资源简介

6.2.2 组合4题型分类
一、组合概念
一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
二、组合数
从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元
素中取出个元素的组合数．用符号表示．其中
三、排列与组合的区别
1.排列是讲“顺序”，而组合不讲“顺序”．
2.从个元素中取出个元素的排列(排列数)，可以理解为分为两步：
第一步，从个元素中取出个元素组合，得到组合数；
第二步，再对个元素进行排列，得到排列数，根据分步乘法计数原理得到．
四、组合数的性质
1.规定:．
2.．
3.．
4.．
（一） 组合的概念 1、组合概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示． 2、有顺序，排列问题；无顺序，组合问题．
题型1：组合的判断 1-1．（2023下·高二课时练习）判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ (3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？ (4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 1-2．（2023·高二课时练习）下列问题中，组合问题的个数是（ ） ①从全班50人中选出5人组成班委会； ②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员； ③从1，2，3，…，9中任取出两个数求积； ④从1，2，3，…，9中任取出两个数求差或商. A．1 B．2 C．3 D．4 1-3．（2023下·新疆喀什·高二校考期中）以下四个问题，属于组合问题的是（ ） A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
（二） 组合数运算 组合数公式：． 组合数的性质：1.规定:．2.．3.．4.． 注：1.涉及具体数字的用公式C＝＝计算． 2.涉及字母的可以用阶乘式C＝计算． 3.计算时常用组合数的两个性质：①；②.
题型2：组合数运算 2-1．（2023上·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）计算： ． 2-2．（2023·高二课时练习）求值： （1）； （2）. 2-3．（2023·高二课时练习）解不等式； 2-4．（2023·高二课时练习）证明： 2-5．（2023·高二课时练习）证明：． 2-6．（2023·江苏·高二专题练习）证明：.
（三） 简单组合问题 1．解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关． 2．要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．
题型3：简单组合问题 3-1．（2023下·黑龙江·高二大庆市东风中学校考期中）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有 3-2．（2023·上海）8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第三、四名，则该大师赛共有 场比赛． 3-3．（2023·浙江·三模）从4男2女共6名学生中选出1人吃原味薯片，2人吃黄瓜味薯片，剩下3人吃番茄味薯片，共有 种选法；如果男生不吃原味薯片，共有 种选法．（用数字作答） 3-4．（2023下·新疆喀什·高二校考期中）一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 3-5．（2023下·陕西渭南·高二校考阶段练习）课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？（用数字做答） （1）至少有一名队长当选． （2）至多有两名女生当选． （3）既要有队长，又要有女生当选． 3-6．（2023上·高二单元测试）如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4． （1）以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含点C1的有多少个？ （2）以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ 3-7．（2023下·陕西西安·高二校考阶段练习）200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（　　） A．种 B．＋种 C．种 D．种
（四） 分堆分配问题 分堆问题：①平均分堆，其分法数为：．②分堆但不平均，其分法数为．
题型4：分堆分配问题 4-1．（2023下·广西南宁·高二南宁三中校考阶段练习）国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有 种不同的分派方法． 4-2．（2023下·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第三高级中学校考期末）把6个学生分配到3个班去，每班2人，其中甲必须分到一班，乙和丙不能分到三班，不同的分法共有 种. 4-3．（2023下·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考期末）教育部于2023年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市4所高校的校长计划拜访当地的甲、乙两家企业，若每名校长拜访1家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有（ ） A．8种 B．10种 C．14种 D．20种 4-4．（2023下·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）为了宣传2023年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 4-5．（2023上·北京通州·高三统考期末）北京2023年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2023年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 4-6．（2023上·内蒙古包头·高二校考期中） 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有种. A． B．3 C． D． 4-7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为 A． B． C． D． 4-8．（2023下·广西桂林·高二校考阶段练习）某中学高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级，且每班安排两名，则不同的安排方案种数为（ ） A． B． C． D．
一、单选题
1．（2023上·浙江·高二校联考阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知n，m为正整数，且，则在下列各式中错误的是（ ）
A．； B．； C．； D．
3．（2023下·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）设n为正整数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．该代数式的值唯一确定 B．该代数式的值有两种情况
C．该代数式的值有三种情况 D．该代数式的值有无数种情况
4．（2023下·陕西西安·高二统考期末）（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）已知，则的值是（ ）
A．9 B．7 C．9或 D．8
6．（2023下·江苏苏州·高二苏州市苏州高新区第一中学校考期中）下列等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023下·陕西西安·高二校考阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．3 B．3或4 C．4 D．4或5
8．（2023下·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）下列有关排列数 组合数的计算，正确的是（ ）
A． B．
C． D．是一个常数
9．（2023下·江西抚州·高二校联考期末）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（ ）
A．20条 B．21条 C．22条 D．23条
10．（2023上·浙江·高二校联考期中）绿水青山就是金山银山，浙江省对“五水共治”工作落实很到位，效果非常好．现从含有甲的5位志愿者中选出4位到江西，湖北和安徽三个省市宣传，每个省市至少一个志愿者．若甲不去安徽，其余志愿者没有条件限制，共有多少种不同的安排方法（ ）
A．228 B．132 C．180 D．96
11．（2023上·吉林长春·高三长春市第二实验中学校考阶段练习）新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有（ ）
A．14种 B．15种 C．16种 D．17种
12．（2023上·广东珠海·高三统考阶段练习）8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a不能去甲医院，则不同的选派方式共有（ ）
A．280种 B．350种 C．70种 D．80种
13．（2023下·浙江台州·高二校联考期中）从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是（ ）
A．10 B．5 C．4 D．1
14．（2023·高二课时练习）以下四个问题中，属于组合问题的是（ ）
A．从3个不同的小球中，取出2个小球排成一列
B．老师在排座次时将甲 乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位分别去往甲 乙两地
15．（2023下·高二课时练习）计算：等于（　　）
A．120 B．240 C．60 D．480
16．（2023下·江苏·高二校联考阶段练习）不等式的解为（ ）
A． B．
C． D．
17．（2023下·高二课前预习）某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为（ ）
A．4 B．8 C．28 D．64
18．（2023下·山东潍坊·高二阶段练习）从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有
A．60种 B．48种 C．30种 D．10种
19．（2023上·江苏南通·高三统考阶段练习）已知电影院有三部影片同时上映，一部动画片，一部喜剧片，一部动作片，5名同学前去观看，若喜剧片和动作片各至少两人观看，则不同的观影方案共有（ ）种.
