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专题02 相交线与平行线
一．相交线和平行线的概念及表示
1．在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种．
2．相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线．
表示方法：如图，直线与直线相交于点O．
3．平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
表示方法：如图，直线与直线平行，可记为．
二．对顶角的概念及性质
1．对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点．
2．对顶角的性质：对顶角相等．
三．互为余角和互为补角及其性质
1．如果两个角的和是，那么称这两个角互为补角．
2．如果两个角的和是，那么称这两个角互为余角．
3．同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等．
四．垂直的概念及表示
1．两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
2．如图，直线与直线垂直，记作，点O是垂足．
五．垂线的性质
1．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
2．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
六．点到直线的距离
1．过点A作直线l的垂线，垂足为点B，则线段的长度叫做点A到直线l的距离，此时线段叫垂线段．
七．探索直线平行的条件
1．同位角、内错角、同旁内角的概念．
2．两条直线平行的条件：
①同位角相等，两直线平行；
②内错角相等，两直线平行；
③同旁内角互补，两直线平行．
3．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
4．平行于同一条直线的两条直线平行．
八．平行线的性质
1．两直线平行，同位角相等．
2．两直线平行，内错角相等．
3．两直线平行，同旁内角互补．
九．利用尺规作一个角等于已知角
【专题过关】
一．对顶角及邻补角的概念及性质（共3小题）
1．下面四个图形中，与是邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线和交于点，平分，若，则的度数为（ ）
A．75° B．80° C．100° D．120°
二．余角与补角相关角度计算（共4题）
4．已知的余角为35°，则的补角度数是（ ）
A． B． C． D．
5．若一个角的补角是这个角的余角的4倍，则这个角是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，被平分，且与互余，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②
三．垂线的相关概念（共3题）
8．下列四个说法：①两点确定一条直线；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，其中正确的说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．点P为直线外一点，点A、B、C为直线上三点，，，，则P到直线的距离为（ ）
A． B． C．小于 D．不大于
10．如图，，，垂足分别为C，D．则点A到直线的距离是线段 的长．
四．垂线的性质应用（共3题）
11．如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（　　）
A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
12．下列生活实例中，数学原理解释错误的是（ ）
A．测量两棵树之间的距离，要拉直皮尺，应用的数学原理是：两点之间，线段最短
B．用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上，应用的数学原理是：两点确定一条直线
C．测量跳远成绩，应用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，应用的数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
13．在体育课上某同学跳远的情况如图所示，直线表示起跳线，经测量，PB＝3.3米，PC=3.1米，PD=3.5米，则该同学的实际立定跳远成绩是 米；
五．利用垂直的定义、对顶角性质等求角的度数（共2题）
14．如图，点在直线上，已知，，则的度数为 ．
15．如图，直线与直线相交于点，，且平分，若，则的度数为 ．
六．同位角、内错角、同旁内角的识别（共3题）
16．在下列图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
17．如图，直线a，b被直线c所截，下列说法中不正确的是（　　）
A．∠1与∠2是对顶角 B．∠2与∠5是同位角
C．∠3与∠5是同旁内角 D．∠2与∠4是内错角
18．如图，下列说法正确的是（　　）
A．和是同位角 B．和是内错角
C．和是对顶角 D．和是同旁内角
七．平行线的判定（共4小题）
19．如图，下列能判定的条件有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．如图表示钉在一起的木条a，b，c．若测得，要使木条，木条a至少要旋转 °．
21．阅读下面的解答过程，并填空．
如图，，平分，平分，．求证：．
证明：∵平分，平分，（已知）
∴__________，_________．（角平分线的定义）
又∵，（已知）
∴∠____________=∠____________．（等量代换）
又∵，（已知）
∴∠____________=∠____________．（等量代换）
∴．（____________）
22．如图，点E、F分别是上的点，连接，分别交于点G、H，若，，求证：．
八．平行线判定的实际运用（共2小题）
23．如图一个弯形管道的拐角，，这时说管道，是根据 ．
24．《七彩云南》少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目，它荟萃云南人文之美，深受观众喜爱．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点和点的两盏激光灯控制．如图，光线与灯带的夹角，当光线与灯带的夹角 时，．
九．利用平行线的性质求角的度数（共5小题）
25．如图，直线、被直线所截，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
