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6.3 二项式定理6题型分类
一、二项式展开式
二、二项展开式的通项公式
三、二项式系数表(杨辉三角)
展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.
四、二项式系数的性质
1．对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．直线是图象的对称轴．
2．增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．
3．二项式系数和：，
奇数项的系数等于偶数项的系数等于.
（一） 二项式展开式 1．二项式展开式： 2.在运用二项式定理时一定要牢记通项公式.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分. 3．在使用通项公式时，要注意通项公式是表示第项，而不是第项．
题型1：求二项式的展开式及特定项 1-1．（2023·江苏·高二专题练习）化简多项式的结果是（ ） A． B． C． D． 1-2．（2023下·山西朔州·高二校考阶段练习）（ ） A． B． C． D． 1-3．（2023下·江苏南京·高二校考期中）化简的结果为（ ） A．x4 B． C． D． 1-4．（2023上·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）在的展开式中，的系数是（ ） A．35 B． C．560 D．
（二） 两个二项式相乘问题 求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式，常见的解题思路： 1．若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解． 2．观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2. 3．分别得到(a＋b)m，(c＋d)n的通项，综合考虑．
题型2：两个二项式相乘问题 2-1．（2023上·四川·高三校联考开学考试）的展开式中的常数项为（ ） A．240 B． C．400 D．80 2-2．（2023·四川成都·统考二模）二项式展开式中的系数为（ ） A．120 B．135 C．140 D．100 2-3．（2023上·江苏常州·高三校联考阶段练习）已知，则的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 2-4．（2023·山东·校联考模拟预测）的展开式中的系数为（ ） A． B． C．160 D．80
（三） 多项式展开式 求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式问题的处理方法： 1．通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解． 2．将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形． 3．可采用排列组合的形式进行抽取，技巧性较高．
题型3：求多项式展开式及特定项 3-1．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）的展开式中x项的系数为（ ） A．568 B．－160 C．400 D．120 3-2．（2023上·广西贵港·高三校联考阶段练习）展开式中的系数为（ ） A． B．21 C． D．35 3-3．（2023上·广东广州·高三统考阶段练习）展开式中各项系数的和为64，则该展开式中的项的系数为（ ） A． B． C．100 D．160 3-4．（2023下·河南南阳·高二校联考期末）的展开式中的系数为（ ） A．4 B．6 C．8 D．12
（四） 二项式系数及项的系数的和及性质 1、赋值法在求各项系数和中的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 2、二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。 3、系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项 系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。 4、求解二项式系数或系数的最值问题的一般步骤： 第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求系数的最大值，有两个思路，思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值；思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案．
题型4：二项式系数及项的系数的和 4-1．（2023上·四川巴中·高三南江中学校考阶段练习）已知的展开式中二项式系数的和是1024，则它的展开式中的常数项是（ ） A．252 B． C．210 D． 4-2．（2023下·四川雅安·高二统考期末）在的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则该展开式中的常数项为（ ） A．15 B．45 C．135 D．405 4-3．（2023下·吉林·高二校联考期末）在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（ ） A．16 B．32 C．1 D． 4-4．（2023上·湖南·高三校联考开学考试）已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为（ ） A．0 B． C．120 D． 4-5．（2023上·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设多项式， 则 . 4-6．（2023下·高二单元测试）已知，若，则自然数n＝ .
题型5：二项式系数或系数的最值 5-1．（2023·浙江·校考模拟预测）若二项式的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第项的系数最大，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 5-2．（2023上·河南安阳·高三校联考阶段练习）已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（ ） A． B． C． D． 5-3．（2023下·安徽黄山·高二统考期末）已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ） A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数最大为 C．展开式中没有常数项 D．展开式中有理项共有5项 5-4．（2023下·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期末）的二项展开式中，系数最大的是第 项.
（五） 整除和余数问题 整除和余数问题的解题技巧： 1．利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了． 2．解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．
题型6：整除和余数问题 6-1．（2023下·福建泉州·高二校考期中）设，则当时，除以15所得余数为（ ） A．3 B．4 C．7 D．8 6-2．（2023上·江西·高二统考阶段练习）设n∈N，且 能被6整除，则n的值可以为 .(写出一个满足条件的n的值即可) 6-3．（2023下·广东广州·高二广州市白云中学校考期中）已知且满足能被8整除，则符合条件的一个的值为 . 6-4．（2023·全国）除以100的余数是 ． 6-5．（2023·高二课时练习）若能被13整除，则实数a的值可以为 ．（填序号） ①0；②11；③12；④25．
一、单选题
1．（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）在的展开式中常数项为（ ）
A．14 B．－14 C．6 D．－6
2．（2023下·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期中）在的展开式中，记项的系数为，则（ ）
A．45 B．60 C．120 D．210
3．（2023下·山东济南·高二统考期末）的展开式中，所有不含z的项的系数之和为（ ）
A．16 B．32 C．27 D．81
4．（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A．-120 B．-40 C．-30 D．200
5．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）展开式中，项的系数为（　　）
A．5 B．-5 C．15 D．-15
6．（2023下·全国·高三校联考阶段练习）在的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为（ ）
A．299 B． C．300 D．
7．（2023·江苏·高二专题练习）二项式的展开式中系数为有理数的项共有（ ）
A．6项 B．7项 C．8项 D．9项
8．（2023·河南开封·校联考模拟预测）的展开式中所有有理项的系数和为（ ）
A．85 B．29 C． D．
9．（2023下·福建泉州·高二泉州市城东中学校考期中）若，且，则实数的值可以为（ ）
A．1或 B． C．或3 D．
10．（2023·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习）设，若，则实数a的值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D．
11．（2023上·江苏苏州·高二校考阶段练习）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（ ）
A．2004 B．2005 C．2025 D．2026
12．（2023下·福建福州·高二福建省福州格致中学校考期中）的计算结果精确到0.001的近似值是（ ）
A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933
13．（2023下·安徽·高二校联考期末）估算的结果，精确到0.01的近似值为（ ）
A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16
14．（2023下·江苏苏州·高二统考期中）已知为正整数，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
15．（2023下·北京·高二北京师大附中校考期中）当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：
若在的展开式中，的系数为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023下·安徽阜阳·高二安徽省临泉第一中学统考期末）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第个数组成的数列称为第斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2023行第斜列与第斜列各项之和最大时，的值为（ ）
A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
二、多选题
17．（2023下·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（ ）
A． B．展开式中常数项为160
C．展开式系数的绝对值的和1458 D．展开式中含项的系数为240
18．（2023上·山东·高三山东师范大学附中校考阶段练习）已知的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1:8，则（ ）
A． B．展开式中所有项的系数和为1
C．展开式中二项式系数和为 D．展开式中不含常数项
19．（2023上·浙江·高二校联考阶段练习）在的展开式中，有理项恰有两项，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
20．（2023下·河北唐山·高二校考期末）已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（ ）
A． B．展开式中的常数项为45
C．含的项的系数为210 D．展开式中的有理项有5项
21．（2023下·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期中）已知，若，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
23．（2023上·广东佛山·高三统考期中）设，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2023下·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期中）已知，下列命题中，正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为；
B．展开式中所有奇次项系数的和为；
C．展开式中所有偶次项系数的和为；
D．.
