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专题05 全等三角形证明方法：倍长中线
基本模型：
（1）条件：如图，在中，为的中线，
作法：延长至点E，使得，连接，
结论：①；②；③.
（2）条件：如图，在中，为的中线，
作法：过点C作于点E，过点B作交的延长线于点D，
结论：①；②；③.
（3）条件：如图，在中，D为的中点，M为边上任意一点，
作法：延长至点N，使得，连接，
结论：①；②；③.
例题精讲：
例1．
1．如图，中，，，是的中点，的取值范围为 ．
例2．
2．证明：直角三角形斜边中线的长度等于斜边的一半．如图，D是的中点，，求证：．
例3．
3．已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE
例4．
4．如图AD是三角形ABC的中线,E,F分别在AB,AC上,且DF丄DE. 求证：BE+CF>EF
例5．
5．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第页的部分内容：
(1)【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是　 　．
(2)【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)【拓展延伸】如图③，已知，点E是的中点，点D在线段上，，若，，直接写出线段的长．
例6．
6．中，，以为边，在右侧作等边．如图，E为延长线上一点，连接、，G为的中点，连接、，，证明：．
专练过关：
7．（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．
①证明△ABD≌△ECD；
②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______；
（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF．
8．如图，在中，，于点M，点D在上，且，F是的中点，连接并延长，在的延长线上有一点E，连接，且，，求的度数．
9．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．
10．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，请补充完整证明“≌”的推理过程．
求证：≌
证明：延长AD到点E，使
在和中已作，
______，
中点定义，
≌______，
探究得出AD的取值范围是______；
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如图2，中，，，AD是的中线，，，且，求AE的长．
11．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），
①延长到M，使得
②连接，通过三角形全等把、、转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是　 　；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
（2）请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明．
12．如图，在中，F为中点，分别以、为底边向外作等腰三角形和等腰三角形，记，．
(1)若，如图，求证：，；
(2)当，不等于时，若，
①在图中补全图形；
②试判断，的数量关系，并证明．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】延长到，使，连接，证明，得出，再根据三角形的三边关系即可得到结论．
【详解】解：如图，延长到，使，连接，
是的中点，
，
在与中，，
，
，
，
，即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，理解倍长中线法，构造全等三角形是解题的关键．
2．见解析
【分析】延长到E，使，连接，先证，再证即可．
【详解】解：延长到E，使，连接，
∵D是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，理解倍长中线法，证明是解题的关键．
3．见解析
【分析】取的中点F，连接，则为的中位线，进而可得，证明即可证明∠C＝∠BAE．
【详解】证明：如图，取的中点F，连接，
∵
∴
∵CD＝AB，
∴
，，
∵AE是△ABD的中线，
∴
在与中
∠C＝∠BAE
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，三角形中位线的性质，三角形全等的性质与判定，添加辅助线是解题的关键．
4．证明见解析.
【分析】延长FD至G，使得GD=DF，连接BG，EG,先证△DFC和△DGB全等，得到BG=CF，进而证明△EDF≌△EDG，得到EF=EG，最后再运用三角形的三边关系进行证明即可.
【详解】
证明：延长FD至G，使得GD=DF，连接BG，EG
∵在△DFC和△DGB中，
∴△DFC≌△DGB（SAS），
∴BG=CF，
∵在△EDF和△EDG中
∴△EDF≌△EDG（SAS），
∴EF=EG
在△BEG中，两边之和大于第三边，
∴BG+BE＞EG
又∵EF=EG，BG=CF，
∴BE+CF＞EF．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质以及三角形的三边关系，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键.