26．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是 ．
27．如图1，将一条两边互相平行的纸条折叠．
（1）若图中，则β＝ °．
（2）在图1的基础上继续折叠，使得图1中的边与边重合（如图2），若继续沿边折叠，边恰好平分，则此时β的度数为 度．
28．如图，已知，，平分，，求和的度数．
29．把一块含角的直角三角尺放在两条平行线之间．
(1)如图1，若三角形的角的顶点放在上，且，求的度数；
(2)如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系；
(3)如图3，若把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上，请直接写出与的数量关系．
十．平行线的判定与性质的综合运用（共2小题）
30．在下列解答中，填上适当的数式或理由：
如图，，平分，试说明：．
解：∵（_________），
∴_________（___________________________），
∵平分（已知），
∴__________（___________________________），
∵（已知），
∴________（___________________________）．
∴____________（等量代换）
即．
31．如图所示，，，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
十一．平行线相关动角问题（共1小题）
32．如图1， ，，，求度数．小明的思路是：过P作，如图2，通过平行线性质来求．
(1)按小明的思路，易求得的度数为　 　；请说明理由；
(2)如图3，，点P在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据邻补角定义解题，即两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角称为邻补角．
【详解】选项A、D中与不互补，不是邻补角，故A、D均错误；
选项B中与没有公共顶点，且不相邻，不是邻补角，故B错误；
选项C中与互补且相邻，是邻补角，故C正确，
故选：C．
【点睛】本题考查邻补角的识别，是基础考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．
2．C
【分析】根据对顶角的概念判断即可．
【详解】解：A．∠1与∠2不是对顶角，故此选项错误，不符合题意；
B．∠1与∠2不是对顶角，故此选项错误，不符合题意；
C．∠1与∠2是对顶角，故此选项正确，符合题意；
D．∠1与∠2不是对顶角，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了对顶角的判断，解题关键是掌握有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，准确理解定义，正确判断．
3．A
【分析】根据对顶角相等可得：∠1=∠2=30°，从而得∠BOC=150°，进而即可求解．
【详解】解：∵∠1+∠2=60°，∠1=∠2，
∴∠1=∠2=30°，
∴∠BOC=180°-30°=150°，
∵平分，
∴==×150°=75°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，对顶角相等以及平角的意义，解题的关键是掌握角的和差倍分关系．
4．B
【分析】根据余角的定义得出，再由补角的定义即可求出答案．
【详解】解：∵的余角为35°，
∴
∴的补角．
故选B．
【点睛】本题考查余角和补角的计算，掌握余角和补角的定义是解题关键．
5．C
【分析】根据互为余角的两个角的和等于，互为补角的两个角的和等于，列出方程，然后解方程即可．
【详解】解：设这个角为，则它的补角为，余角为，
根据题意可得：，
解得：，
即这个角为，
故选：C．
【点睛】本题考查了互为余角与补角的性质，表示出这个角的余角与补角然后列出方程是解题的关键．
6．A
【分析】根据且与互余，得出，根据被平分，求出结果即可．
【详解】解：∵且与互余，
∴，
∵被平分，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了余角的计算，角平分线的定义，解题的关键是根据余角的定义求出．
7．B
【分析】根据与互补，得出，，求出的余角是，表示的余角；，即可判断②；，根据余角的定义即可判断③；求出，即可判断④．
【详解】解：与互补，
，，
表示的余角，①正确；
，②正确；
，③错误；
，④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了对余角和补角的理解和运用，解题的关键是注意：与互补，得出，；的余角是，题目较好，难度不大．
8．B
【分析】根据两点确定一条直线，垂线的性质，垂线段最短，点到直线的距离的定义，逐项分析即可求解．
【详解】解：①两点确定一条直线，故①正确；
②同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故②不正确；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故③正确
④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故④不正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了两点确定一条直线，垂线的性质，垂线段最短，点到直线的距离的定义,掌握以上知识是解题的关键．
9．D
【分析】根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案．
【详解】解：,
当时，是点到直线的距离，即点到直线的距离；
当不垂直直线时，点到直线的距离小于的长，即点到直线的距离小于，
综上所述：点到直线的距离不大于．
故选：D．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，利用了垂线段最短的性质，掌握垂线段最短的性质是解题的关键．
10．##
【分析】根据点到直线距离的定义，即可解答．
【详解】解：，垂足为点C，
点A到直线的距离是线段的长，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
11．D
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答．
【详解】解：要把河中的水引到水池A中,应在河岸B处(AB⊥CD)开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是：垂线段最短，
故选：D.
