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第七章 万有引力与宇宙航行
第2节 万有引力定律

一、科学的足迹
二、月地检验
第2节 万有引力定律
三、万有引力定律
四、引力常量G
五、测地球质量
新课引入
开普勒定律发现之后，人们开始更深入地思考：是什么原因使行星绕太阳运动 ？历史上科学家们的探索之路充满了艰辛。我们来亲自体验科学家的思考之路。
伽利略
1.伽利略:
一切物体都有合并的趋势。
合并趋势
一、科学的足迹
伽利略
1.伽利略:
一切物体都有合并的趋势。
行星的运动是受到了来自太阳的类似于磁力的作用，与距离成反比。
2.开普勒:
开普勒
类磁力
一、科学的足迹
伽利略
1.伽利略:
一切物体都有合并的趋势。
行星的运动是受到了来自太阳的类似于磁力的作用，与距离成反比。
2.开普勒:
开普勒
3.笛卡尔:
笛卡尔
在行星的周围有旋转的物质(以太)作用在行星上，使得行星绕太阳运动。
(以太）作用
一、科学的足迹
伽利略
1.伽利略:
一切物体都有合并的趋势。
行星的运动是受到了来自太阳的类似于磁力的作用，与距离成反比。
2.开普勒:
开普勒
3.笛卡尔:
笛卡尔
在行星的周围有旋转的物质(以太)作用在行星上，使得行星绕太阳运动。
胡克
4.胡 克:
行星的运动是太阳吸引的缘故，证明了若轨道为圆，则引力的大小与到太阳距离的平方成反比。
一、科学的足迹
伽利略
开普勒
笛卡尔
胡克
F引=m r
4????2
?
T2
=k
r3
T2
=km
4????2
?
r2
=m r
4????2
?
r3
k
1.伽利略:
2.开普勒:
3.笛卡尔:
4.胡 克:
V
F引
r
m
M
行星的运动是太阳吸引的缘故，证明了若轨道为圆，则引力的大小与到太阳距离的平方成反比。
一、科学的足迹
1.伽利略:
一、科学的足迹
2.开普勒:
3.笛卡尔:
4.胡 克:
艾萨克·牛顿(1643.1.4-1727.3.31)
5.牛 顿:
在轨道是椭圆的情况下证明F引与r2成反比。
F=m r
4????2
?
T2
=km
4????2
?
r2
=m r
4????2
?
r3
k
=4????2k
?

r2
m
F∝
r2
m
由牛顿第三定律
V
F
r
m
M
高中将椭圆近似为圆来处理
F/
r2
M
∝
mM
r2
∝
mM
r2
G
地球对月亮的引力也遵循此规律。
地球对苹果的吸引力呢？
F=F/
F=F/
F=F/=
地球对月球的引力、地球对地面上物体的引力若为同种力，其大小的表达式应满足:
苹果m2
月亮m1
地球M
V
R地
r月
二、月地检验
R地=6.4×106m
r月=60R地
F月=
=2.72×10-3m/s2

4π2
T月2
r月
a月=
F引=
mM
r2
G
F月
F苹
m1M
r月2
G
F苹=
m2M
R地2
G
M
r月2
G
a苹=
M
R地2
G
a月
a苹
=
R地2
r月2
1
602
=
a月=
T月=27天
a苹=
g=9.8m/s2
=3602.94a月
三、万有引力定律
V
F引
r
m
M
1.内容:
任何两物体之间相互吸引，
方向在连线上，
大小与质量乘积成正比，
与距离的平方成反比。
2.公式:
F=
G
m1m2
r2
m1
m2
F
F/
r
3.适用条件：
(2)两均质球体间(r为两球球心间的距离)
(1)两质点间(间距远大于物体的线度)
【典例1】如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为（　）
A． B．
C． D．
D
【典例2】有一质量为m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m′的质点。现从m中挖去半径为R/2的球体，其球心O′在O与m′的连线上且距m′为3R/2，如图所示。则剩余部分对m′的万有引力为原来的多少倍( 　 )
A．2/9　　　　　
B．4/9
C．7/9
D．7/8