25．（2023上·湖北·高三黄冈中学校联考阶段练习）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2023上·辽宁本溪·高二校考阶段练习）已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为0，则（ ）
A．
B．的展开式中有理项有5项
C．的展开式中偶数项的二项式系数和为512
D．除以9余8
27．（2023·高二课时练习）设，且，若能被13整除，则a的值可以为（ ）
A．0 B．11 C．12 D．25
28．（2023下·重庆·高二统考期末）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数（，且）在三角形中的一种几何排列，北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋时期杭州人杨辉在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如下图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”，杨辉三角形的构造法则为：三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数字相加.根据以上信息及二项式定理的相关知识分析，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．当且时，
C．为等差数列
D．存在，使得为等差数列
三、填空题
29．（2023下·江苏无锡·高二统考期中）设，化简 .
30．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）求值：
31．（2023上·北京·高三北京市第一六一中学校考期中）已知二项式展开式中含有常数项，则n的最小值为 ．
32．（2023·海南省直辖县级单位·统考三模）的展开式中含项的系数为 .（用数字作答）
33．（2023上·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考阶段练习）的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为 ．
34．（2023·全国·模拟预测）的展开式中的常数项为 .
35．（2023·全国·模拟预测）写出一个正整数n，使的展开式中含有常数项，则n＝ ．（答案不唯一，写出一个符合题意的即可）
36．（2023下·广东广州·高二广州市禺山高级中学校联考期中）若展开式中第5项为常数项，则 ；
37．（2023·江西南昌·统考二模）的展开式共有8项，则常数项为 ．
38．（2023·福建漳州·统考二模）已知的展开式中的系数为
39．（2023下·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在的二项展开式中，第 项为常数项.
40．（2023上·天津静海·高三校考阶段练习）设常数，展开式中的系数为，则 .
41．（2023下·黑龙江哈尔滨·高二校考期末）在二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则该展开式中的的系数是 ．
42．（2023下·北京石景山·高二统考期末）在的展开式中，二项式系数之和为 ；各项系数之和为 ．（用数字作答）
43．（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32,则展开式中项的系数是 .
44．（2023下·河北唐山·高二校联考期中）若的展开式中二项式系数的和为，则该展开式中的常数项是 ．
45．（2023下·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则的系数为 .
46．（2023上·北京·高三北京市第十一中学校考阶段练习）二项式的展开式中，常数项是 ，各项二项式系数之和是 .（本题用数字作答）
47．（2023下·河南焦作·高二武陟县第一中学校考期末）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
48．（2023下·浙江湖州·高二统考期中）的展开式中，记项的系数为，则
49．（2023·江西·校联考一模）的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
50．（2023上·河北邯郸·高三统考开学考试）已知，则的值为 .
51．（2023·湖南长沙·雅礼中学校联考一模）展开式中的常数项为 .
52．（2023·浙江·校联考三模）已知多项式，则 ， ．
53．（2023·广东·高三校联考阶段练习）的展开式中，的系数为 .
54．（2023·全国·高二专题练习）已知的所有项的系数的和为64，展开式中项的系数为 ．
55．（2023上·福建福州·高三校考期中）在的展开式中，的系数为 .
56．（2023·高二课时练习）的展开式的所有项的系数和为243，则展开式中的系数为 .
57．（2023上·四川广安·高三四川省岳池中学校考阶段练习）已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为 ．
58．（2023·全国·高二专题练习）如果的展开式中第3项与第2项系数的比是4，那么展开式里x的有理项有 项．（填个数）
59．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考三模）已知且，，，且，则 ．
60．（2023下·江苏·高二校联考阶段练习）已知，且，则 ．
61．（2023·福建·高三统考阶段练习）已知，若，则 或 ．
62．（2023·浙江杭州·杭州高级中学校考模拟预测）已知.且，则 ，该展开式第3项为 .
63．（2023下·全国·高二专题练习）1.028的近似值是 .(精确到小数点后三位)
四、解答题
64．（2023下·高二课时练习）求的展开式.
65．（2023·高二课时练习）求的展开式．
66．（2023上·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）在二项式展开式中，第3项和第4项的系数比为．
(1)求n的值及展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大的项是第几项．
67．（2023上·江苏镇江·高三统考开学考试）已知为正偶数，在的展开式中，第5项的二项式系数最大．
(1)求展开式中的一次项；
(2)求展开式中系数最大的项．
68．（2023·高二课时练习）已知的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
69．（2023下·江西赣州·高二赣州市赣县第三中学校考阶段练习）已知的二项式展开式的各项二项式系数和与各项系数和均为128，
(1)求展开式中所有的有理项；
(2)求展开式中系数最大的项．6.3 二项式定理6题型分类
一、二项式展开式
二、二项展开式的通项公式
三、二项式系数表(杨辉三角)
展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.
四、二项式系数的性质
1．对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．直线是图象的对称轴．
2．增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．
3．二项式系数和：，
奇数项的系数等于偶数项的系数等于.
