
【详解】不考虑限制条件5人中选2人担任正副组长有种选法，若a当副组长，有种选法，
故a不当副组长，有 (种)选法.
故选：B
19．（2023·高二课时练习）五声音阶是中国古乐的基本音阶，五个音分别称为宫 商 角 徵 羽，如果将这五个音排成一排，宫 羽两个音不相邻，且位于角音的同侧，则不同的排列顺序有（ ）
A．20种 B．24种 C．32种 D．48种
【答案】C
【分析】根据角音所在的位置分两类，根据分步乘法和分类加法计数原理即可求解.
【详解】根据角音所在的位置按从左到右依次为位置一 二 三 四 五分两类：
第一类，角音排在位置一或五，则不同的排列顺序有（种）；
第二类，角音排在位置二或四，则不同的排列顺序有（种）；
根据分类加法计数原理，可得不同的排列顺序共有（种）.
故选：C.
20．（2023下·山西朔州·高二校考阶段练习）从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（ ）
A．60种 B．80种 C．100种 D．120种
【答案】D
【分析】利用排列的定义直接列式求解.
【详解】从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共（种）．
故选:D．
21．（2023·新疆·统考一模）如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】分类分步排列即可.
【详解】由题意1和7是不能漏掉的，所以由以下路线：
（1,3,5,6,7），（1,3,4,6,7），（1,3,4,5,7），（1,2,4,6,7），（1,2,4,5,7），（1,2,3,5,7）共6条，
故选：B.
22．（2023·高二课时练习）某班有4名同学报名参加校运会的五个比赛项目，每人参加一项且各不相同，则不同的报名方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【分析】根据题意应用排列计算求解.
【详解】由题可知不同的报名方法数为从5个不同元素中取出4个元素的排列数，
所以不同的报名方法有种.
故选：C.
23．（2023下·山东菏泽·高二统考期中）将3张不同的奥运会门票分给6名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是（ ）
A．240 B．120 C．60 D．40
【答案】B
【分析】由排列的定义即可求解.
【详解】解：因为将3张不同的奥运会门票分给6名同学中的3人，每人1张，
所以不同分法的种数为，
故选：B.
24．（2023下·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考期中）两位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同的选法共有( )种
A．9 B．6 C．8 D．4
【答案】B
【分析】根据题意，问题可看作有顺序的排列问题，三门课选两门分给两位同学，根据排列的计算方法即可计算．
【详解】两位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同的选法共有种﹒
故选：B﹒
二、多选题
25．（2023下·高二课前预习）(多选)从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果．在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有（ ）
A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法
【答案】BD
【详解】因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题，故选BD.
26．（2023·高二课时练习）（多选）从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素，下列四个问题属于排列问题的是（ ）.
A．相加可得多少个不同的和
B．相除可得多少个不同的商
C．作为椭圆中的a，b，可以得到多少个焦点为x轴上的椭圆方程
D．作为双曲线中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程
【答案】BD
【分析】利用排列的定义对四个选项一一判断.
【详解】对于A：因为加法满足交换律，所以A不是排列问题；故A错误；
对于B：因为除法不满足交换律，如，所以B是排列问题；
对于C：若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a＞b，a，b的大小关系一定.所以C不是排列问题；
对于D：在双曲线中不管a＞b还是a＜b，方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故D是排列问题.
故选：BD.
27．（2023下·安徽滁州·高二校考期末）下列各式中与排列数相等的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用排列数公式，逐项计算判断作答.
【详解】对于A，由排列数公式知，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：AD
28．（2023下·江苏苏州·高二苏州市苏州高新区第一中学校考阶段练习）下列等式正确的是（　　）
A． B．
C．！ D．
【答案】ACD
【分析】根据阶乘和排列数的运算公式，进行推理与判断选项中的运算是否正确即可．
【详解】对于A，，选项A正确；
对于B，，所以选项B错误；
对于C，，选项C正确；
对于D， ，选项D正确．
故选：ACD．
三、填空题
29．（2023·江苏·高二专题练习）给出下列问题：
①有10位同学，每两人互通一次电话，共通了多少次电话？
②有10位同学，每两人互写一封信，共写了多少封信？
③有10位同学，每两人互握一次手，共握了多少次手？
以上问题中，属于排列问题的是 ．（写出所有满足要求的问题序号）
【答案】②
【分析】根据排列的定义判断即可
【详解】对于①，假设10位同学中含甲乙，甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，故不是排列问题；
对于②，假设10位同学中含甲乙，甲给乙写一封信，跟乙给甲写一封信，是不一样的，是有顺序区别的，故属于排列问题；
对于③，假设10位同学中含甲乙，甲与乙握一次手，也就是乙与甲握一次手，没有顺序区别，故不是排列问题，
故答案为：②
30．（2023·高二课时练习）计算： ．
【答案】
【分析】由阶乘及排列数定义可得答案.
【详解】，
则.
故答案为：.
31．（2023·高二课时练习）学号分别为1，2，3，4的四位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，列举出所有不同的排列： ．
【答案】3142，2413
【分析】可以考虑先排1，2，有种方法，此时1，2之间必须插入4，有1种方法，3必须选择与1相邻的另一侧，根据计数原理即可得答案．
【详解】先排学号1，2的同学，有2种方法，此时1，2之间必须插入4，有1种方法，3必须选择与1相邻的另一侧，故所有不同的排列为：3142，2413，
故答案为：3142，2413
32．（2023·江苏·高二专题练习）从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成 个以b为首的不同的排列，它们分别是 ．
【答案】 12 bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed
【分析】根据题意首位确定为b，则只需确定后面的两个元素即可（画出树状图得出答案）．
【详解】画出树形图如下：
可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed．
故答案为：12；bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed．
33．（2023·高二课时练习）3盆不同品种的花排成一排，共有 种不同的排法.