A．30 B．40 C．50 D．80
20．（2023下·高二课时练习）空间中有个点，其中有个点在同一个平面内且无三点共线，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为（　　）
A． B． C． D．
21．（2023上·云南·高三校联考阶段练习）某单位准备从新入职的4名男生和3名女生中选2名男生和1名女生分配到某部门3个不同的岗位，不同的分配方案有（ ）
A．18种 B．36种 C．60种 D．108种
22．（2023上·湖北黄冈·高二统考期中）将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，
每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有
A．种 B．种 C．种 D．种
23．（2023·湖北十堰·统考三模）某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有
A．72种 B．36种 C．24种 D．18种
24．（2023上·四川内江·高三四川省内江市第一中学校考阶段练习）某市决定派出6个医疗小组驰援某地甲、乙、丙三个地区，每个地区分配2个医疗小组，其中A医疗小组必须去甲地，则不同的安排方法种数为（ ）
A．30 B．60 C．90 D．180
25．（2023·四川·统考一模）将标号为的个小球放入个不同的盒子中，若每个盒子放个，其中标为的小球放入同一个盒子中，则不同的方法共有
A．12种 B．16种 C．18种 D．36种
26．（2023·浙江·校联考模拟预测）新冠来袭，湖北告急！有一支援鄂医疗小队由3名医生和6名护士组成，他们全部要分配到三家医院.每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（ ）种
A．252 B．540 C．792 D．684
27．（2023下·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）随机将6个人（含甲乙两人）平均分成2组，分别去完成2个不同的任务，则甲乙两人在不同任务组的概率为（ ）
A． B． C． D．
28．（2023·广东广州·统考一模）羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生和3名女生中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则和两人组成一队参加比赛的概率为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
29．（2023·全国·高二专题练习）下面问题中，是组合问题的是（ ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合
30．（2023·高二课时练习）（多选）给出下列问题，属于组合问题的有（ ）
A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法
B．有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法
C．某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种
D．从2，3，5，7，11中任选两个数相乘，可以得到多少个不同的积
31．（2023·江苏·高二专题练习）下列问题中，属于组合问题的是（ ）
A．10支战队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少次比赛
B．10支战队以单循环进行比赛，这次比赛的冠、亚军获得者有多少种可能
C．从10名员工中选出3名参加同一种的娱乐活动，有多少种选派方法
D．从10名员工中选出3名分别参加不同的娱乐活动，有多少种选派方法
32．（2023·高二单元测试）下列问题中是组合问题的有（ ）.
A．某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票
B．从7本不同的书中取出5本给某同学
C．3个人去做5种不同的工作，每人做一种，有多少种分工方法
D．把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法
33．（2023·高二课时练习）给出下列问题，其中是组合问题的是（ ）
A．由1，2，3，4构成的含3个元素的集合
B．从7名班委中选2人担任班长和团支书
C．从数学组的10名教师中选3人去参加市里新课程研讨会
D．由1，2，3，4组成无重复数字的两位数
34．（2023下·山东青岛·高二青岛大学附属中学校考期中）对于，，，关于下列排列组合数，结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
35．（2023上·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）（多选）（ ）
A． B． C． D．
36．（2023下·江苏苏州·高二统考期中）下列四个关系式中，一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
37．（2023下·河北沧州·高二沧县中学校考阶段练习）下列有关排列数 组合数计算正确的有（ ）
A．
B．从中任取两个数相乘可得个积
C．
D．
38．（2023下·江苏常州·高二统考期中）对且，下列等式一定恒成立的是（ ）.
A． B．
C． D．
39．（2023上·甘肃兰州·高二兰州市第二十八中学校考期末）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选择三门课程，则选法种数为35
B．若物理和化学至少选一门，则选法种数为30
C．若物理和历史不能同时选，则选法种数为30
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，则选法种数为20
40．（2023·高二课时练习）（多选）若，则n的可能取值有（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
三、填空题
41．（2023下·江苏泰州·高二统考期末） ．
42．（2023下·江苏连云港·高二统考期中）求值： ．
43．（2023下·湖北襄阳·高二统考期末） ．（用数字作答）
44．（2023下·河北·高二校联考期中）已知，则 ．
45．（2023下·天津河西·高二天津市新华中学校考期中）若，则x的值为
46．（2023下·江苏苏州·高二校考期中）若，则正整数 .
47．（2023上·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）已知则x＝ .
48．（2023·高二课时练习）已知，，成等差数列，则＝ .
49．（2023下·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）（1）若，则的取值集合是 .（2） .
50．（2023下·上海崇明·高二统考期末）已知，则方程的解是 ．
51．（2023下·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考阶段练习）已知，则 ．
52．（2023下·湖北黄石·高二校考期中）已知 ， 则 .
53．（2023·高二课时练习）计算： ．
54．（2023·上海）平面上，四条平行直线与另外五条平行直线互相垂直，则它的矩形共有 个（结果用数值表示）．
55．（2023下·江苏南通·高二校联考期中）将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架（如图），小红欲从A处行走至B处，则小红行走路程最近的路线共有 ．（结果用数字作答）
56．（2023·全国·高二专题练习）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”，如图就是一重卦.如果某重卦中恰有3个阴爻，则该重卦可以有 种.(用数字作答)
57．（2023·全国）从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有 种取法（用数字作答）．
58．（2023·高二课时练习）从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相
除，有n个不同的商，则m∶n＝ .
四、解答题59．（2023下·甘肃白银·高二甘肃省会宁县第一中学校考期中）2023年4月，新型冠状病毒疫情牵动着全国人民的心，某市根据上级要求，在本市某人民医院要选出护理外科、心理治疗方面的专家4人与省专家组一起赶赴上海参加救助工作，该医院现有3名护理专家，，，5名外科专家，，，，，2名心理治疗专家，.