（一） 二项式展开式 1．二项式展开式： 2.在运用二项式定理时一定要牢记通项公式.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分. 3．在使用通项公式时，要注意通项公式是表示第项，而不是第项．
题型1：求二项式的展开式及特定项 1-1．（2023·江苏·高二专题练习）化简多项式的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，将多项式的每一项都变成二项式展开式的结构，观察结构变化，即可进行合并，完成求解. 【详解】依题意可知，多项式的每一项都可看作， 故该多项式为的展开式， 化简． 故选：D. 1-2．（2023下·山西朔州·高二校考阶段练习）（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用二项式定理展开，再对两边求导可得两边求导数，，分别取和，即可求出结果. 【详解】设， 两边求导数，， 令，得， 取，得. 故选：D. 1-3．（2023下·江苏南京·高二校考期中）化简的结果为（ ） A．x4 B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用二项展开式定理即可得答案. 【详解】 故选：A. 1-4．（2023上·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）在的展开式中，的系数是（ ） A．35 B． C．560 D． 【答案】C 【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令， 所以的展开式中的系数为. 故选：C
（二） 两个二项式相乘问题 求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式，常见的解题思路： 1．若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解． 2．观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2. 3．分别得到(a＋b)m，(c＋d)n的通项，综合考虑．
题型2：两个二项式相乘问题 2-1．（2023上·四川·高三校联考开学考试）的展开式中的常数项为（ ） A．240 B． C．400 D．80 【答案】D 【分析】根据二项式定理求解的展开式中的常数项和含的项的系数，进而求解的展开式中的常数项. 【详解】的展开式的通项为， 令，得， 则的展开式中的常数项为， 令，得， 则的展开式中含的项的系数为， 所以的展开式中的常数项为. 故选：D． 2-2．（2023·四川成都·统考二模）二项式展开式中的系数为（ ） A．120 B．135 C．140 D．100 【答案】B 【分析】利用二项式定理得到的展开式通项公式，求出，，，进而与对应的系数相乘，求出展开式中的系数. 【详解】的展开式通项公式为， 其中，，， 故二项式中的四次方项为， 即展开式中的系数为. 故选：B 2-3．（2023上·江苏常州·高三校联考阶段练习）已知，则的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据，结合二项式定理求解即可. 【详解】因为，展开式第项， 当时，，当时，， 故，即. 故选：B 2-4．（2023·山东·校联考模拟预测）的展开式中的系数为（ ） A． B． C．160 D．80 【答案】D 【分析】先将表达式变形为，再求解展开式中，最后与中的乘积即可得的系数. 【详解】解：， 展开式的通项为， 令，得的展开式中的系数为， 所以的展开式中的系数为. 故选：D
（三） 多项式展开式 求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式问题的处理方法： 1．通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解． 2．将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形． 3．可采用排列组合的形式进行抽取，技巧性较高．
题型3：求多项式展开式及特定项 3-1．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）的展开式中x项的系数为（ ） A．568 B．－160 C．400 D．120 【答案】D 【分析】先写出的展开式的通项，再求出满足x的次幂为1的项，代入求和即可得解． 【详解】因为， 又的展开式的通项为，且，， 所以的展开式的通项为且，， 令，得或或或，则x项的系数为， 故选：D． 3-2．（2023上·广西贵港·高三校联考阶段练习）展开式中的系数为（ ） A． B．21 C． D．35 【答案】A 【分析】先将原式整理为，视为两项的展开式，要含有的项，需要在中找即可 【详解】因为展开式的通项公式为，所以当时，含有的项，此时，故的系数为． 故选：A 3-3．（2023上·广东广州·高三统考阶段练习）展开式中各项系数的和为64，则该展开式中的项的系数为（ ） A． B． C．100 D．160 【答案】C 【分析】先用赋值法求得项数n，由于原式为三项式，需将作为整体进行二项式展开，从原式展开式中取出前两项再进行展开，分别求出包含项和项的系数，最后代回原式求和即可. 【详解】取代入，得，解得 则原式 其中，只有前两项包含项. ，其中项的系数为； ，其中项的系数为. 故原式展开式中的项的系数为. 故选：C. 3-4．（2023下·河南南阳·高二校联考期末）的展开式中的系数为（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】变形后求出其通项公式，令，则，再求出中的的系数即可求得结果 【详解】的通项公式， 令，则， 所以的系数为， 故选：B
（四） 二项式系数及项的系数的和及性质 1、赋值法在求各项系数和中的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 2、二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。 3、系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项 系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。 4、求解二项式系数或系数的最值问题的一般步骤： 第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求系数的最大值，有两个思路，思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值；思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案．
题型4：二项式系数及项的系数的和 4-1．（2023上·四川巴中·高三南江中学校考阶段练习）已知的展开式中二项式系数的和是1024，则它的展开式中的常数项是（ ） A．252 B． C．210 D． 【答案】B 【分析】求解先求出n，在利用通项公式求解 【详解】由的展开式中二项式系数的和是1024，故，所以． 由二项式定理得展开通项为， 当时为常数项， 故选：B 4-2．（2023下·四川雅安·高二统考期末）在的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则该展开式中的常数项为（ ） A．15 B．45 C．135 D．405 【答案】C 【分析】令可得展开式各项系数和，再由二项式系数和为，即可得到方程，求出，再写出二项式展开式的通项，令的指数为，即可求出，再代入计算可得； 【详解】解：对于，令，可得各项系数和为，又二项式系数和为， 所以，解得， 所以展开式的通项为， 令，解得，所以； 故选：C 4-3．（2023下·吉林·高二校联考期末）在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（ ） A．16 B．32 C．1 D． 【答案】A 【分析】先根据二项式系数和公式得，再令特殊值即可求得答案. 【详解】解：因为二项式系数的和是16，所以，解得， 所以，令得展开式中各项系数的和为． 故选：A 4-4．（2023上·湖南·高三校联考开学考试）已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为（ ） A．0 B． C．120 D． 【答案】A 【分析】令，构建方程可得，再根据的展开式，令和，代入运算求解． 【详解】因为的展开式中各项系数的和为， 所以令，得，解得， ∵的展开式为 则展开式中含的项为，故的系数为0. 故选：A． 4-5．（2023上·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设多项式， 则 . 【答案】 【分析】分别赋值，得到两个等式，两式相加即得偶数项系数的倍. 【详解】依题意，令，得到：，令，得到： ，两式相加可得：，故. 故答案为： 4-6．（2023下·高二单元测试）已知，若，则自然数n＝ . 【答案】5 【分析】利用赋值的方法分别让，，得到两个等式，再结合题目中的条件即可求出. 【详解】令，得， 令，得，所以，. 故答案为：5.