【答案】6
【分析】根据全排列的定义即可计算.
【详解】由于花的品种不同，第一个位置有3种放法，于是第二个位置，第三个位置分别有2种，1种放法，于是共有3×2×1＝6(种)不同的排法.
故答案为：6
34．（2023·高二课时练习）有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地里，有 种不同的种法.
【答案】1680
【分析】本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题，根据排列公式计算即可.
【详解】解析:将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地里，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题，
所以不同的种法共有=8×7×6×5=1680(种).
故答案为：1680.
35．（2023·高二课时练习）王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读.
（1）若他从这些参考书中带1本去图书馆，则有 种不同的带法；
（2）若带外语、数学、物理参考书各1本，则有 种不同的带法；
（3）若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，则有 种不同的带法.
【答案】 12 60 47
【分析】（1）根据分类加法计数原理求解即可.
（2）根据分步乘法计数原理求解即可.
（3）首先根据题意分成三类，第一类：选1本外语书和选1本数学书，第二类：选外语书、物理书各1本，第三类：选数学书、物理书各1本，分别计算其选法，再相加即可.
【详解】（1）完成的事情是带1本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都已完成，
从而确定应用分类加法计数原理，结果为5+4+3=12种.
（2）完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，结果为5×4×3=60种.
（3）选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×4=20种选法；
同样，选外语书、物理书各1本，有5×3=15种选法；
选数学书、物理书各1本，有4×3=12种选法.
即有三类情况，应用分类加法计数原理，结果为20+15+12=47种.
故答案为：12；60；47
36．（2023·浙江·校联考模拟预测）将1，2，3，4，5，6，7，8八个数字排成一排，满足相邻两项以及头尾两项的差均不大于2，则这样的排列方式共有 种.（用数字作答）
【答案】
【分析】根据题意可将该排列问题看成一个圆环上有1，2，3，4，5，6，7，8八个数字使其满足题意要求进行摆放，有两种情形，然后再将此圆环分别从某一个数字处剪开排成一列，一个作为头一个作为尾，由此即可求出结果.
【详解】根据题意可将该排列问题看成一个圆环上有1，2，3，4，5，6，7，8八个数字使其满足题意要求进行摆放，有两种情形，如下图所示:
然后再将此圆环分别从某一个数字处剪开排成一列，一个作为头一个作为尾，则每一个圆环有8种剪开方式情况，故满足题意的有种.
故答案为：.
37．（2023·高二课时练习）用排列数符号表示下列各式：
（1） ；
（2） ；
（3） （且）．
【答案】
【分析】根据排列数公式逆用即可.
【详解】（1）；
（2），
（3）
38．（2023·广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）
【答案】1560
【详解】试题分析：通过题意，列出排列关系式，求解即可．
解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．
故答案为1560．
点评：本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键．
39．（2023下·广西玉林·高二校考期中）七位同事（四男三女）轮值办公室每周的清洁工作，每人轮值一天，其中男同事甲必须安排周日清洁，且三位女同事任何两位的安排不能连在一起，则不同的安排方法种数是 （用数字作答）
【答案】144
【分析】优先安排男同事甲在星期日轮值有1种，再安排其余3位男同事作全排列有，最后安排女同事插在三个男同事中有，最后根据分步用乘法的原理得：.
【详解】解：第一步：先安排男同事甲在星期日轮值有1种，
第二步：其余3位男同事作全排列有，
第三步：因为三位女同事任何两位的安排不能连在一起，所以后3位女同事插空安排有，
分步完成共有方法种数为：.
故答案为：144.
【点睛】本题主要考查分步计数原理与排列，属于中档题.
40．（2023上·陕西渭南·高三校联考阶段练习）生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“五经”是儒家典籍《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则满足《诗经》必须排在后2节，《周易》和《礼记》必须分开安排的情形共有 ．
【答案】28
【分析】对《诗经》的位置分两种情况（位于第4节和第5节）讨论，利用间接法列式计算得解.
【详解】当《诗经》位于第5节时，《周易》和《礼记》相邻有3种情形，且《周易》和《礼记》排序有种，剩下的排序也有种，因此满足条件的情形有种；
当《诗经》位于第4节时，《周易》和《礼记》相邻有2种情形，《周易》和《礼记》排序有种，剩下的排序也有种，此时满足条件的情形有种．
所以满足条件的情形共有种．
故答案为：28
41．（2023下·天津·高三天津一中阶段练习）由组成没有重复数字且都不与相邻的六位偶数的个数是
【答案】108
【分析】根据分步计数原理与分类计数原理分类讨论列式求解.
【详解】先确定个位数为偶数，有3种方法，再讨论：若5在首位或十位，则1，3有三个位置可选，其排列数为;若5在百位、千位或万位，则1，3有两个位置可选，其排列数为;从而所求排列数为
【点睛】本题考查排列组合应用，考查基本分析求解能力，属基本题.