(1)求4人中有1位外科专家，1位心理治疗师的选法有多少种
(2)求至少含有2位外科专家，且外科专家和护理专家不能同时被选的选法有多少种
60．（2023下·甘肃武威·高二统考期中）有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
（1）共有多少种放法？
（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？
（3）恰有两个盒不放球，有多少种放法？
61．（2023下·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中的一点．今在道路网处的甲、乙两人分别要到处，其中甲每步只能向右走或者向上走，乙每步只能向下或者向左走．
(1)求甲从到达处的走法总数；
(2)求甲乙两人在相遇的方法数．
62．（2023下·高二课时练习）判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．
63．（2023下·高二课时练习）已知，求．
64．（2023下·高二课时练习）从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合．
65．（2023下·天津·高二天津市蓟州区第一中学校联考期中）从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答）
(1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；
(2)甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；
(3)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；
(4)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；
(5)甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.6.2.2 组合4题型分类
一、组合概念
一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
二、组合数
从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元
素中取出个元素的组合数．用符号表示．其中
三、排列与组合的区别
1.排列是讲“顺序”，而组合不讲“顺序”．
2.从个元素中取出个元素的排列(排列数)，可以理解为分为两步：
第一步，从个元素中取出个元素组合，得到组合数；
第二步，再对个元素进行排列，得到排列数，根据分步乘法计数原理得到．
四、组合数的性质
1.规定:．
2.．
3.．
4.．
（一） 组合的概念 1、组合概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示． 2、有顺序，排列问题；无顺序，组合问题．
题型1：组合的判断 1-1．（2023下·高二课时练习）判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ (3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？ (4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 【答案】(1)组合问题 (2)排列问题 (3)排列问题 (4)组合问题 【分析】（1）（2）（3）（4）根据排列和组合的特征：是否有顺序即可求解. 【详解】（1）单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． （2）冠、亚军是有顺序的，是排列问题． （3）3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题． （4）3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题． 1-2．（2023·高二课时练习）下列问题中，组合问题的个数是（ ） ①从全班50人中选出5人组成班委会； ②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员； ③从1，2，3，…，9中任取出两个数求积； ④从1，2，3，…，9中任取出两个数求差或商. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据组合的定义逐一分析即可得出答案. 【详解】解：对于①，从50人中选出5人组成班委会，不考虑顺序是组合问题.②为排列问题.对于③，从1，2，3，…，9中任取两个数求积是组合问题.因为乘法满足交换律，而减法和除法不满足，故④为排列问题. 所以组合问题的个数是2个. 故选：B. 1-3．（2023下·新疆喀什·高二校考期中）以下四个问题，属于组合问题的是（ ） A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地 【答案】C 【分析】根据组合的定义即可得到答案. 【详解】只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题，而A,B,D均与顺序有关. 故选：C.
（二） 组合数运算 组合数公式：． 组合数的性质：1.规定:．2.．3.．4.． 注：1.涉及具体数字的用公式C＝＝计算． 2.涉及字母的可以用阶乘式C＝计算． 3.计算时常用组合数的两个性质：①；②.
题型2：组合数运算 2-1．（2023上·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）计算： ． 【答案】490 【分析】根据组合数的性质化简即可求值. 【详解】, 故原式， 故答案为：490 2-2．（2023·高二课时练习）求值： （1）； （2）. 【答案】（1）148；（2）466. 【分析】（1）利用组合数的定义式，直接求解； （2）根据组合数有意义，列不等式组，求出n＝10，再利用组合数的定义式和性质，直接求解. 【详解】（1）＝3×－2×＝148； （2）∵∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*，∴n＝10，∴. 2-3．（2023·高二课时练习）解不等式； 【答案】 【分析】根据给定条件利用组合的意义及组合数计算公式化简不等式，再解不等式即可. 【详解】在不等式中，0≤m-1≤8，且0≤m≤8，m∈，即有1≤m≤8，m∈， 原不等式化为：， 即，解得，则m=7或8， 所以不等式的解集为. 2-4．（2023·高二课时练习）证明： 【答案】证明见解析 【分析】根据组合数公式证明即可. 【详解】证明：. 2-5．（2023·高二课时练习）证明：． 【答案】证明见解析 【分析】直接利用组合数公式计算即可得证. 【详解】证明：因为， ， 所以． 2-6．（2023·江苏·高二专题练习）证明：. 【答案】证明见解析 【分析】根据组合数的运算公式和运算性质，准确化简，即可求解. 【详解】根据组合数的运算性质得：右边， 又因为左边， 所以.
（三） 简单组合问题 1．解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关． 2．要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．
题型3：简单组合问题 3-1．（2023下·黑龙江·高二大庆市东风中学校考期中）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有 【答案】92 【分析】结合已知条件，通过讨论既会划左舷又会划右舷的2人中去参加比赛的人数，并结合组合和乘法原理即可求解. 【详解】不妨设既会划左舷又会划右舷的2人为、， ①若和两人均不去参加比赛，则选派方法有种； ②若和两人只去一人参加比赛， (i)若只会划左舷的去两人，则选派方法为种； (ii)若只会划右舷的去两人，则选派方法为种； ③若和两人均去参加比赛， (i)若只会划左舷的去1人，则和两人均去划左舷，则选派方法为种； (ii)若只会划左舷的去2人，则和两人中有一人去划左舷，另一人去划右舷， 则选派方法为种； (iii)若只会划左舷的去3人，则和两人均去划右舷，则选派方法为种， 综上所述，不同的选派方法共有种. 故答案为：92. 3-2．（2023·上海）8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第三、四名，则该大师赛共有 场比赛． 【答案】16 【分析】按照比赛赛程分类计算． 【详解】按比赛赛程分类，第一类单循环赛场次，第二类淘汰赛场次2，第三类决赛场次2， 总场次为． 故答案为：16. 3-3．（2023·浙江·三模）从4男2女共6名学生中选出1人吃原味薯片，2人吃黄瓜味薯片，剩下3人吃番茄味薯片，共有 种选法；如果男生不吃原味薯片，共有 种选法．（用数字作答） 【答案】 60 20 【分析】先从6人中选1人吃原味薯片，再从剩下的5人种选2人吃黄瓜味薯片，最后剩下3人吃番茄味薯片，由乘法计数原理即可求解；先从2名女生中选1人吃原味薯片，再从剩下的5人种选2人吃黄瓜味薯片，最后剩下3人吃番茄味薯片，由乘法计数原理即可求解； 【详解】先选1人吃原味薯片有种选择，再从剩下的5人种选2人吃黄瓜味薯片有种选择，剩下3人吃番茄味薯片，则共有种选择； 先从2名女生中选1人吃原味薯片有种选择，再从剩下的5人种选2人吃黄瓜味薯片有种选择，剩下3人吃番茄味薯片，则共有种选择. 故答案为：60；20. 3-4．（2023下·新疆喀什·高二校考期中）一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 【答案】(1)56 (2)21 (3)35 【分析】（1）（2）（3）先判断是不是组合问题，再用组合数公式计算即可. 【详解】（1）从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是. （2）从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是. （3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是. 3-5．（2023下·陕西渭南·高二校考阶段练习）课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？（用数字做答） （1）至少有一名队长当选． （2）至多有两名女生当选． （3）既要有队长，又要有女生当选． 【答案】（1）825；（2）966；（3）790. 