【点睛】本题考查垂线段的性质：垂线段最短，熟练掌握垂线段的定义是解题的关键.
12．D
【分析】根据线段的基本事实，直线的基本事实，点到直线的距离即可求解．
【详解】解：选项，测量两棵树之间的距离，要拉直皮尺，应用的数学原理是：两点之间，线段最短，正确，不符合题意；
选项，用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上，应用的数学原理是：两点确定一条直线，正确，不符合题意；
选项，测量跳远成绩，应用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确，不符合题意；
选项，从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，应用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故原选项不正确，符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查直线的基本事实，线段的基本事实，两点之间垂线段最短，点到直线的距离，理解并掌握相关概念是解题的关键．
13．3.1
【分析】根据点到直线，垂线段最短，即可求解．
【详解】解：根据题意得：该同学的实际立定跳远成绩是PC=3.1米．
故答案为：3.1
【点睛】本题主要考查了点与直线的位置关系，熟练掌握点到直线，垂线段最短是解题的关键．
14．##度
【分析】根据邻补角得出，根据垂直的定义进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了邻补角的定义，垂直的定义，数形结合是解题的关键．
15．##度
【分析】根据题意得出，设，根据角平分线的定义，对顶角相等，得出，根据平角的定义列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵，
∴,
∵，
∴
设，
∵平分，
则
∴
即
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
16．D
【分析】根据同位角的定义判断即可．
【详解】解：根据同位角的定义可知图D中的∠1和∠2是同位角．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了同位角，解答本题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
17．C
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行判断即可．
【详解】解：A．∠1与∠2是对顶角，正确，因此选项A不符合题意；
B．∠2与∠5是直线a、直线b被直线c所截得的同位角，正确，因此选项B不符合题意；
C．∠3与∠5不是同旁内角，不正确，因此选项C符合题意；
D．∠2与∠4是直线a、直线b被直线c所截得的内错角，正确，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角以及对顶角、邻补角，理解同位角、内错角、同旁内角以及对顶角的定义是正确判断的前提．
18．B
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义结合图形进行判断即可．
【详解】解：A．和不是同位角，原说法错误，故此选项不符合题意；
B．和是内错角，原说法正确，故此选项符合题意；
C．和是邻补角，原说法错误，故此选项不符合题意；
D．和不是同旁内角，原说法错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角，理解同位角、内错角、同旁内角的定义是正确判断的前提．
19．B
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【详解】∵，∴，故①符合题意；
由，不能判定，故②不符合题意；
∵，∴，故③不符合题意；
∵，∴，故④符合题意；
综上可得：符合条件的有2个．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
20．
【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后的同位角的度数，然后用减去即可得到木条a旋转的度数．
【详解】解：如图，
∵时，,
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是．
故答案是：．
【点睛】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后的同位角的度数是解题的关键．
21．；；；；；；同位角相等，两直线平行
【分析】根据角平分线的定义，等量代换，同位角相等两直线平行，联系证明过程，可推理出答案．
【详解】证明：∵平分，平分，（已知）
∴，．（角平分线的定义）
又∵，（已知）
∴．（等量代换）
又∵，（已知）
∴．（等量代换）
∴．（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，解决本题的关键是熟悉相关的几何定理，联系证明过程进行推导．
22．见解析
【分析】根据平行线的判定和性质进行解答即可．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，熟练掌握同位角相等两直线平行，和内错角相等两直线平行，是解题的关键．
23．同旁内角互补，两直线平行
【分析】，由同旁内角互补，两直线平行即可判定．
【详解】解：∵，，
∴，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】本题考查平行线判定定理，根据定理内容解题是关键．
24．140°或40°
【分析】当AB与在AC同侧时，CB′∥AB，同旁内角互补；当AB与CB"在AC异侧时，CB"∥AB，内错角相等．
【详解】解：如下图：
当AB与CB′在AC同侧时，
当CB′∥AB时，