5．(1)
(2)，理由见解析
(3)3
【分析】（1）延长到E，使，连接，证明，得出，在中，根据，求出结果即可；
（2）延长，交于点F，证明，得出，证明，得出，根据，得出；
（3）延长交的延长线于点G，证明，得出，根据等腰三角形的判定得出，根据，求出结果即可．
【详解】（1）解：延长到E，使，连接，如图所示：
∵是边上的中线，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：结论：．
理由：如图②中，延长，交于点F，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图③，延长交的延长线于点G，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
6．见解析
【分析】延长至点F，使，连接，，利用倍长中线的方法得到,，再证明得到,利用等腰三角形的三线合一即可得出结论．
【详解】证明：连接，延长至点F，使，连接，，
∵，，
∴是线段的垂直平分线．
∴．
∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
7．（1）①见解析；②1＜x＜4；（2）见解析
【分析】（1）由AD是△ABC的中线推出CD＝BD，再用SAS证明即可；
（2）由△ABD≌△ECD推出AB＝EC=5，由ED=AD推出AE=2x，由△ACE三边关系将已求代入解不等式即可；
（3）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．用SAS证明△CDF≌△BDG，△EDF≌△EDG，从而得到CF＝BG，EF＝EG，最后利用在△BEG的三边关系BE+BG＞EG得证．
【详解】（1）①∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD，
在△ABD与△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS）
②1＜x＜4， 理由如下：
∵△ABD≌△ECD，AB＝5，
∴AB＝EC=5，
∵ED=AD，AD＝x，
∴AE=2x．
由△ACE三边关系得：，
又∵AC＝3，
∴，
解得：1＜x＜4．
故答案是：1＜x＜4．
（2）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．
∵D是BC边上的中点，
∴CD＝DB．
在△CDF与△BDG中，
，
∴△CDF≌△BDG（SAS）．
∴CF＝BG，
∵DE⊥DF，
∴．
在△EDF与△EDG中，
，
∴△EDF≌△EDG．
∴EF＝EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系和全等三角形的性质与判定，根据题意画辅助线是解题的关键．
8．
【分析】先证明，延长到点G，使得，连接．再证可得，，从而得，即可得．
【详解】解：∵，，
∴
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
如图，延长到点G，使得，连接．
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉“倍长中线”模型添加辅助线，构造全等三角形．
9．（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；
【分析】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F， AB＝CD；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，△BEF≌△CEG
△BAF≌△CDG，AB＝CD；
（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；
【详解】（1）①如图1，
延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，
在△BEF和△CED中，
，
∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，
∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，
∴AB＝BF，∴AB＝CD；
②如图2，
分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，
∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，
在△BEF和△CEG中，
，
∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，
在△BAF和△CDG中，
，
∴△BAF≌△CDG（AAS），
∴AB＝CD；
（2）如图3，
过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，
则∠BAE＝∠EMC，
∵E是BC中点，
∴BE＝CE，
在△BAE和△CME中，
，
∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F，
∵∠BAE＝∠EDC，
∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
10．见解析； 1【分析】（1）延长AD到点E，使DE=AD，根据SAS定理证明△ADC≌△EDB；
（2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算；
（3）延长AD交EC的延长线于F，证明△ABD≌△FCD，根据全等三角形的性质解答．
【详解】延长AD到点E，使，
在和中，
已作，
对顶角相等，
中点定义，
≌，
故答案为对顶角相等，SAS；
≌，
，
，
，
故答案为；
延长AD交EC的延长线于F，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的性质和判定，解题关键是熟记全等三角形的判定条件.
11．（1）；（2）且，证明见解析；（3），证明见解析
【分析】（1）延长到点M，使，连接，证明得到，由三角形三边的关系得到，即可求出；
（2）由全等三角形的性质得到，，进而证明；
（3）如图2，延长到M，使得，连接，同理证明，得到，则，再证明，进一步证明，得到，由此即可证明．
【详解】解：（1）延长到点M，使，连接，
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，即，
∴，
故答案为：；
（2），且，证明如下：
由（1）知，，
∴，，
∴；
（3），证明如下：
如图3，延长到M，使得，连接，
由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
由（2）知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，利用倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．
12．(1)见解析
(2)①见解析②，见解析
【分析】（1）延长到点H，使得，连接、、，证明，得到，，再证，得到，，由，且，即可得到结论；
（2）①图中补全图形见解析；
②延长到点H，使得，连接、、，先证，则，，再证，则，进一步推导出结论即可．
【详解】（1）证明：延长到点H，使得，连接、、，如下图，
在和中
，
∴，
∴，，
∵和是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，，
∵
，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，；
（2）解：①根据题意补全图形如下：
②，理由如下：
延长到点H，使得，连接、、，如下图，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，
∵，
∵，，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
即，
∵，
∴．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，基本作图的应用，线段垂直平分线的性质，关键是倍长中线构造全等三角形．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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