【分析】（1）分有一名队长和两名队长情况讨论得解； （2）至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，即得解； （3）分两种情况讨论，第一类：女队长当选；第二类：女队长不当选，即得解. 【详解】（1）至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有种．或采用排除法有种． （2）至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有种． （3）分两种情况：第一类：女队长当选，有种；第二类：女队长不当选，有种． 故共有种． 3-6．（2023上·高二单元测试）如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4． （1）以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含点C1的有多少个？ （2）以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ 【答案】（1）116(个)；36(个)；（2）360(个)． 【解析】（1）可以分成三类即在C1，C2，…，C6这六个点任取三点，在C1，C2，…，C6中任取一点，D1，D2，D3，D4中任取两点和C1，C2，…，C6中任取两点，D1，D2，D3，D4中任取一点，将三类情况加到一起即可； （2）需要四个点，且无三点共线，类似于（1）可分三种情况讨论得四边形个数为 【详解】（1）可分三种情况处理： ①C1，C2，…，C6这六个点任取三点可构成一个三角形,有种； ②C1，C2，…，C6中任取一点，D1，D2，D3，D4中任取两点可构成一个三角形，有种； ③C1，C2，…，C6中任取两点，D1，D2，D3，D4中任取一点可构成一个三角形，有． 所以共有=116(个)． 其中含C1点的三角形有=36(个)． （2）构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线， C1，C2，…，C6这六个点中任意三点都不共线. ①C1，C2，…，C6这六个点任取四点可构成一个四边形，有种； ②C1，C2，…，C6中任取三点，D1，D2，D3，D4中任取一点可构成一个四边形，有种； ③C1，C2，…，C6中任取两点，D1，D2，D3，D4中任取两点可构成一个四边形，有种． 所以共有=360(个)． 【点睛】关键点睛：本题考查解决组合的实际问题，解答本题的关键是将问题分为三类，即以在C1，C2，…，C6和取点的个数情况进行分类讨论，属于中档题. 3-7．（2023下·陕西西安·高二校考阶段练习）200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（　　） A．种 B．＋种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】根据分步加法计算原理，结合组合数的计算即可求解. 【详解】至少2件次品包含两类：（1）2件次品，3件正品，共种抽法， （2）3件次品，2件正品，共种抽法，由分类加法计数原理得，抽法共有＋种． 故选:B
（四） 分堆分配问题 分堆问题：①平均分堆，其分法数为：．②分堆但不平均，其分法数为．
题型4：分堆分配问题 4-1．（2023下·广西南宁·高二南宁三中校考阶段练习）国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有 种不同的分派方法． 【答案】90 【分析】根据题意得到，先分组再全排列即：. 【详解】6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，每个学校去2个人，先平均分组，再全排列即可：. 故答案为90. 【点睛】不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解． 4-2．（2023下·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第三高级中学校考期末）把6个学生分配到3个班去，每班2人，其中甲必须分到一班，乙和丙不能分到三班，不同的分法共有 种. 【答案】9 【分析】根据题意，分3步分析：①、让甲分到一班，②、再从除了甲、乙、丙之外的3个人种任意选出2个人，分到三班，③、最后再把剩下的3个人选出2个人分到二班，剩余的一个分到一班，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分3步分析： ①、让甲分到一班，只有1种方法； ②、再从除了甲、乙、丙之外的3个人种任意选出2个人，分到三班，有C32＝3种安排方法； ③、最后再把剩下的3个人选出2个人分到二班，剩余的一个分到一班，有C32＝3种安排方法； 则不同的分法有1×3×3＝9种； 故答案为9． 【点睛】本题考查分步计数原理的应用，关键是对于有限制的元素要优先排，特殊位置要优先排． 4-3．（2023下·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考期末）教育部于2023年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市4所高校的校长计划拜访当地的甲、乙两家企业，若每名校长拜访1家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有（ ） A．8种 B．10种 C．14种 D．20种 【答案】C 【分析】先分情况谈论，甲、乙两家企业可能分别接待2名校长，或一家企业接待1名，一家企业接到3名校长的情况，然后再用排列组合即可. 【详解】分两种情况，第一种：1家企业接待1名校长，1家企业接待3名校长，共有种方法；第二种：每家企业均接待2名校长，共有种方法，所以共有8+6=14种. 故选：C. 4-4．（2023下·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）为了宣传2023年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】先分步：第一步把5人分组，第二步安装吉祥物．分组时按与小明同组的人数确定分组方法，最后由计数原理计算． 【详解】按除去小明和小李后，剩余3人与小明同组的人数确定分组方法，即种方法，这两组安装吉祥物的方法为，故按要求这五人共有种方法. 故选：C. 4-5．（2023上·北京通州·高三统考期末）北京2023年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2023年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】先将剩下的3名志愿者分为两组，再把小明和小李分别放在两组中，最后两组分别安装“冰墩墩”和“雪容融”，由分步乘法原理即可. 【详解】先将剩下的3名志愿者分为两组有种，再把小明和小李分别放在两组中有2种， 最后两组分别安装“冰墩墩”和“雪容融”有2种，则共有种. 故选：C. 4-6．（2023上·内蒙古包头·高二校考期中） 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有种. A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】首先把12个人平均分成3组，这是一个平均分组.从12个中选4个，从8个中选4个，最后余下4个，这些数相乘再除以3的全排列.再把这3个小组作为3个元素分到3个路口，这样就有一个全排列，根据分步计数原理得到结果. 【详解】属于平均分组且排序型，共有种. 故选：A. 【点睛】本题考查了平均分组分配问题，属于基础题. 4-7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题 只需每个课题依次选三个人即可，共有中选法，最后选一名组长各有3种， 故不同的分配方案为：， 故选A. 4-8．（2023下·广西桂林·高二校考阶段练习）某中学高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级，且每班安排两名，则不同的安排方案种数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先将四名学生分成两组，再分配到6个班中的两个班求解即可. 【详解】先将四名学生分成两组，共种情况，再分配到6个班中的两个班，故共种方案. 故选：B 【点睛】本题主要考查了排列组合的实际运用，注意分组时会有重复，所以要乘以.属于基础题.
一、单选题
1．（2023上·浙江·高二校联考阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据组合数公式直接求解即可.
【详解】.
故选: B.
2．（2023上·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知n，m为正整数，且，则在下列各式中错误的是（ ）
A．； B．； C．； D．
【答案】C
【分析】据组合数的性质及排列数公式计算可得
【详解】解：对于A，，故正确；
对于B，因为，所以，故正确；
对于C，因为n，m为正整数，且，
所以令，则，，此时，故错误；
对于D，，故正确；
故选：C
3．（2023下·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）设n为正整数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．该代数式的值唯一确定 B．该代数式的值有两种情况
C．该代数式的值有三种情况 D．该代数式的值有无数种情况
【答案】C
【分析】根据组合数中，且均为正整数列式可求出结果.
【详解】依题意得，得，
因为为正整数，所以或或，
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式.
所以该代数式的值有三种情况.
故选：C
4．（2023下·陕西西安·高二统考期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用组合数的运算公式计算，得到答案.
【详解】，其中，，，.
故选：B
5．（2023下·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）已知，则的值是（ ）
A．9 B．7 C．9或 D．8
【答案】A
【分析】根据组合数的计算公式得到结果.
【详解】由可得，即，即，
所以，化简可得，解得（负值舍去）．
故选：A
6．（2023下·江苏苏州·高二苏州市苏州高新区第一中学校考期中）下列等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】按照排列数和组合数的运算依次判断4个选项即可.