∵∠CAB+∠ACB′=180°
∴∠ACB′=140°
当AB与CB"在AC异侧时，
当CB"∥AB时，
∠CAB=∠ACB"=40°
答案：140°或40°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补及需要由分论讨论的思想求解．
25．C
【分析】先根据对顶角相等得出的度数，然后根据平行线的性质得出的度数即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
26．##度
【分析】首先过作，根据，可得，进而得到，，然后可求出的度数．
【详解】解：如图所示，过作，
，
，
又，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了平行线性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
27． 50 45
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等，可知，再利用折叠的性质求解即可；
（2）根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的都相等，而这四个角的和为，故每个角为，从而可知，再由（1）的思路可得β的值．
【详解】解：（1）根据上下边互相平行可知，，
∵，
∴．
又，
∴．
故答案为：50．
（2）根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角都相等，
根据题意可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的∠ACE都相等，而这四个角的和为，故每个角为，
∴，即，
由（1）中可得，．
故答案为：45．
【点睛】本题考查学生对平行线性质和折叠问题的掌握情况，根据实际情况对问题进行解答．学生可以自主动手操作，通过实际操作可以较容易的对问题进行解答．
28．
【分析】平分，，根据角平分线的性质，即可求得的度数，又由，根据两直线平行，内错角相等，即可求得的度数，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，即可求得的度数．
【详解】解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
【点睛】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．解此题的关键是掌握两直线平行，内错角相等与两直线平行，同旁内角互补定理的应用．
29．(1)的度数为
(2)
(3)
【分析】（1）依据，可得，再根据，，即可得出，进而得到∠1=40°；
（2）根据，可得，再根据，即可得到；
（3）依据，可知，再代入，，即可求出．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
即，
又∵，
∴；
（3）．理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补．
30．已知；C；两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义；E；两直线平行，内错角相等；E
【分析】利用平行线的性质，角平分线的定义即可求解．
【详解】解：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵平分（已知），
∴（角平分线的定义），
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等）．
∴（等量代换）
即．
故答案为：已知；C；两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义；E；两直线平行，内错角相等；E．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
31．(1)见解析
(2)45°
【分析】（1）根据平行线的性质与判定可得CDFG，根据题意，即可得证；
（2）由（1）得∠BFG＝90°，根据三角形内角和定理可得∠B＝45°，根据DE//BC，即可求解．
【详解】（1）∵DEBC
∴∠1＝∠2
又∵∠1＝∠3
∴
∴CDFG
又∵CD⊥AB
∴FG⊥AB
（2）由（1）得∠BFG＝90°
∵∠B＋∠3＋∠BFG＝180°
∴∠B＋45°＋90°＝180°，∠B＝45°
∵DE//BC
∴∠ADE＝∠B＝45°
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
32．(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)当点P在射线上运动时，；当点P在上运动时，．
【分析】（1）根据平行线的性质得出，，，则，进而根据即可求解；
（2）过点P作，根据（1）的方法得出；
（3）分情况讨论，当点P在射线上运动时，当点P在上运动时，分别画出图形，根据（1）的方法即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），
理由：过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）分两种情况：当点P在射线上运动时，，
理由：如图：过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
当点P在上运动时，，
理由：如图：过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上所述：当点P在射线上运动时，；当点P在上运动时，．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键．
答案第1页，共2页
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