42．（2023上·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）西湖龙井茶素来有“绿茶皇后”“十大名茶之首”的称号，按照产地品质不同，西湖龙井茶可以分为“狮、龙、云、虎、梅”五个字号．某茶文化活动给西湖龙井茶留出了三个展台的位置，现在从五个字号的产品中任意选择三个字号的茶参加展出活动，如果三个字号中有“狮、梅”，则“狮”字号茶要排在“梅”字号茶前（不一定相邻），则不同的展出方法有 种．（用数字作答）
【答案】51
【分析】分当选出的字号中没有“狮、梅”，有“狮梅”中的一种，“狮、梅”都有，三种情况讨论分别求解，然后再求和即得.
【详解】当选出的字号中没有“狮、梅”时，共有种展出的方法；
当选出的字号中有“狮梅”中的一种时，共有种展出的方法；
当选出的字号中“狮、梅”都有时，共有种展出的方法,
所以共有种不同的展出方法．
故答案为：51.
43．（2023下·北京大兴·高二统考期中）从某班7名学生干部中选择2名，分别参加周一早上和周五下午的校门口志愿服务活动，则不同的安排方法数是 .（结果用数字作答）
【答案】
【分析】根据题意，结合排列数的公式，即可求解.
【详解】从某班7名学生干部中选择2名，分别参加周一早上和周五下午的校门口志愿服务活动，
则不同的安排方法数是.
故答案为：.
44．（2023下·天津红桥·高二天津三中校考期末）在A，B，C，D四位学生中，选出两人担任正、副班长，共有选法 种．
【答案】12
【分析】先从A，B，C，D四位学生中，选出两人，再安排正、副班长即可.
【详解】先从A，B，C，D四位学生中，选出两人，再安排正、副班长即可，
共有：中选法.
故答案为：12.
四、解答题
45．（2023·全国·高二专题练习）判断下列问题是否为排列问题：
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互打电话．
【答案】(1)不是
(2)是
(3)不是
(4)不是
(5)是
(6)是
【分析】根据排列定义分别判断即可.
【详解】(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(6)A给B打电话与B给A打电话是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．
所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．
46．（2023下·高二课时练习）计算：和
【答案】2730；720
【分析】根据排列数的计算公式计算即可
【详解】，
.
47．（2023·高二课时练习）写出所有由1，2，3，4这四个数字排成的没有重复数字的四位数．
【答案】答案见详解
【分析】直接写出即可
【详解】由1，2，3，4这四个数字排成的没有重复数字的四位数有：1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321.
48．（2023·高二课时练习）某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？
【答案】30
【分析】安排一场比赛，可先安排一支主队，再剩余的中安排一支客队即可，由分步乘法计数原理求解，也可直接转化为排列问题求解.
【详解】法一，可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队．按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为．
法二，根据主客场比赛，一场比赛就是在6个队中选两个队的一个排列，
故有种安排方法，即每组共进行30场比赛.
49．（2023·高二课时练习）（1）从四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？
（2）写出从4个元素中任取3个元素的所有排列．
【答案】（1）12；（2）答案见解析
【分析】用树形图列出所有的排列，即可得答案.
【详解】（1）由题意作“树形图”，如下．
故组成的所有两位数为，共有12个．
（2）由题意作“树形图”，如下．
故所有的排列为：，.
50．（2023·高二课时练习）请列出下列排列：
(1)从4个不同元素中任取3个元素的所有排列；
(2)从7个不同元素中任取2个元素的所有排列．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）（2）根据排列的定义将所求排列逐一列出，做到不多不漏即可.
【详解】（1）根据题意，从4个不同元素中任取3个元素的所有排列共有如下种：
.
（2）从7个不同元素中任取2个元素的所有排列共有如下种：
.
51．（2023·高二课时练习）某药品研究所研制了5种消炎药，，，，，4种退热药，，，，现从中取2种消炎药和1种退热药同时进行疗效试验，但，两种药或同时用或同时不用，，两种药不能同时使用，试写出所有不同的试验方法.
【答案】答案见详解．
【分析】根据题意直接写出所有试验方法即可．
【详解】写出所有不同的试验方法如下：
，，，，，，，，，
，，，，，共14种.
52．（2023·高二课时练习）从甲、乙、丙三名学生中任意安排2名学生参加数学、外语两个课外小组的活动，共有多少种不同的安排方案？请画出相应的树状图，并解答．
【答案】共6种安排方案，树状图见解析
【分析】根据题意画出树状图即可求解
【详解】树状图如图所示
，
由树状图可知，共有6种不同的安排方案
53．（2023·全国·高二专题练习）将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法．
【答案】答案见解析
【分析】依题意分类讨论，按树形图要求罗列即可.
【详解】树形图(如图)：
由树形图知，所有排法有BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.
54．（2023·高二课时练习）写出下列问题的所有排列：
（1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？
（2）两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？
【答案】（1）12种；（2）站法见解析，8种．
【分析】（1）根据每一个起点和终点情况画图即可得结果；
（2）由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生，画树状图即可得结果．
【详解】（1）列出每一个起点和终点情况，如图所示．
故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种；
（2）由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为A，B，两名老师分别为M，N，此问题可分两类：
由此可知，所有可能的站法为AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA，BNMA，BAMN，BANM，共8种．
55．（2023高一数学）用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：
（1）各位数字互不相同的三位数有多少个？
（2）可以排出多少个不同的三位数？
【答案】（1）120；（2）216．
【分析】根据排列定义及分步乘法的计算原理即可求解结果．
【详解】（1）三位数的每位上数字均为1，2，3，4，5，6之一．
第一步，得首位数字，有6种不同结果；
第二步，得十位数字，有5种不同结果；
第三步，得个位数字，有4种不同结果．
故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个)；
（2）三位数，每位上数字均可从1，2，3，4，5，6六个数字中得一个，共有这样的三位数有6×6×6＝216(个)．
56．（2023·高二课时练习）从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数.