【详解】，故A错误；
，C正确；
，B正确；
，D正确.
故选：A.
7．（2023下·陕西西安·高二校考阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．3 B．3或4 C．4 D．4或5
【答案】B
【分析】由组合公式可得或,解方程即可得答案.
【详解】解：因为，
所以或，
解得：或.
故选：B.
8．（2023下·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）下列有关排列数 组合数的计算，正确的是（ ）
A． B．
C． D．是一个常数
【答案】D
【分析】根据排列组合计算公式即可求解．
【详解】对于A，∵，∴A不正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，
，故C不正确；
对于D，n应满足解得.
所以，故D正确．
故选：D
9．（2023下·江西抚州·高二校联考期末）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（ ）
A．20条 B．21条 C．22条 D．23条
【答案】D
【分析】先算出从A到的最短路径共有几条，再计算出径过段的走法有几种，相减即可求得答案.
【详解】由题意知从A到的最短路径要通过7段马路，4段水平马路，3段竖直马路，共有种，又因为经过段的走法有种，故不经过段的最短路径有条.,
故选:D
10．（2023上·浙江·高二校联考期中）绿水青山就是金山银山，浙江省对“五水共治”工作落实很到位，效果非常好．现从含有甲的5位志愿者中选出4位到江西，湖北和安徽三个省市宣传，每个省市至少一个志愿者．若甲不去安徽，其余志愿者没有条件限制，共有多少种不同的安排方法（ ）
A．228 B．132 C．180 D．96
【答案】B
【分析】本题分抽取的4人中含甲和不含甲两大类讨论，采取捆绑法分析情况，再利用加法和乘法原理得到所有情况即可.
【详解】4人去3个省份，且每个省至少一个人则必会有两人去同一省份，
若抽取的4人中不含甲，在这四人中任意取两人进行捆绑，则共有种，
②若4人中含有甲，则在剩余的4人中抽取3人，共有种，接下来若甲和另1人去同一省份，则共有种，若甲单独一人去一个省份，则共有种，根据加法和乘法原理可得共有，此类情况共有种
综上共有种.
故选：B.
11．（2023上·吉林长春·高三长春市第二实验中学校考阶段练习）新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有（ ）
A．14种 B．15种 C．16种 D．17种
【答案】C
【分析】分两种情况即物理或历史中选一门和物理和历史都选两种情况分类求解即可.
【详解】解：由题意得：
物理或历史中选一门：种选法；
物理和历史都选：种选法；
物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有种选法；
故选：C
12．（2023上·广东珠海·高三统考阶段练习）8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a不能去甲医院，则不同的选派方式共有（ ）
A．280种 B．350种 C．70种 D．80种
【答案】B
【分析】对医生a去乙、丙医院进行讨论，分别按要求选派，即得结果.
【详解】若医生a去乙医院，再依次为甲、乙、丙三个单位选派得；
若医生a去丙医院，再依次为甲、乙、丙三个单位选派得；
所以不同的选派方式共有种.
故选：B.
【点睛】本题考查了组合的应用，分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于基础题.
13．（2023下·浙江台州·高二校联考期中）从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是（ ）
A．10 B．5 C．4 D．1
【答案】B
【分析】根据组合的概念，即可求出结果.
【详解】根据组合的概念，从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是种.
故选：B.
14．（2023·高二课时练习）以下四个问题中，属于组合问题的是（ ）
A．从3个不同的小球中，取出2个小球排成一列
B．老师在排座次时将甲 乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位分别去往甲 乙两地
【答案】C
【解析】根据组合的概念即可判断.
【详解】只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题.
故选：C.
15．（2023下·高二课时练习）计算：等于（　　）
A．120 B．240 C．60 D．480
【答案】A
【分析】根据组合数的计算公式即可求解.
【详解】
故选：A
16．（2023下·江苏·高二校联考阶段练习）不等式的解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据组合数和排列数的计算公式，结合的取值范围，即可求得结果.
【详解】由，得且，
化简整理得，解得，又因为，所以.
故选：C.
17．（2023下·高二课前预习）某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为（ ）
A．4 B．8 C．28 D．64
【答案】C
【详解】由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建C＝＝＝28(条)公路．
18．（2023下·山东潍坊·高二阶段练习）从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有
A．60种 B．48种 C．30种 D．10种
【答案】C
【详解】根据题意，分步进行：①从名志愿者中选派人参加活动，有种选法；②将人分为组，有种分法；③将组进行全排列，对应星期六和星期日，有种情况，则共有，
故选C.
19．（2023上·江苏南通·高三统考阶段练习）已知电影院有三部影片同时上映，一部动画片，一部喜剧片，一部动作片，5名同学前去观看，若喜剧片和动作片各至少两人观看，则不同的观影方案共有（ ）种.
A．30 B．40 C．50 D．80
【答案】C
【分析】根据题意可知事件包含喜剧片2人且动作片2人，喜剧片3人且动作片2人，喜剧片2人且动作片3人三种情况，求出对应的方案后相加即可.
【详解】喜剧片和动作片至少两人观看的情况有：
喜剧片2人且动作片2人，喜剧片3人且动作片2人，喜剧片2人且动作片3人，
当喜剧片2人且动作片2人时，共有种观看方案，
当喜剧片3人且动作片2人时，共有种观看方案，
当喜剧片2人且动作片3人时，共有种观看方案，
所以一共有种观看方案.
故选：C.
20．（2023下·高二课时练习）空间中有个点，其中有个点在同一个平面内且无三点共线，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】方法一：分成从共面的个点中取个来讨论求解即可；
方法二：采用间接法来进行求解.
【详解】方法一：从共面的个点中取个，则可构成个四面体；
从共面的个点中取个，则可构成个四面体；
从共面的个点中取个，则可构成个四面体；
从共面的个点中取个，则可构成个四面体；
共可构成个四面体；
方法二：从个点中任取个点的情况有种；其中无法构成四面体的情况有种；
共可构成个四面体.
故选：A.
21．（2023上·云南·高三校联考阶段练习）某单位准备从新入职的4名男生和3名女生中选2名男生和1名女生分配到某部门3个不同的岗位，不同的分配方案有（ ）
A．18种 B．36种 C．60种 D．108种
【答案】D
【分析】根据题意得到不同的分配方案有种情况.
【详解】首先选出2名男生和1名女生，共有种情况，
再把选出来的人进行全排列，共有种情况.
所以不同的分配方案有种.