题型5：二项式系数或系数的最值 5-1．（2023·浙江·校考模拟预测）若二项式的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第项的系数最大，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据条件可得.写出展开式的通项，则当是偶数时，该项为有理项，求得所有的有理项的系数，可解出的值. 【详解】由已知可得，.根据二项式定理，知展开式的通项为 ，显然当是偶数时，该项为有理项， 时，；时，； 时，；时，； 时，；时，； 时，. 经比较可得，，即时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大． 故选：A. 5-2．（2023上·河南安阳·高三校联考阶段练习）已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二项式系数的性质可得，再结合二项展开式的通项求各项系数，分析列式求系数最小项时的值，代入求系数的最小值. 【详解】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则 ∴展开式的通项为 则该展开式中各项系数 若求系数的最小值，则为奇数且，即，解得 ∴系数的最小值为 故选：C. 5-3．（2023下·安徽黄山·高二统考期末）已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ） A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数最大为 C．展开式中没有常数项 D．展开式中有理项共有5项 【答案】D 【分析】根据二项式展开式的项数、展开式的系数和、二项式系数最大值、常数项、有理项等知识求得正确选项. 【详解】因为，所以，令，得所有项的系数和为，故A错误. 由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项的二项式系数为，故B错误. 因为展开式的通项为， 当时，， 故C错误. 当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确. 故选：D 5-4．（2023下·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期末）的二项展开式中，系数最大的是第 项. 【答案】 【分析】利用二项式定理得到展开式的通项公式，然后设第项系数最大，列出不等式组，求出，从而得到答案. 【详解】展开式的通项公式为， 假设第项系数最大，则有， 解得：， 因为，所以，则，即系数最大的是第1868项. 故答案为：1868
（五） 整除和余数问题 整除和余数问题的解题技巧： 1．利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了． 2．解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．
题型6：整除和余数问题 6-1．（2023下·福建泉州·高二校考期中）设，则当时，除以15所得余数为（ ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【分析】利用二项式定理化简，结合二项式的展开式公式即可求解. 【详解】∵， ∴，当时，， 而，故此时除以15所得余数为3. 故选:A. 6-2．（2023上·江西·高二统考阶段练习）设n∈N，且 能被6整除，则n的值可以为 .(写出一个满足条件的n的值即可) 【答案】5（答案不唯一） 【分析】先利用二项展开式将变形，进而即可求得n的可能取值 【详解】 被6整除， 由能被6整除，可得能被6整除， 则n的值可以为5，或11，或17等，答案不唯一 故答案为：5（答案不唯一） 6-3．（2023下·广东广州·高二广州市白云中学校考期中）已知且满足能被8整除，则符合条件的一个的值为 . 【答案】5（答案不唯一） 【分析】对进行合理变形，并利用二项式定理展开，从而得出的值. 【详解】由已知得，由已知且满足能被8整除，则是8的整数倍，所以（），则符合条件的一个的值为5. 故答案为：（答案不唯一） 6-4．（2023·全国）除以100的余数是 ． 【答案】81 【分析】根据二项式定理的应用求余数即可. 【详解】，在此展开式中，除了最后两项外，其余项都能被100整除，故除以100的余数等价于除以100的余数，所以余数为81. 故答案为：81. 6-5．（2023·高二课时练习）若能被13整除，则实数a的值可以为 ．（填序号） ①0；②11；③12；④25． 【答案】③④ 【分析】由，根据二项式定理展开，转化为能被13整除，结合选项即可求解. 【详解】解析：∵， 又52能被13整除，∴需使能被13整除，即能被13整除， ∴，，结合选项可知③④满足． 故答案为：③④．
一、单选题
1．（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）在的展开式中常数项为（ ）
A．14 B．－14 C．6 D．－6
【答案】D
【分析】根据二项式定理及多项式乘法法则求解．
【详解】由二项式定理得，
所以所求常数项为．
故选：D．
2．（2023下·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期中）在的展开式中，记项的系数为，则（ ）
A．45 B．60 C．120 D．210
【答案】C
【分析】根据题意，得到展开式中项的系数为：，分别求解，即可得出结果.
【详解】根据题意，得到展开式中项的系数为：
，
所以，，，，
因此．
故选：C.
3．（2023下·山东济南·高二统考期末）的展开式中，所有不含z的项的系数之和为（ ）
A．16 B．32 C．27 D．81
【答案】D
【分析】原问题即为求展开式中的所有项的系数和，令，即可得答案.
【详解】解：展开式的通项公式为，
若展开式中的项不含z，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项，
令，可得所有不含z的项的系数之和为，
故选：D.
4．（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A．-120 B．-40 C．-30 D．200
【答案】C
【分析】将整理为，根据二项展开式分析可得，对每种情况再根据二项展开式理解运算.
【详解】，其展开式为：
根据题意可得：
当时，则，展开式为：
∴，则的项的系数为
当时，则，展开式为：
∴，则的项的系数为
当时，则，展开式为：
∴，则的项的系数为
综上所述：含的项的系数为
故选：C．
5．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）展开式中，项的系数为（　　）
A．5 B．-5 C．15 D．-15
【答案】B
【分析】根据展开式的含义，可确定出现有两种情况，求出每种情况展开式中含有的项，即可求得答案.
【详解】，表示5个相乘，
展开式中出现有两种情况，第一种是中选出3个和2个1，
第二种是中选出4个和1个，
所以展开式中含有项有和，
所以项的系数为,
故答案为：B
6．（2023下·全国·高三校联考阶段练习）在的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为（ ）
A．299 B． C．300 D．
【答案】A
【分析】先，求出展开式中所有项的系数和，然后求出项的系数，从而可得答案.
【详解】令，得.
所以的展开式中所有项的系数和为 .