（1）能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数.
（2）若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】（1）根据分步乘法计数原理分步排列，结合树状图即可求解；
（2）结合树状图即可求解；
【详解】(1)组成三位数分三个步骤：
第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；
第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；
第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法.
由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18(个)不同的三位数.
画出下列树形图：
由树形图知，所有的三位数为：
102，103，120，123，130，132，201，203，210，
213，230，231，301，302，310，312，320，321.
(2)直接画出树形图：
由树形图知，符合条件的三位数有8个：
201，210，230，231，301，302，310，312.
57．（2023·高二课时练习）（1）有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
（2）有7种不同的书（每种不少于3本），要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多 少种不同的送法？
【答案】(1)210 (2)343
【分析】（1）7本书选3本送给3名同学，每名同学不能取同一本书，进而根据排列公式得到答案；
（2）7种不同的书选3本送给3名同学，每名同学可以选同一类书，进而按照分步乘法计数原理求得答案.
【详解】（1）从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有(种)不同的送法.
（2）从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，每一次有7种选法，根据分步乘法计数原理，共有不同的送法7×7×7＝343(种).
58．（2023上·陕西渭南·高二渭南市华州区咸林中学校考阶段练习）从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．
【答案】答案见解析
【分析】给“语文、数学、英语、物理”编号，依次1，2，3，4，画出树形图，然后根据树形图一一列举．
【详解】解：从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有（种）不同的分法．不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次1，2，3，4，画出树形图如图．
由树形图可知，按甲、乙、丙的顺序分的分法为：
语数英 语数物 语英数 语英物 语物数 语物英
数语英 数语物 数英语 数英物 数物语 数物英
英语数 英语物 英数语 英数物 英物语 英物数
物语数 物语英 物数语 物数英 物英语 物英数
59．（2023下·高二课时练习）三个女生和五个男生排成一排．
(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
【答案】(1)4320
(2)14400
(3)14400
(4)36000
【分析】（1）捆绑法求解；（2）插空法解决；（3）可用位置分析法、间接法或者元素分析法解决； （4）可用位置分析法或者间接法解决.
【详解】（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有种不同的排法，对于其中的每一种排法，三个女生之间又有种不同的排法．
因此共有＝4320（种）不同的排法．
（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，由于五个男生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有种排法.
因此共有＝14 400（种）不同的排法．
（3）方法一：（位置分析法）因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有种不同的排法.所以共有＝14400（种）不同的排法．
方法二：（间接法）三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有种不同的排法.
所以共有＝14400（种）不同的排法．
方法三：（元素分析法）从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有种不同的排法.
所以共有＝14400（种）不同的排法．
（4）方法一：（位置分析法）因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有种不同的排法；如果首位排女生，有种排法，那么末位就只能排男生，这样可有种不同的排法.
因此共有＝36000（种）不同的排法．
方法二：（间接法）三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法种，就得到两端不都是女生的排法种数．
因此共有＝36000（种）不同的排法．
60．（2023下·高二课时练习）（1）用排列数表示且；
（2）化简：．
【答案】（1） ；（2）.
【分析】根据排列数的计算公式，结合题意，即可求解.
【详解】（1）因为中最大的数为，共有个数，
根据排列数公式，可得；
（2）由排列数公式，可得.
61．（2023下·高二课时练习）解不等式：
【答案】
【分析】利用排列数的计算公式，列出方程，即可求解.
【详解】由题意可知，且，
因为，，，
所以原不等式可化为，
整理得，解得，所以原不等式的解集为.
62．（2023·高二课时练习）求证：．
【答案】证明见详解
【分析】利用排列数的计算公式即可证明.
【详解】左边，
右边，
所以，即证.
63．（2023·江苏·高二专题练习）证明：.
【答案】见解析
【详解】
,.
64．（2023下·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求和：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【分析】按照阶乘的定义即可求解.
【详解】（1）证明：．
（2）证明：．
（3）由（2）知，
所以；
综上，.
65．（2023下·高二课时练习）7人站成一排．
(1)甲必须在乙的前面（不一定相邻），则有多少种不同的排列方法？
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变（不一定相邻），则有多少不同的排列方法？
【答案】(1)2520
(2)840
【分析】（1）7人站成一排，甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半可得.
（2）7人站成一排，甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变（不一定相邻）占全排列种数的，可得.
【详解】（1）甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半，故有（种）不同的排法．
（2）甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的，故有（种）不同的排法．
66．（2023下·高二课时练习）从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．
(1)甲不在首位的排法有多少种？
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
【答案】(1)2160
(2)1800
(3)1200
(4)1860
【分析】（1）方法一：分含甲和不含甲，含甲优先安排利用分步乘法原理可得；方法二：先对首位安排人，然后再安排其余位置，利用分步乘法原理可得；方法三：间接法，先求出总的排列数，然后去掉甲在首位的即可求得；
（2）先安排首尾两个位置，然后再安排其余位置，利用分步乘法原理可得；
（3）先安排首尾两个位置，然后再安排其余位置，利用分步乘法原理可得；
（4）间接法，总的排列数减去甲在首位排列数，再减去乙在末位的排列数，最后加上甲在首位同时乙在末位的排法数.