故选：D
22．（2023上·湖北黄冈·高二统考期中）将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，
每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【详解】试题分析：第一步，为甲地选一名老师，有种选法；第二步，为甲地选两个学生，有种选法；第三步，为乙地选名教师和名学生，有种选法，故不同的安排方案共有种，故选A．
考点：排列组合的应用．
23．（2023·湖北十堰·统考三模）某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有
A．72种 B．36种 C．24种 D．18种
【答案】B
【分析】根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可．
【详解】2名内科医生，每个村一名，有2种方法，
3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，
若甲村有1外科,2名护士,则有，其余的分到乙村，
若甲村有2外科,1名护士,则有，其余的分到乙村，
则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种，
故选B.
【点睛】本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.
24．（2023上·四川内江·高三四川省内江市第一中学校考阶段练习）某市决定派出6个医疗小组驰援某地甲、乙、丙三个地区，每个地区分配2个医疗小组，其中A医疗小组必须去甲地，则不同的安排方法种数为（ ）
A．30 B．60 C．90 D．180
【答案】A
【分析】利用分步乘法计数原理先分组再分配即可求解.
【详解】根据题意，分2步进行：
①将6个医疗小组平均分成3组，每组2支医疗队，有种分组方法；
②将甲所在的小组安排到甲地，其他两个小组安排到乙、丙两地，有种情况，
则有种不同的安排方法.
故选：A.
25．（2023·四川·统考一模）将标号为的个小球放入个不同的盒子中，若每个盒子放个，其中标为的小球放入同一个盒子中，则不同的方法共有
A．12种 B．16种 C．18种 D．36种
【答案】C
【详解】试题分析：根据题意：首先从3个盒子中选一个放标号为1，2的小球，再从剩下的4个小球中选两个放一个盒子，余下的2个放入最后一个盒子，由组合数公式计算每一步的情况数目，进而由分步计数原理得到结果．
先从3个盒子中选一个放标号为1，2的小球，有3种不同的选法，
再从剩下的4个小球中选两个，放一个盒子有 种放法，余下放入最后一个盒子，∴共有
故选C．
考点：排列、组合及简单计数问题
26．（2023·浙江·校联考模拟预测）新冠来袭，湖北告急！有一支援鄂医疗小队由3名医生和6名护士组成，他们全部要分配到三家医院.每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（ ）种
A．252 B．540 C．792 D．684
【答案】D
【解析】先将分类情况和分步步骤理清，然后按照分类加法、分步乘法计算原理，结合组合数、排列数的计算公式，计算出不同的分配方法数.
【详解】护士名，可分为或者两类.
先安排医生，再安排护士.
安排医生，方法数有种，
安排护士，由于“护士甲和护士乙必须分到同一家医院”，故方法数有种.其中表示护士甲和护士乙共人一组的方法数，表示护士甲和护士乙与另一人共人一组的方法数.
所以总的方法数有种.
故选：D
【点睛】本小题主要考查分类加法、分步乘法计数原理，属于中档题.
27．（2023下·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）随机将6个人（含甲乙两人）平均分成2组，分别去完成2个不同的任务，则甲乙两人在不同任务组的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据排列组合计算出全部的可能性，再计算出满足题意的可能性，用古典概型计算公式即可.
【详解】6个人平均分成2组，分别去完成2个不同的任务
共有可能
甲乙两人在不同任务组
共有可能：
根据古典概型的计算公式，.
故选：D.
【点睛】本题考查古典概型的计算，涉及排列组合求解事件的个数；本题的难点在于如何求解事件个数.
28．（2023·广东广州·统考一模）羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生和3名女生中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则和两人组成一队参加比赛的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】通过排列组合先计算出4人参加比赛所有的可能，再计算出和参加比赛的所有可能，根据古典概型的概率计算公式，即可求得结果.
【详解】由题可知：
分别从3名男生、3名女生中选2人：
将选中2名女生平均分为两组：
将选中2名男生平均分为两组：
则选出的4人分成两队混合双打的总数为：
和分在一组的数目为
所以所求的概率为
故选：B.
【点睛】本题考查古典概型的概率计算，涉及平均分组的计算，属综合基础题.
二、多选题
29．（2023·全国·高二专题练习）下面问题中，是组合问题的是（ ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合
【答案】BCD
【分析】取出的元素不考虑顺序就是组合问题，由此即可判断各选项.
【详解】对于A，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，
则共有种排法，是排列问题；
对于B，从40人中选5人组成篮球队，有种选法，是组合问题；
对于C，从100人中选2人抽样调查，有种选法，是组合问题；
对于D，从1，2，3，4，5中选5个数组成集合，有种选法，是组合问题.
故选：BCD.
30．（2023·高二课时练习）（多选）给出下列问题，属于组合问题的有（ ）
A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法
B．有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法
C．某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种
D．从2，3，5，7，11中任选两个数相乘，可以得到多少个不同的积
【答案】BCD
【分析】根据选项中不涉及元素顺序的为组合问题，即可确定结果.
【详解】对于A，从3名同学中选出2名同学后，分配到两个乡镇涉及顺序问题，是排列问题；
对于B，从7人中选出4人观看不涉及顺序问题，是组合问题；
对于C，射击命中不涉及顺序问题，是组合问题；
对于D，乘法满足交换律，两数相乘的积不涉及顺序，是组合问题.
故选：BCD
31．（2023·江苏·高二专题练习）下列问题中，属于组合问题的是（ ）
A．10支战队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少次比赛
B．10支战队以单循环进行比赛，这次比赛的冠、亚军获得者有多少种可能
C．从10名员工中选出3名参加同一种的娱乐活动，有多少种选派方法
D．从10名员工中选出3名分别参加不同的娱乐活动，有多少种选派方法
【答案】AC
【分析】区分一个具体问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无顺序.有顺序就是排列问题；无顺序就是组合问题,.
【详解】A是组合问题，因为每两个队进行一次比赛，并没有谁先谁后，没有顺序的区别.；
B是排列问题，因为甲队获得冠军、乙队获得亚军和甲队获得亚军、乙队获得冠军是不一样的，存在顺序区别；
C是组合问题，因为3名员工参加相同的活动，没有顺序区别；
D是排列问题，因为选的3名员工参加的活动不相同，存在顺序区别，
.故选：AC.
32．（2023·高二单元测试）下列问题中是组合问题的有（ ）.
A．某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票
B．从7本不同的书中取出5本给某同学
C．3个人去做5种不同的工作，每人做一种，有多少种分工方法
D．把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法
【答案】BD
【分析】根据排列和组合的定义进行判断即可.
【详解】A．车票与起点、终点顺序有关，例如“甲→乙”与“乙→甲”的车票不同，故它是排列问题.
B．从7本不同的书中取出5本给某同学，取出的5本书并不考虑书的顺序，故它是组合问题.
C．因为一种分工方法就是从5种不同工作中取出3种，按一定顺序分给3人去干，故它是排列问题.
D．因为3本书是相同的，把3本书无论分给哪3个人都不需要考虑顺序，故它是组合问题.