由可以看成是5个因式相乘.
要得到项，则5个因式中有1个因式取，一个因式取，其余3个因式取1，然后相乘而得.
所以的展开式中含的项为，
所以的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为.
故选：A
7．（2023·江苏·高二专题练习）二项式的展开式中系数为有理数的项共有（ ）
A．6项 B．7项 C．8项 D．9项
【答案】D
【分析】由二项式的通项公式结合有理项的性质即可求解.
【详解】二项式的通项，
若要系数为有理数，则，，，且，
即，，易知满足条件的，
故系数为有理数的项共有9项.
故选：D
8．（2023·河南开封·校联考模拟预测）的展开式中所有有理项的系数和为（ ）
A．85 B．29 C． D．
【答案】C
【分析】写出通项后可得有理项，进一步计算可得结果.
【详解】展开式的通项为：
，其中，
当时为有理项，故有理项系数和为
，
故选：C.
9．（2023下·福建泉州·高二泉州市城东中学校考期中）若，且，则实数的值可以为（ ）
A．1或 B． C．或3 D．
【答案】A
【分析】利用赋值法，分别令，和，
，
，
再根据，求得的值．
【详解】在中，
令可得，即，
令，可得，
∵，
∴，
∴，
整理得，
解得，或．
故选：A
10．（2023·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习）设，若，则实数a的值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D．
【答案】A
【分析】对已知关系式两边同时求导，然后令，建立方程即可求解.
【详解】对已知关系式两边同时求导可得：
，
令，则，
，即，解得：.
故选：A.
11．（2023上·江苏苏州·高二校考阶段练习）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（ ）
A．2004 B．2005 C．2025 D．2026
【答案】D
【分析】由二项式定理可得，结合算法新定义判断满足对应b值.
【详解】若，
由二项式定理得，则，
因为能被5整除，所以a除以5余，
又因为，选项中2026除以5余1．
故选：D．
12．（2023下·福建福州·高二福建省福州格致中学校考期中）的计算结果精确到0.001的近似值是（ ）
A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933
【答案】C
【分析】由二项式定理求解
【详解】.
故选：C
13．（2023下·安徽·高二校联考期末）估算的结果，精确到0.01的近似值为（ ）
A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16
【答案】A
【分析】利用二项式定理进行计算．
【详解】原式
+
．
故选：A．
14．（2023下·江苏苏州·高二统考期中）已知为正整数，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】由，根据二项式定理，将式子展开，估算，进而可得，再由题意，即可得出结果.
【详解】因为
，
而，
所以，
因此，
又为正整数，，所以；
故选：C.
【点睛】本题主要考查近似计算的问题，灵活运用二项式定理即可，属于常考题型.
15．（2023下·北京·高二北京师大附中校考期中）当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：
若在的展开式中，的系数为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据广义杨辉三角形可得出的展开式，可得出的展开式中的系数，即可求得的值.
【详解】由广义杨辉三角形可得，
故的展开式中，的系数为，解得.
故选：C.
16．（2023下·安徽阜阳·高二安徽省临泉第一中学统考期末）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第个数组成的数列称为第斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2023行第斜列与第斜列各项之和最大时，的值为（ ）
A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
【答案】C
【分析】根据题意可得第斜列各项之和为，第斜列各项之和为，则可求出.
【详解】当时，第斜列各项之和为，
同理，第斜列各项之和为，所以，
所以第斜列与第斜列各项之和最大时，，则.
故选：C．
二、多选题
17．（2023下·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（ ）
A． B．展开式中常数项为160
C．展开式系数的绝对值的和1458 D．展开式中含项的系数为240
【答案】ACD
【分析】对于A,先利用赋值法算出；对于B和D，求出展开式的通项公式，再由多项式乘法法则即可判断；对于C，展开式系数的绝对值的和可看做是二项式展开式系数的和，然后用赋值法即可判断
【详解】解：对于A,令，所以的展开式中各项系数的和为，解得，故A正确；
对于B和D,展开式通项公式为,
当时，；当时，(舍去)，
所以展开式中常数项为；
当时，；当时，(舍去)，
所以展开式中含项的系数为，
故B错误，D正确；
对于C，二项式展开式系数的绝对值的和可看做是二项式展开式系数的和，
所以令，展开式系数的和为，故C正确；
故选：ACD
18．（2023上·山东·高三山东师范大学附中校考阶段练习）已知的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1:8，则（ ）
A． B．展开式中所有项的系数和为1
C．展开式中二项式系数和为 D．展开式中不含常数项
【答案】AD
【分析】根据二项式定理，由题意写出第二项与第三项系数之比的绝对值，求出n，用赋值法求出各项系数之和，再利用二项式定理以及系数的性质即可.
【详解】由题意，则，，A正确；
，令，则所有项系数之和，B错误；二项式系数之和为 ，C错误；
，若为常数项，则有，是分数，所以不存在常数项，D正确；
故选：AD.
19．（2023上·浙江·高二校联考阶段练习）在的展开式中，有理项恰有两项，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】利用二项式定理的通项公式得到满足题意的项
【详解】展开式通项为，
对于A，展开式通项为，所以由可得或8，所以此时有两个有理项，故正确；
对于B，展开式通项为，所以由可得或6或12，所以此时有三个有理项，故错误；
对于C，展开式通项为，所以由可得或10，所以此时有两个有理项，故正确；
对于D，展开式通项为，所以由可得或6或12，所以此时有三个有理项，故错误；
故选：AC
20．（2023下·河北唐山·高二校考期末）已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（ ）
A． B．展开式中的常数项为45
C．含的项的系数为210 D．展开式中的有理项有5项
【答案】ABC
【分析】根据二项式的展开式的通项公式，结合第3项与第5项的系数之比为，可得.再根据公式逐个选项判断即可.
【详解】二项式的展开式的通项为，由于第3项与第5项的系数之比为，则，故，得.