【详解】（1）方法一：把元素作为研究对象：
第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有种排法；
第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有种排法．根据分步乘法计数原理，有4×种排法．
由分类加法计数原理知，共有＋4×＝2160（种）排法．
方法二：把位置作为研究对象，
第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有种方法；
第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有种方法；由分步乘法计数原理知，共有＝2160（种）排法.
方法三：（间接法）先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉，不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有种，甲在首位的情况有种，所以符合要求的排法有－＝2160（种）.
（2）把位置作为研究对象，先考虑特殊位置.
第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有种方法；
第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有种方法；
根据分步乘法计数原理，共有＝1800（种）方法.
（3）把位置作为研究对象.
第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有种方法；
第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有种方法．
根据分步乘法计数原理，共有＝1200（种）方法.
（4）总的可能情况有种，减去甲在首位的种排法，再减去乙在末位的种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次种排法，所以共有－2＋＝1860（种）排法.
67．（2023下·海南·高二校考期中）用0、1、2、3、4五个数字:
(1)可组成多少个五位数；
(2)可组成多少个无重复数字的五位数；
(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；
(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】四个问题是同一类型题根据已知讨论各个位置上的数字情况，然后利用分步乘法计数原理进行计算即可求解.
【详解】（1）用0、1、2、3、4五个数字组成五位数,相当于从1、2、3、4四个数字中抽取一个放在万位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在千位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在百位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在十位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在个位，有种情况，
所以可组成个五位数.
（2）用0、1、2、3、4五个数字组成无重复数字的五位数,相当于先从1、2、3、4四个数字中抽取一个放在万位，有种情况，再把剩下的三个数字和0全排列，有种情况，所以可组成个无重复数字的五位数.
（3）无重复数字的3的倍数的三位数组成它的三个数字之和必须是3的倍数，
所以三个数字必须是0、1、2或0、2、4或1、2、3或2、3、4，
若三个数字是0、1、2，则0不能放在百位，从1和2两个数字中抽取一个放在百位，有种情况，再把剩下的一个数字和0全排列，有种情况；
若三个数字是0、2、4，则0不能放在百位，从2和4两个数字中抽取一个放在百位，有种情况，再把剩下的一个数字和0全排列，有种情况；
若三个数字是1、2、3，则相当于对这三个数字全排列，有种情况;
若三个数字是2、3、4，则相当于对这三个数字全排列，有种情况.
所以根据分类计数原理，共可组成
个无重复数字的且是3的倍数的三位数.
（4）由数字0、1、2、3、4五个数字组成无重复数字的五位奇数，则放在个位的数字只能是奇数，所以放在个位数字只能是1或3，所以相当于先从1、3两个数字中抽取一个放在个位，有种情况，再从剩下的四个数字中除去0抽取一个放在万位，有种情况，再对剩下的三个数字全排列，有种情况，
所以可组成个无重复数字的五位奇数.
68．（2023下·安徽安庆·高二安徽省怀宁中学校考期中）已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测度，直至找到所有4件次品为止．
（1）若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？
（2）若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法？
【答案】（1）86400；（2）8520.
【分析】（1）首先考虑第2次和第8次的可能情况，再分析第3到7次的可能情况，结合分步计数原理即可求出结果；
（2）分别三类：检测4次可测出4件次品，检测5次可测出4件次品，以及检测6次测出4件次品或6件正品，然后结合分类计数原理即可求出结果.
【详解】（1）若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回地逐个抽取测试，
第2次测到第一件次品有4种方法；
第8次测到最后一件次品有3种方法；
第3至第7次抽取测到最后两件次品共有种方法；剩余4次抽到的是正品，共有＝86400种抽法．
（2）检测4次可测出4件次品，不同的测试方法有种，
检测5次可测出4件次品，不同的测试方法有种；
检测6次测出4件次品或6件正品，则不同的测试方法共有种．
由分类计数原理，知满足条件的不同测试方法的种数为＝8520种.
69．（2023·全国·高三专题练习）现有8个人男3女）站成一排.
(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
(2)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？
(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？
(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
(5)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？
(6)其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？
(7)男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？
(8)第3和第6个排男生，有多少种不同排法？
(9)甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？
(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【分析】（1）利用捆绑法，然后将内部和整体全排列即可；
（2）直接将剩下的7人全排列即可；
（3）先安排甲乙，然后将剩下的人全排列即可；
（4）先将出甲乙之外的6人全排列，然后将甲乙插入即可；
（5）直接全排列，然后除二即可；
（6）先将出甲乙丙之外的5人全排列，然后插入甲乙丙即可；
（7）将3名女生和5名男生分别看成一个整体，然后对内部和整体全排列即可；
（8）先在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，剩下的人全排列即可；
（9）先将甲乙两人安排在后面的5个位置，剩下的人全排列即可；
（10）将5名男生全排列，然后将女生插入空隙即可.