故选：BD
33．（2023·高二课时练习）给出下列问题，其中是组合问题的是（ ）
A．由1，2，3，4构成的含3个元素的集合
B．从7名班委中选2人担任班长和团支书
C．从数学组的10名教师中选3人去参加市里新课程研讨会
D．由1，2，3，4组成无重复数字的两位数
【答案】AC
【分析】根据排列和组合的定义判断即可.
【详解】A中，选出的元素构成集合，是组合问题；
B中，2人担任班长和团支书，有两种不同的分工，是排列问题；
C中，选出的3人去参加研讨会，是组合问题；
D中，2个数字组成两位数，有十位和个位的区分，是排列问题.
故选：AC.
34．（2023下·山东青岛·高二青岛大学附属中学校考期中）对于，，，关于下列排列组合数，结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用排列数和组合数公式求解判断.
【详解】A. 由组合数公式知：，故错误；
B. 由组合数公式知：，，则，故正确；
C. 由组合数公式知：，，，所以，故正确；
D. 由排列数公式知：，所以，故错误；
故选：BC
35．（2023上·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）（多选）（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】由组合数的性质即可求得答案.
【详解】
.
故选：CD．
36．（2023下·江苏苏州·高二统考期中）下列四个关系式中，一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据排列数的计算可判断A,B,根据组合数的计算以及性质可求解C,D.
【详解】,故A错误，，故B对，
,故C对，
由可得：，故D错误
故选：BC
37．（2023下·河北沧州·高二沧县中学校考阶段练习）下列有关排列数 组合数计算正确的有（ ）
A．
B．从中任取两个数相乘可得个积
C．
D．
【答案】BD
【分析】利用公式计算求解判断选项ACD的真假，利用组合判断选项B的真假.
【详解】A. ，所以该选项错误；
B. 从中任取两个数相乘可得个积，所以该选项正确；
C. , 所以，所以该选项错误；
D. ，所以该选项正确.
故选：BD
38．（2023下·江苏常州·高二统考期中）对且，下列等式一定恒成立的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据组合数、排列数的定义判断．
【详解】，A正确；
，B正确；
，C正确；
，
，D错．
故选：ABC．
39．（2023上·甘肃兰州·高二兰州市第二十八中学校考期末）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选择三门课程，则选法种数为35
B．若物理和化学至少选一门，则选法种数为30
C．若物理和历史不能同时选，则选法种数为30
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，则选法种数为20
【答案】ACD
【分析】A选项，直接利用组合知识进行求解；
B选项，分物理和化学选一门和物理、化学都选，两种情况下利用组合知识求出选法，求和即可；
C选项，先求出物理和历史同时选的选法，从而求出物理和历史不能同时选的选法；
D选项，只选物理，不选化学，只选化学，不选物理，物理、化学都选，三种情况下的选法求和即可.
【详解】对于A，选法种数为，故A正确．
对于B，若物理和化学选一门，其余两门从剩余的五门中选，有种选法；若物理和化学都选，剩下一门从剩余的五门中选，有种选法．故共有种选法，故B错误．
对于C，物理和历史同时选，有种选法，故不同时选的选法种数为，故C正确．
对于D，只选物理，不选化学，则历史也不选，有种选法；只选化学，不选物理，有种选法；若物理、化学都选，则历史不选，有种选法．故共有种选法，故D正确．
故选：ACD．
40．（2023·高二课时练习）（多选）若，则n的可能取值有（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】ABCD
【分析】直接解组合数不等式即可得到正确答案.
【详解】由得 又n∈N*，则n＝6，7，8，9.
∴该不等式的解集为{6，7，8，9}．
故选：ABCD.
三、填空题
41．（2023下·江苏泰州·高二统考期末） ．
【答案】
【分析】根据组合数的性质与计算公式求解即可
【详解】
故答案为：
42．（2023下·江苏连云港·高二统考期中）求值： ．
【答案】0
【分析】根据组合数的计算求解即可
【详解】
故答案为：0
43．（2023下·湖北襄阳·高二统考期末） ．（用数字作答）
【答案】－1050
【分析】根据排列数和组合数的运算公式即可求得答案.
【详解】由题意，原式=.
故答案为：-1050.
44．（2023下·河北·高二校联考期中）已知，则 ．
【答案】2
【分析】根据组合数公式化简，得到关于的一元二次方程，求解即可.
【详解】根据组合数公式化简，可得，
化简整理得，解得或．又，所以．
故答案为：2.
45．（2023下·天津河西·高二天津市新华中学校考期中）若，则x的值为
【答案】4
【分析】利用排列组合公式，将方程化为关于x的一元二次方程求解，注意x的范围.
【详解】由题设，，
整理得：，可得或，
又，故.
故答案为：4
46．（2023下·江苏苏州·高二校考期中）若，则正整数 .
【答案】8
【分析】根据排列数和组合数的运算性质直接计算即可.
【详解】因为，
所以，
解得：.
故答案为：8.
47．（2023上·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）已知则x＝ .
【答案】5
【分析】根据组合数的性质以及计算公式即可求解.
【详解】由可得x＝2x（舍去）或x＋2x＝n，所以，
所以，即，
化简得，
即，解得n＝15（n＝0舍去），所以x＝5,
故答案为:5
48．（2023·高二课时练习）已知，，成等差数列，则＝ .
【答案】91
【分析】利用等差中项及组合数公式即求.
【详解】∵，，成等差数列，
∴2＝＋，
∴2×＝＋
整理得n2－21n＋98＝0，
解得n＝14，n＝7(舍去)，
则.
故答案为：91.
49．（2023下·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）（1）若，则的取值集合是 .（2） .
【答案】
【分析】（1）由题意，利用组合数的定义以及计算公式，求出的范围，可得结论；
（2）因为，由组合数的性质代入即可得出答案.
【详解】（1）因为，所以，
所以，所以，
即，解得：.
综上：.
故的取值集合是：
（2）
.
故答案为：；.
50．（2023下·上海崇明·高二统考期末）已知，则方程的解是 ．
【答案】1或2/2或1.
【分析】根据组合数的性质列方程求解即可.
【详解】因为，，
所以由组合数的性质得或，
解得或，
故答案为：1或2
51．（2023下·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考阶段练习）已知，则 ．
【答案】
【分析】根据已知条件及组合数公式求得，再利用组合数的性质
递推关系及组合数公式即可求解
【详解】由，得，解得.
所以.
故答案为：.
52．（2023下·湖北黄石·高二校考期中）已知 ， 则 .
【答案】3或 1/1或 3.
【分析】解方程或检验即得解.
【详解】解：由题得或，
所以或，
所以或或或.
时，满足题意；时，，不满足题意；
时，，不满足题意. 满足题意.
故答案为：3或1.