∴(n＋5)(n－10)＝0，解得n＝10，故A正确；
则，令，解得，
则展开式中的常数项为，故B正确；
令，解得，则含的项的系数为，故C正确；
令，则r为偶数，此时，故6项有理项．
故选：ABC
21．（2023下·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期中）已知，若，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】令，已知式变为，可求得，然后二项式变形为，并令二项式化为，可求得，二项式两边都对求导后令可求得，从而判断各选项．
【详解】令，则，已知式变为，
解得，
，，
，
，
令，则有，
两边对求导得，
再令得，
所以，
故选：BCD．
22．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】比较等式两侧x的最高次知且判断A、B；将C中等式两侧乘，再令验证即可；对已知等式两侧求导，将代入求值判断D.
【详解】由等式右边最高为项，且不含项，则且，即，故A错误，B正确；
所以.
C：等式两边同乘，原等式等价于，令，则，正确；
D：，可得：，令，则，错误；
故选：BC
23．（2023上·广东佛山·高三统考期中）设，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】赋值令，代入整理运算，逐项判断.
【详解】令，则，即，A错误；
令，则，即①，
则，B错误；
令，则，即②，
由①②可得：，，C、D正确；
故选：CD.
24．（2023下·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期中）已知，下列命题中，正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为；
B．展开式中所有奇次项系数的和为；
C．展开式中所有偶次项系数的和为；
D．.
【答案】ACD
【分析】由二项式定理知的所有项的二项式系数和为，分别令、，再将所得作和差处理，求奇偶次项的系数和，根据通项，即可求，进而判断各选项的正误.
【详解】对于A：由二项式知：，故A正确；
当时，有，
当有，
对于B：由上，可得，故B错误；
对于C：由上，可得，故C正确；
对于D：由二项式通项知：，
则，，…，，
所以，故D正确.
故选：ACD
25．（2023上·湖北·高三黄冈中学校联考阶段练习）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】对于A，利用赋值法求解，对于B，利用二项式展开式的通项公式求解，对于C，利用赋值法求解，对于D，利用二项式展开式的通项公式求解.
【详解】对于A，令，则，令，则，
所以，所以A错误，
对于B，二项式展开式的通项公式为，所以，所以B错误，
对于C，令，则，因为，所以，，
因为，所以，所以，所以C正确，
对于D，因为二项式展开式的通项公式为，所以，， ，，，
所以，，
所以，所以D正确，
故选：CD
26．（2023上·辽宁本溪·高二校考阶段练习）已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为0，则（ ）
A．
B．的展开式中有理项有5项
C．的展开式中偶数项的二项式系数和为512
D．除以9余8
【答案】ABD
【分析】由二项式系数的概念与组合数的性质可判断A；由二项式的通向结合有理项的概念判断B；由偶数项的二项式系数和判断C；由二项式定理判断D
【详解】对于，因为第4项与第7项的二项式系数相等，所以，
由组合数的性质知，故A正确；
对于，在的展开式中，令，得，
所以，
所以的二项式通项为.
由为整数，得，
所以展开式中有理项有5项，故B正确；
对于，展开式中偶数项的二项式系数和为，故错误；
对于D，由B知，则
，
所以除以9余8，故D正确.
故选：ABD.
27．（2023·高二课时练习）设，且，若能被13整除，则a的值可以为（ ）
A．0 B．11 C．12 D．25
【答案】CD
【分析】化简，再利用二项式定理分析得解.
【详解】解：，
又52能被13整除，
∴需使能被13整除，即能被13整除，
∴，，又，
∴或25.
故选：CD．
28．（2023下·重庆·高二统考期末）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数（，且）在三角形中的一种几何排列，北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋时期杭州人杨辉在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如下图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”，杨辉三角形的构造法则为：三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数字相加.根据以上信息及二项式定理的相关知识分析，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．当且时，
C．为等差数列
D．存在，使得为等差数列
【答案】ABD
【分析】由组合数性质可判断A；利用组合数公式化简可判断B；组合数公式结合等差数列定义可判断CD.
【详解】A选项：由组合数的性质可知A正确；
B选项：，
因为，所以，所以，B正确；
C选项：，C错误；
D选项：当时，，所以数列为公差为1的等差数列，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
29．（2023下·江苏无锡·高二统考期中）设，化简 .
【答案】
【分析】逆用二项式定理，即可容易求得结果.
【详解】容易知.
故答案为：.
【点睛】本题考查二项式定理的逆用，属基础题.
30．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）求值：
【答案】
【分析】根据二项式定理展开式配凑，即可求出．
【详解】
．
故答案为．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,考查学生对二项展开式的理解．
31．（2023上·北京·高三北京市第一六一中学校考期中）已知二项式展开式中含有常数项，则n的最小值为 ．
【答案】6
【分析】写出二项式的通项公式并化解，根据已知列式，利用即可得到最小时的情况即可得出答案.
【详解】二项式展开式的通项为：
，
二项式展开式中含有常数项，
有解，
则当时，最小，且最小值为6.
故答案为：6.
32．（2023·海南省直辖县级单位·统考三模）的展开式中含项的系数为 .（用数字作答）
【答案】/
【分析】写出的展开式的通项，令，求得,即可求得答案.
【详解】由题意得：的展开式的通项为 ，
令 ，
故的展开式中含项的系数为，
故答案为：
33．（2023上·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考阶段练习）的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为 ．
【答案】135
【分析】根据展开式中二项式系数和求得的值，再利用展开式的通项公式求出常数项．
【详解】解：的展开式中各项二项式系数之和为64，
则，解得；
展开式的通项公式为
，
令，解得；
展开式中的常数项为．
故答案为：135．
34．（2023·全国·模拟预测）的展开式中的常数项为 .
【答案】84
【分析】根据二项式定理确定展开式的通项，即可求得常数项.
【详解】的展开式的通项公式为，
令，得，所以的展开式中的常数项为.
故答案为：84.
35．（2023·全国·模拟预测）写出一个正整数n，使的展开式中含有常数项，则n＝ ．（答案不唯一，写出一个符合题意的即可）
【答案】7（答案不唯一，7的正整数倍均可）
【分析】求出展开式的通项，可得存在，使，即可得出.
【详解】展开式的通项为．
因为展开式中含有常数项，所以存在，使，即，
故且n为7的倍数．
故答案为：7（答案不唯一，7的正整数倍均可）.