【详解】（1）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，
将这个整体与5名男生全排列，有种情况，
则女生必须排在一起的排法有种；
（2）根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，
将剩下的7人全排列，有种情况，
则甲必须站在排头有种排法；
（3）根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，
则甲、乙两人不能排在两端有种排法；
（4）根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有种情况，排好后有7个空位，
则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有种情况，
则甲、乙两人不相邻有种排法；
（5）根据题意，将8人全排列，有种情况，
其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，
则甲在乙的左边有种不同的排法；
（6）根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有种情况，排好后有6个空位，
则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有种情况，
其中甲乙丙不能彼此相邻有种不同排法；
（7）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，
再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有种情况，
将男生、女生整体全排列，有种情况，
则男生在一起，女生也在一起，有种不同排法；
（8）根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，
则第3和第6个排男生，有种不同排法；
（9）根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，
甲乙不能排在前3位，有种不同排法；
（10）根据题意，将5名男生全排列，有种情况，排好后除去2端有4个空位可选，
在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，
则女生两旁必须有男生，有种不同排法.
70．（2023下·高二课时练习）求证：（1）；
（2）.
【答案】见详解.
【分析】（1）根据排列数的计算公式展开，通过计算即可证明式子成立；
（2）利用阶乘的计算公式进行展开，通分，通过计算即可证明式子成立.
【详解】（1）左边
右边，
∴结论成立，即；
（2）当时，
左边
右边，
∴结论成立，即.6.2.1 排列6题型分类
一、排列概念
1.排列的定义：
从个不同元素中，任取个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从不同元素中取出个元素的一个排列.
2.要点诠释:
（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．
（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．
（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列．
二、排列数
1.排列数的定义：
从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示.
2.要点诠释:
“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；
三、排列数公式
1..
2.要点诠释:
公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数.
四、阶乘
1．阶乘的概念：
表示正整数到的连乘积，叫做的阶乘．规定．
2.排列数公式的阶乘式：
.
五、排列的常见类型与处理方法
1.相邻元素捆绑法
2.相离问题插空法
3.元素分析法
4.位置分析法
（一） 与排列数有关的运算 1、排列数： （1）排列数的定义：从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示. （2）排列数公式：. （3）阶乘：表示正整数到的连乘积，叫做的阶乘．规定． （4）排列数的阶乘式： 2、排列数公式的应用 （1）排列数的第一个公式适用于具体计算以及解当较小时的含有排列数的方程和不等式． （2）排列数的第二个公式适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等问题．在具体运用时，应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“”的运用．
题型1：与排列数有关的运算 1-1．（2023·高二课时练习）等于（ ） A．9×3 B．93 C．9×8×7 D．9×8×7×6×5×4×3 1-2．（2023下·陕西·高二校联考阶段练习）可以表示为( )． A． B． C． D． 1-3．（2023下·江苏南通·高二统考期末）若，则（ ） A． B． C． D． 1-4．（2023·高二课时练习）＝ ． 1-5．（2023下·山东临沂·高二统考期中） ． 1-6．（2023·高二课时练习）（1）已知，那么 ； （2）已知，那么 ； （3）已知，那么 ． 1-7．（2023下·宁夏银川·高二校考期末）已知，则 ． 1-8．（2023·高二课时练习）求证： (1)； (2)．
（二） 无限制条件的排列问题 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取．
题型2：无限制条件的排列问题 2-1．（2023下·高二课时练习）甲 乙 丙三名同学排成一排，不同的排列方法有（ ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 2-2．（2023下·江西南昌·高二南昌市八一中学校考阶段练习）6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为（ ） A．36 B．120 C．720 D．240 2-3．（2023下·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有 种不同的招聘方案．(用数字作答)
（三） 排队问题 1．“处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则． ①元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列． ②元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素． 2．解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．
题型3：相邻问题 3-1．（2023·河南平顶山·汝州市第一高级中学校考模拟预测）某晚会上需要安排4个歌舞类节目和2个语言类节目的演出顺序，要求语言类节目之间有且仅有2个歌舞类节目，则不同的演出方案的种数为（ ）． A．72 B．96 C．120 D．144 3-2．（2023·四川攀枝花·统考二模）甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排．甲、乙要相邻．且甲不站在两端，则不同的排法种数 ． 3-3．（2023·辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 A．3×3！ B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9！
题型4：不相邻问题 4-1．（2023下·高二课时练习）高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有 种不同的排法． 4-2．（2023下·江西·高二九江一中校考期末）5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为（ ） A． B． C． D． 4-3．（2023下·江苏盐城·高二盐城市大丰区新丰中学校考期中）三位老师和三位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法种数为（ ） A．72 B．144 C．36 D．12 4-4．（2023上·上海虹口·高二上海市复兴高级中学校考期末）甲 乙 丙三人相约去看电影，他们的座位恰好是同一排10个位置中的3个，因疫情防控的需要（这一排没有其他人就座），则每人左右两边都有空位的坐法（ ） A．120种 B．80种 C．64种 D．20种 4-5．（2023下·山东滨州·高二阶段练习）7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是（　　） A．60 B．120 C．240 D．360 4-6．（2023上·山西大同·高三统考阶段练习）高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一 二 三共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一 必修二不相邻的排列方法种数是（ ） A．72 B．144 C．48 D．36 4-7．（2023上·云南昆明·高三校考阶段练习）根据新课改要求，昆明市艺卓中学对学校的课程进行重新编排，其中对高二理科班的课程科目：语文、数学、英语、物理、化学、生物这六个科目进行重新编排（排某一天连续六节课的课程，其中每一节课是一个科目），编排课程要求如下：数学与物理不能相邻，语文与生物要相邻，则针对这六个课程不同的排课顺序共有（ ） A．144种 B．72种 C．36种 D．18种
（四） 排列中的定序问题 在有些排列问题中，某些元素有前后顺序是确定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有两种： ①整体法：即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m＋n个元素排成一列，有A种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法． ②插空法：即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空隙中．