53．（2023·高二课时练习）计算： ．
【答案】124
【分析】由组合数的定义确定的取值，然后由组合数性质计算．
【详解】由已知，得需满足，即，∴，
∴原式．
故答案为：124．
54．（2023·上海）平面上，四条平行直线与另外五条平行直线互相垂直，则它的矩形共有 个（结果用数值表示）．
【答案】60
【分析】根据题意结合组合数运算求解.
【详解】∵矩形的对边相互平行，则从两组的平行线中分别任取两条即可构成矩形
∴不同的取法分别有和种，
故共有种.
故答案为：60.
55．（2023下·江苏南通·高二校联考期中）将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架（如图），小红欲从A处行走至B处，则小红行走路程最近的路线共有 ．（结果用数字作答）
【答案】210
【分析】由题意分析得路线应该是3次向上,2次向右,2次向前，从而得到答案.
【详解】由题意,最近的路线应该是3次向上,2次向右,2次向前,一共走7次,所以路线共有,
故答案为：210
56．（2023·全国·高二专题练习）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”，如图就是一重卦.如果某重卦中恰有3个阴爻，则该重卦可以有 种.(用数字作答)
【答案】20
【分析】只需从6个位置中选取3个位置放置阳爻，则问题得解.
【详解】根据题意，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，
假设有6个位置，在其中任选3个，安排3个“阴爻”，有种情况，
即该重卦可以有20种情况，
故答案为：20.
57．（2023·全国）从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有 种取法（用数字作答）．
【答案】100
【分析】根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；分析可得，取出的四个数必有1个或3个奇数，进而利用乘法计数原理进行计算即可.
【详解】根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；
若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数；
若有1个奇数时，有种取法，
若有3个奇数时，有种取法，
故符合题意得取法共种取法；
故答案为：100
58．（2023·高二课时练习）从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相
除，有n个不同的商，则m∶n＝ .
【答案】1∶2
【详解】由已知得不同积的个数，不同商的个数为，故.
四、解答题
59．（2023下·甘肃白银·高二甘肃省会宁县第一中学校考期中）2023年4月，新型冠状病毒疫情牵动着全国人民的心，某市根据上级要求，在本市某人民医院要选出护理外科、心理治疗方面的专家4人与省专家组一起赶赴上海参加救助工作，该医院现有3名护理专家，，，5名外科专家，，，，，2名心理治疗专家，.
(1)求4人中有1位外科专家，1位心理治疗师的选法有多少种
(2)求至少含有2位外科专家，且外科专家和护理专家不能同时被选的选法有多少种
【答案】(1)30
(2)133
【分析】（1）根据组合的定义及组合数公式，结合分步乘法计数原理即可求解；
（2）根据组合的定义及组合数公式，再利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可求解.
【详解】（1）设选出的4个人参加救助工作中有1位外科专家，1位心理治疗师为事件，则满足事件的情况共有种；
（2）设选出的4人参加救助工作中至少含有2位外科专家，且外科专家和护理专家不能同时被选
为事件，则满足事件的情况为：①当选择时，
当有2位外科专家时，共有种情况；
当有3位外科专家时，共有种情况；
当有4位外科专家时，共有种情况；
②当不选择时，
当有2位外科专家时，共有种情况；
当有3位外科专家时，共有种情况；
当有4位外科专家时，共有种情况；
综上：满足事件的情况共有种情况；
60．（2023下·甘肃武威·高二统考期中）有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
（1）共有多少种放法？
（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？
（3）恰有两个盒不放球，有多少种放法？
【答案】（1） （2） （3）
【分析】（1）利用分步乘法原理求解即可；
（2）先选一个特称的盒子，然后利用分步原理求解；
（3）先二个特殊盒子，然后把球分堆，最后利用分布乘法原理求解即可．
【详解】解：（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有种．
（2）为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，
即将4个球分成2，1，1的三组，有种分法；
然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可.
由分步乘法计数原理，共有放法：种．
（3）先从四个盒子中任意拿走两个有种，
问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？
”从放球数目看，可分为（3，1），（2，2）两类.
第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有种放法；
第二类：有种放法.因此共有种.
由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有：种．
61．（2023下·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中的一点．今在道路网处的甲、乙两人分别要到处，其中甲每步只能向右走或者向上走，乙每步只能向下或者向左走．
(1)求甲从到达处的走法总数；
(2)求甲乙两人在相遇的方法数．
【答案】(1)924种
(2)50625种
【分析】（1）甲从到达需要走12步，结合分步计算原理即可得到方法数；
（2）分别求出甲经过的方法数，乙经过的方法数，即可得到甲乙在相遇的方法数.
【详解】（1）甲从出发走到需要走12步，向右、向上各走6步，走法总数为种.
（2）甲经过的方法数为种，乙经过的方法数为种，
所以甲乙两人在相遇的方法数为种.
62．（2023下·高二课时练习）判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．
【答案】(1)排列问题
(2)排列问题
(3)组合问题
【分析】（1）（2）（3）根据有顺序还是无顺序，即可求解.
【详解】（1）因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题．
（2）由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题．
（3）从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．
63．（2023下·高二课时练习）已知，求．
【答案】84
【分析】把组合数展开，解方程求出m，再求.
【详解】解：∵－＝－，
而＝，
∴
＝，
∴1－＝，
即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21．
而0≤m≤5，∴m＝2．
∴．
故答案为：84.
【点睛】组合数的计算技巧：
①定义法；②阶乘转化；③灵活运用性质.
64．（2023下·高二课时练习）从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合．
【答案】所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10种．
【分析】根据题意，逐一列举出来即可得到结果.
【详解】
先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示：
由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10种．
65．（2023下·天津·高二天津市蓟州区第一中学校联考期中）从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答）
(1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；
(2)甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；
(3)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；
(4)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；
(5)甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.
【答案】(1)60
(2)480
(3)180
(4)180
(5)210
【分析】（1）有特殊要求的元素（或位置）优先考虑（2）有特殊要求的元素（或位置）优先考虑（3）元素相邻用捆绑法（4）元素不相邻用插空法（5）按甲跑第四棒和甲不跑第四棒分类
【详解】（1）先安排甲、乙2人位置，再从出甲、乙之外的6人中选2人安排他们的位置，则方法数为
（2）先从甲、乙2人中选一人安排其位置，再从出甲、乙之外的6人中选3人安排他们的位置，则方法数为
（3）先把甲、乙2人看作一个元素，再从除甲、乙之外的6人中选2人和甲和乙这个整体来排序，则方法数为
（4）从除甲、乙之外的6人中选2人排序，再让甲和乙来插空，则方法数为
（5）第一步，从除甲、乙之外的6人中选2人
第二步，分甲跑第四棒和甲不跑第四棒
则方法数为

展开更多......

收起↑