36．（2023下·广东广州·高二广州市禺山高级中学校联考期中）若展开式中第5项为常数项，则 ；
【答案】7
【分析】根据二项展开式的通项公式可得.
【详解】为常数项，所以.
故答案为：7.
37．（2023·江西南昌·统考二模）的展开式共有8项，则常数项为 ．
【答案】
【分析】利用二项式的性质可求得，利用其通项公式即可求得的展开式中的常数项．
【详解】的展开式共有项，
依题意得：，
；
设的展开式的通项为，则，
由得，
的展开式中的常数项为．
故答案为：．
38．（2023·福建漳州·统考二模）已知的展开式中的系数为
【答案】240
【分析】写出二项式展开式的通项公式，根据其通项公式可求得答案.
【详解】 展开式的通项公式为：
，
令 ，则，
故的系数为 ，
故答案为：240
39．（2023下·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在的二项展开式中，第 项为常数项.
【答案】7
【分析】直接利用二项式的通项公式，令的指数为0，求出即可．
【详解】解：的二项展开式的通项为，令，解得，即时，二项展开式为常数项，即第7项是常数项．
故答案为：7．
40．（2023上·天津静海·高三校考阶段练习）设常数，展开式中的系数为，则 .
【答案】/
【分析】求出二项式展开式的通项，令的指数位置等于求出的值，取该的值时再令系数等于，解方程即可得的值.
【详解】展开式的通项为，
令可得，所以展开式中的系数为，
可得：或（舍），所以，
故答案为：.
41．（2023下·黑龙江哈尔滨·高二校考期末）在二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则该展开式中的的系数是 ．
【答案】160
【分析】根据二项式系数之和可求得，再根据二项式的通项即可求得的系数.
【详解】因为二项式系数之和为64，
故有，得，
二项式的通项为，
令，得，所以.
即的系数是.
故答案为：160.
42．（2023下·北京石景山·高二统考期末）在的展开式中，二项式系数之和为 ；各项系数之和为 ．（用数字作答）
【答案】 16 256
【分析】根据二项式系数和公式求得二项式系数之和；再用赋值法求各项系数之和.
【详解】在的展开式中，二项式系数之和为；
令，，即各项系数和为.
故答案为：①；②.
43．（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32,则展开式中项的系数是 .
【答案】15
【分析】先赋值求出所有项的系数，进而计算出，再根据二项式定理计算展开式中项的系数.
【详解】令,得所有项的系数和为,二项式系数和为,所以,即的第项为
令,得
所以项的系数是
故答案为：15
44．（2023下·河北唐山·高二校联考期中）若的展开式中二项式系数的和为，则该展开式中的常数项是 ．
【答案】
【分析】由已知条件求出的值，写出展开式通项，令的指数为零，求出参数值，代入通项即可得解.
【详解】由已知可得，解得，
的展开式通项为，
令，可得，因此，展开式中的常数项为.
故答案为：.
45．（2023下·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则的系数为 .
【答案】
【分析】根据赋值法和二项式系数的定义可以求得n，再根据二项式的通项即可求得结果.
【详解】在的展开式中，令得展开式各项系数和为，又二项式系和为，
各项系数和与二项式系之比为32，即，∴，
在的展开式中，通项公式为
令，求得，∴的系数为，
故答案为：．
46．（2023上·北京·高三北京市第十一中学校考阶段练习）二项式的展开式中，常数项是 ，各项二项式系数之和是 .（本题用数字作答）
【答案】
【分析】由展开式的通项，令即可找到常数项，利用即可算出二项式系数之和.
【详解】展开式的通项公式为，
令，得，
所以常数项为；
所有二项式系数之和为
.
故答案为： ； 64
47．（2023下·河南焦作·高二武陟县第一中学校考期末）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
【答案】-800
【分析】要得到含的项，需在的展开式中取第4项，在的展开式中取第2项，从而利用二项式定理求解即可．
【详解】由题意知，在的展开式中取第4项，即，
的展开式中取第2项，即，
故的系数为．
故答案为：-800
48．（2023下·浙江湖州·高二统考期中）的展开式中，记项的系数为，则
【答案】
【分析】分别利用二项式定理求出和的展开通项求解即可.
【详解】表示的系数，即中含的系数和中的常数项相乘的结果，即，
表示的系数，即中含的系数和中的含的系数相乘的结果，即，
表示的系数，即中含的系数和中的含的系数相乘的结果，即，
表示的系数，即中含的系数和中的含的系数相乘的结果，即，
所以.
故答案为：.
49．（2023·江西·校联考一模）的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
【答案】
【分析】先求出的展开式中的常数项和的系数，再求的常数项.
【详解】解：因为，
其中展开式的通项为，
令得的常数项为，
令，即得展开式中的系数为.
所以的常数项为.
故答案为：
50．（2023上·河北邯郸·高三统考开学考试）已知，则的值为 .
【答案】
【分析】赋值法求，根据二项式展开式通项求，即可求.
【详解】令，
由的展开式的通项为，
令，得，令，得，
所以，
所以.
故答案为：
51．（2023·湖南长沙·雅礼中学校联考一模）展开式中的常数项为 .
【答案】4246
【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.
【详解】的展开式的通项:
,5,6.
的展开式的通项：
,.
两通项相乘得:，
令，得，
所以满足条件的有三组:，
故常数项为.
故答案为：4246.
52．（2023·浙江·校联考三模）已知多项式，则 ， ．
【答案】 16 48
【分析】利用赋值法令第一空，利用二项式展开式的通项公式即可求解.
【详解】由题意可知，令时，，
设的展开式的通项为：，
的展开式的通项为:，
当时，，当时，，
所以．
故答案为：16；48.
53．（2023·广东·高三校联考阶段练习）的展开式中，的系数为 .
【答案】
【分析】，然后两次利用通项公式求解即可
【详解】解：因为，
设其展开式的通项公式为，
令，
得的通项公式为，
令，得，
所以的展开式中，的系数为，
故答案为：
54．（2023·全国·高二专题练习）已知的所有项的系数的和为64，展开式中项的系数为 ．
【答案】15
【分析】根据系数和用赋值法可求，进而根据两个多项式相乘，根据结合律即可求解.