题型5：定序问题 5-1．（2023下·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）7个人排成一队参观某项目，其中ABC三人进入展厅的次序必须是先B再A后C，则不同的列队方式有多少种（ ） A．120 B．240 C．420 D．840 5-2．（2023下·山东临沂·高二统考期中）在某班举行的“庆五一”联欢晚会开幕前已排好有8个不同节目的节目单，如果保持原来的节目相对顺序不变，临时再插进去三个不同的新节目，且插进的三个新节目按顺序出场，那么共有 种不同的插入方法(用数字作答)． 5-3．（2023·江苏·高二专题练习）用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有 个七位数符合条件．
（五） 数字排列问题 数字排列的常见特殊性：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数．
题型6：数字排列问题 6-1．（2023·湖北·统考一模）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ） A．8 B．24 C．48 D．120 6-2．（2023·高二课时练习）一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如735，414等)，那么这样的三位数共有（ ） A．240个 B．249个 C．285个 D．330个 6-3．（2023·四川）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 A．144个 B．120个 C．96个 D．72个 6-4．（2023·高二课时练习）用0，1，2，3，…，9十个数字可组成不同的： （1）三位数 个； （2）无重复数字的三位数 个； （3）小于500且无重复数字的三位奇数 个．
一、单选题
1．（2023上·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）下列问题是排列问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2023个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
2．（2023下·高二课时练习）下列问题是排列问题的是（ ）
A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？
3．（2023下·广东茂名·高二统考期中）甲 乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为（ ）
A．6 B．4 C．8 D．10
4．（2023下·湖北·高二统考期末）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，则不同站法的种数有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．60种
5．（2023下·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第三十二中学校校考期中）将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为（ ）
A．54 B．45
C．5×4×3×2 D．5
6．（2023上·陕西西安·高二西北工业大学附属中学校考阶段练习）某学习小组共5人，约定假期每两人相互微信聊天，共需发起的聊天次数为（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
7．（2023下·高二课时练习）从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为（ ）
A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲
B．甲乙丙，乙丙甲
C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
D．甲乙，甲丙，乙丙
8．（2023·高二课时练习）沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为（ ）
A．15 B．30 C．12 D．36
9．（2023下·重庆沙坪坝·高二重庆市天星桥中学校考阶段练习）从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．60
10．（2023·全国·高二专题练习）由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为( )
A．9 B．12 C．15 D．18
11．（2023上·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有（ ）
A．4种 B．12种 C．18种 D．24种
12．（2023·高二课时练习）下列各式中，不等于的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·高二课时练习）已知，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
14．（2023下·高二课时练习）不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
15．（2023下·新疆喀什·高二统考期末）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有（ ）种不同的送法．
A．60 B．125 C．45 D．11
16．（2023下·新疆巴音郭楞·高二校考期中）有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
17．（2023上·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种.
A． B． C． D．
18．（2023下·宁夏·高二阶段练习）要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是（ ）
A．20 B．16 C．10 D．6
19．（2023·高二课时练习）五声音阶是中国古乐的基本音阶，五个音分别称为宫 商 角 徵 羽，如果将这五个音排成一排，宫 羽两个音不相邻，且位于角音的同侧，则不同的排列顺序有（ ）
A．20种 B．24种 C．32种 D．48种
20．（2023下·山西朔州·高二校考阶段练习）从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（ ）
A．60种 B．80种 C．100种 D．120种
21．（2023·新疆·统考一模）如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
22．（2023·高二课时练习）某班有4名同学报名参加校运会的五个比赛项目，每人参加一项且各不相同，则不同的报名方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
23．（2023下·山东菏泽·高二统考期中）将3张不同的奥运会门票分给6名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是（ ）
A．240 B．120 C．60 D．40
24．（2023下·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考期中）两位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同的选法共有( )种
A．9 B．6 C．8 D．4
二、多选题
25．（2023下·高二课前预习）(多选)从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果．在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有（ ）
A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法
26．（2023·高二课时练习）（多选）从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素，下列四个问题属于排列问题的是（ ）.
A．相加可得多少个不同的和
B．相除可得多少个不同的商
C．作为椭圆中的a，b，可以得到多少个焦点为x轴上的椭圆方程
D．作为双曲线中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程
27．（2023下·安徽滁州·高二校考期末）下列各式中与排列数相等的是（　　）
A． B．
C． D．
28．（2023下·江苏苏州·高二苏州市苏州高新区第一中学校考阶段练习）下列等式正确的是（　　）
A． B．
C．！ D．
三、填空题
29．（2023·江苏·高二专题练习）给出下列问题：
①有10位同学，每两人互通一次电话，共通了多少次电话？
②有10位同学，每两人互写一封信，共写了多少封信？
③有10位同学，每两人互握一次手，共握了多少次手？
以上问题中，属于排列问题的是 ．（写出所有满足要求的问题序号）
30．（2023·高二课时练习）计算： ．
31．（2023·高二课时练习）学号分别为1，2，3，4的四位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，列举出所有不同的排列： ．
32．（2023·江苏·高二专题练习）从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成 个以b为首的不同的排列，它们分别是 ．
33．（2023·高二课时练习）3盆不同品种的花排成一排，共有 种不同的排法.