【详解】由题意知：令，则，
因此，要得的系数，则只需要分别提供的项分别与相乘即可，故项的系数为：，
故答案为：15
55．（2023上·福建福州·高三校考期中）在的展开式中，的系数为 .
【答案】
【分析】运用二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】二项式的通项公式为：，
令，二项式的通项公式为：，
令，
所以的系数为，
故答案为：
56．（2023·高二课时练习）的展开式的所有项的系数和为243，则展开式中的系数为 .
【答案】51
【分析】令可得所有项的系数和，求出，再利用组合的知识确定含的项的系数即可.
【详解】令，则，解得，
由组合知识可得，的展开式中含的项为，，，故展开式中的系数为．
故答案为：51．
57．（2023上·四川广安·高三四川省岳池中学校考阶段练习）已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为 ．
【答案】2
【分析】先算出，再写出通项公式，确定的次数为整数即可
【详解】的展开式有项,因为仅有第5项的二项式系数最大,所以
当时,,当时,,符合题意
所以展开式中有理项的个数为2
故答案为：2
58．（2023·全国·高二专题练习）如果的展开式中第3项与第2项系数的比是4，那么展开式里x的有理项有 项．（填个数）
【答案】2
【分析】利用二项式系数的性质可得，从而可求得的值，再写出展开式的通项，由的幂指数即可求得的值，从而可求得展开式里所有的有理项；
【详解】解：依题意可得，
即，解得或（舍去）．
所以二项式展开式的通项为（，1，2，，，
根据题意，解得或，
展开式里所有的有理项为，共项；
故答案为：
59．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考三模）已知且，，，且，则 ．
【答案】6
【分析】由二项式定理求解
【详解】由题意可得，令，得，
令，得，
故，解得，故．
故答案为：6
60．（2023下·江苏·高二校联考阶段练习）已知，且，则 ．
【答案】
【分析】运用二项式定理将进行展开，分别求出各个项的系数，
再带入到中，解方程即可求．
【详解】由二项式定理得：的通项为：，
又
则其通项为：
即
，，，，
，，
代入，化简得：
，解得
故答案为：．
61．（2023·福建·高三统考阶段练习）已知，若，则 或 ．
【答案】 1
【分析】根据二项展开式的形式，分别令和，代入展开式求得和的值，再把它们相乘，结合条件，即可求解．
【详解】因为，
令，可得，
再令，可得，
则
，
解得或.
故答案为：1或．
62．（2023·浙江杭州·杭州高级中学校考模拟预测）已知.且，则 ，该展开式第3项为 .
【答案】 5
【分析】根据二项式展开式可得，再利用赋值法得到，即可求出，再根据展开式的通项计算可得；
【详解】解：因为，
所以，令，则，令，则，
所以，所以，所以，解得或（舍去），
所以，
所以展开式的第项为；
故答案为：；
63．（2023下·全国·高二专题练习）1.028的近似值是 .(精确到小数点后三位)
【答案】1.172
【分析】由题意，，根据二项式定理，展开计算，即可得答案.
【详解】由题意得：.
故答案为：1.172
四、解答题
64．（2023下·高二课时练习）求的展开式.
【答案】
【解析】直接利用二项式定理求解即可.
【详解】
65．（2023·高二课时练习）求的展开式．
【答案】
【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可容易求得结果.
【详解】对，不妨令，
故
.
故求的展开式为：.
66．（2023上·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）在二项式展开式中，第3项和第4项的系数比为．
(1)求n的值及展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大的项是第几项．
【答案】(1)，
(2)第5项
【分析】（1）根据展开式的通项以及系数之比即可求解，由值和通项特征即可求解常数项，
（2）根据不等式法即可求解最大项，
【详解】（1）二项式展开式的通项公式为:，因为第3项和第4项的系数比为，所以，化简得，解得，
所以，令，得，所以常数项为．
（2）设展开式中系数最大的项是第项，则
解得，因为，所以，所以展开式中系数最大的项是第5项．
67．（2023上·江苏镇江·高三统考开学考试）已知为正偶数，在的展开式中，第5项的二项式系数最大．
(1)求展开式中的一次项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)
(2)，
【分析】(1)由第5项的二项式系数最大，可求得，再根据二项式的展开公式求一次项即可；
(2)令为展开式中系数，根据可得或，代入二项式的展开式中，即可求得答案.
【详解】（1）解：因为正偶数，在展开式中的第5项的二项式系数最大，则，．
设，
令，得，所以展开式中的一次项为.
（2）解：令，当时，
令，可得：,
即，
或．
所以系数最大的项为：，．
68．（2023·高二课时练习）已知的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二项式展开式的通项和等差中项解出.当是偶数时，中间项的二项式系数最大，当为奇数时，中间两项的二项式系数，相等且最大．
（2）求系数最大的项，则只需比较相邻两项系数的大小即可．
【详解】（1）的展开式的通项．
因为展开式中前三项的系数成等差数列，所以，
即，
整理得，解得或．
又因为，所以，所以第5项的二项式系数最大，
所以二项式系数最大的项为．
（2）由（1）得展开式中系数为
由得
整理得，解得
所以当或时项的系数最大.
因此，展开式中系数最大的项为和．
69．（2023下·江西赣州·高二赣州市赣县第三中学校考阶段练习）已知的二项式展开式的各项二项式系数和与各项系数和均为128，
(1)求展开式中所有的有理项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)展开式中所有的有理项为，
(2)和
【分析】（1）由二项式系数的性质可得，进而可得的值，再令求出的值，然后结合二项展开式的通项公式即可求解；
（2）由二项展开式的通项公式可知，展开式中系数最大的项即为展开式中二项式系数最大的项，从而利用二项式系数的性质即可求解.
【详解】（1）解：因为的二项展开式的各二项式系数和为，各项系数和为，
所以由已知得，故，
所以，解得，
所以该二项式为，其通项为，，
所以当时，该项为有理项，
所以展开式中所有的有理项为，；
（2）解：因为展开式的通项公式为，，
所以展开式中系数最大的项即为展开式中二项式系数最大的项，而由二项式系数的性质可知最大的项为展开式的第或第项，
所以展开式中系数最大的项为和；

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