34．（2023·高二课时练习）有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地里，有 种不同的种法.
35．（2023·高二课时练习）王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读.
（1）若他从这些参考书中带1本去图书馆，则有 种不同的带法；
（2）若带外语、数学、物理参考书各1本，则有 种不同的带法；
（3）若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，则有 种不同的带法.
36．（2023·浙江·校联考模拟预测）将1，2，3，4，5，6，7，8八个数字排成一排，满足相邻两项以及头尾两项的差均不大于2，则这样的排列方式共有 种.（用数字作答）
37．（2023·高二课时练习）用排列数符号表示下列各式：
（1） ；
（2） ；
（3） （且）．
38．（2023·广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）
39．（2023下·广西玉林·高二校考期中）七位同事（四男三女）轮值办公室每周的清洁工作，每人轮值一天，其中男同事甲必须安排周日清洁，且三位女同事任何两位的安排不能连在一起，则不同的安排方法种数是 （用数字作答）
40．（2023上·陕西渭南·高三校联考阶段练习）生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“五经”是儒家典籍《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则满足《诗经》必须排在后2节，《周易》和《礼记》必须分开安排的情形共有 ．
41．（2023下·天津·高三天津一中阶段练习）由组成没有重复数字且都不与相邻的六位偶数的个数是
42．（2023上·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）西湖龙井茶素来有“绿茶皇后”“十大名茶之首”的称号，按照产地品质不同，西湖龙井茶可以分为“狮、龙、云、虎、梅”五个字号．某茶文化活动给西湖龙井茶留出了三个展台的位置，现在从五个字号的产品中任意选择三个字号的茶参加展出活动，如果三个字号中有“狮、梅”，则“狮”字号茶要排在“梅”字号茶前（不一定相邻），则不同的展出方法有 种．（用数字作答）
43．（2023下·北京大兴·高二统考期中）从某班7名学生干部中选择2名，分别参加周一早上和周五下午的校门口志愿服务活动，则不同的安排方法数是 .（结果用数字作答）
44．（2023下·天津红桥·高二天津三中校考期末）在A，B，C，D四位学生中，选出两人担任正、副班长，共有选法 种．
四、解答题
45．（2023·全国·高二专题练习）判断下列问题是否为排列问题：
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互打电话．
46．（2023下·高二课时练习）计算：和
47．（2023·高二课时练习）写出所有由1，2，3，4这四个数字排成的没有重复数字的四位数．
48．（2023·高二课时练习）某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？
49．（2023·高二课时练习）（1）从四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？
（2）写出从4个元素中任取3个元素的所有排列．
50．（2023·高二课时练习）请列出下列排列：
(1)从4个不同元素中任取3个元素的所有排列；
(2)从7个不同元素中任取2个元素的所有排列．
51．（2023·高二课时练习）某药品研究所研制了5种消炎药，，，，，4种退热药，，，，现从中取2种消炎药和1种退热药同时进行疗效试验，但，两种药或同时用或同时不用，，两种药不能同时使用，试写出所有不同的试验方法.
52．（2023·高二课时练习）从甲、乙、丙三名学生中任意安排2名学生参加数学、外语两个课外小组的活动，共有多少种不同的安排方案？请画出相应的树状图，并解答．
53．（2023·全国·高二专题练习）将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法．
54．（2023·高二课时练习）写出下列问题的所有排列：
（1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？
（2）两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？
55．（2023高一数学）用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：
（1）各位数字互不相同的三位数有多少个？
（2）可以排出多少个不同的三位数？
56．（2023·高二课时练习）从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数.
（1）能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数.
（2）若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数.
57．（2023·高二课时练习）（1）有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
（2）有7种不同的书（每种不少于3本），要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多 少种不同的送法？
58．（2023上·陕西渭南·高二渭南市华州区咸林中学校考阶段练习）从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．
59．（2023下·高二课时练习）三个女生和五个男生排成一排．
(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
60．（2023下·高二课时练习）（1）用排列数表示且；
（2）化简：．
61．（2023下·高二课时练习）解不等式：
62．（2023·高二课时练习）求证：．
63．（2023·江苏·高二专题练习）证明：.
64．（2023下·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求和：．
65．（2023下·高二课时练习）7人站成一排．
(1)甲必须在乙的前面（不一定相邻），则有多少种不同的排列方法？
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变（不一定相邻），则有多少不同的排列方法？
66．（2023下·高二课时练习）从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．
(1)甲不在首位的排法有多少种？
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
67．（2023下·海南·高二校考期中）用0、1、2、3、4五个数字:
(1)可组成多少个五位数；
(2)可组成多少个无重复数字的五位数；
(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；
(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．
68．（2023下·安徽安庆·高二安徽省怀宁中学校考期中）已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测度，直至找到所有4件次品为止．
（1）若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？
（2）若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法？
69．（2023·全国·高三专题练习）现有8个人男3女）站成一排.
(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
(2)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？
(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？
(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
(5)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？
(6)其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？
(7)男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？
(8)第3和第6个排男生，有多少种不同排法？
(9)甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？
(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？
70．（2023下·高二课时练习）求证：（1）；
（2）.

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