C
三、万有引力定律
1.内容:
2.公式:
F=
G
m1m2
r2
3.适用条件:
4.理解:
①普遍性:
②相互性:
③宏观性:
④独立性:
存在于任何两个物体之间。
符合牛顿第三定律。
只有在质量巨大的天体间或天体与天体附近的物体间，它才有实际的物理意义。
只与它们的质量和距离有关，与它们之间是否还有其他作用力均无关
（G:引力常量）
四、引力常量G
亨利·卡文迪许(1731-1810)，英国化学家、物理学家。被誉为化学家中的牛顿。
1686年牛顿发现万有引力定律后，却无法算出两个天体间的引力大小。
100多年以后，英国物理学家卡文迪什利用扭秤装置，第一次比较准确地测出了引力常量。
四、引力常量G
亨利·卡文迪许(1731-1810)，英国化学家、物理学家。被誉为化学家中的牛顿。
四、引力常量G
1.扭秤装置:
把微小力通过杠杆旋转明显反映出来(一次放大)
扭转角度（微小形变）通过光标的移动来反映(二次放大)，从而确定物体间的万有引力
通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2 。
2.标准值:
G＝6.67259×10－11
N·m2/kg2
F=
G
m1m2
r2
③使得万有引力定律有了真正的实用价值
3.意义:
①证明了万有引力的存在
②开创了测量弱力新时代
【典例3】对于质量为m1和质量为m2的两个物体间的万有引力的表达式F＝G ，下列说法正确的是（　　）
A．公式中的G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的
B．当两个物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．m1和m2所受引力大小与其质量有关
D．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
A
【典例4】关于引力常量，下列说法正确的是（　　）
A．在国际单位制中，引力常量在数值上等于两个质量是1kg的质点相距1m时万有引力的大小
B．在不同的单位制中，引力常量的数值是相同的
C．计算不同物体间相互作用的万有引力时，引力常量的值是不同的
D．著名的“月—地检验”是在已知引力常量的数值后才进行的
A
五、测地球质量
F向
F万
F向
G
F万
G
F向=
4π2
T2
m
r
=
4×3.142
(24×3600)2
60×
×6.4×106
=
2.02872N
F万
G
G≈600N
赤道处:
结论：
重力与万有引力几乎相等
以一个60kg的人为例
1.万有引力与重力的关系
以一个60kg的人为例
F向
F万
F向
G
F万
G
F万
G
五、测地球质量
1.万有引力与重力的关系
①重力是万有引力的一个分力
②同一物体重力在赤道_____
两极______。
④两级：F万=G
赤道：F万=G+mω2R
③g随着纬度的增加而增___
大
mg=
最小
最大
⑤F向很小，可忽略不计。
R2
mM
G
R
五、测地球质量
1.万有引力与重力的关系
2.地球质量
9.8×(6.4×106)2
M地=
gR2
G
=
6.67×10-11
=6×1024kg
3.重力加速度g
g=
M
R2
G
任意星球表面g公式
mg=
R2
mM
G
mgh=
(R+h)2
G
mM
gh=
(R+h)2
G
M
即g随着高度的增加而减小
高空g公式
h
【典例5】地球表面的重力加速度为g，忽略地球自传的影响。在距地面高度为h的地方重力加速度是地面上的多少倍?(已知地球半径为R)
解：
地面：
mg=
R2
G
mM
高空：
mgh=
(R+h)2
G
mM
则：
gh
g
=
R2
(R+h)2
【典例6】一物体在地球表面重16N,它在以5m/s2的加速上升的火箭中视重为9N，则此火箭离地球表面的距离为地球的半径的几倍(地球表面处g=10m/s2)
解：
地面：
mg=
高空：
得:
gh
g
=
R2
(R+h)2
16N
FN
mg/
=9N
FN-mgh=ma
gh=0.625m/s2
=
0.625
10
h=
3R
=625×10-4
R
(R+h)
=
25×10-2
【典例7】假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极处的大小为g0，在赤道处的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的密度为(　 )
B
【典例8】设地球自转周期为T，质量为M，引力常量为G，假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为(　 )
A
【练习1】下列关于行星对太阳的引力的说法中正确的是( )
A、行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是同一性质的力
B、行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星的质量无关
C、太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力
D、行星对太阳的引力大小与太阳的质量成正比，与行星距太阳的距离成反比
A
课堂练习
【练习2】两个行星的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，若它们只受太阳引力的作用，那么这两个行星的向心加速度之比为（ ）
A.1 B.
C. D.
D
课堂练习
【练习3】（多选）下面说法中正确的是（ ）
A、离太阳越近的行星周期越大
B、离太阳越远的行星周期越大
C、离太阳越近的行星的向心加速度越大
D、离太阳越近的行星受到太阳的引力越大
BC
课堂练习
【练习4】(多选)一群小行星在同一轨道上绕太阳旋转，这些小行星具有（ ）
A.相同的速率
B.相同的加速度
C.相同的运转周期
D.相同的角速度
ABCD
课堂练习
【练习5】已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。若地球是半径为R、质量分布均匀的球体，假设一人掉进一个完全穿过地球中心的洞中，B点为地球中心。不考虑摩擦和旋转效应，则下列说法正确的是（ ??）
A．小球在A点速度最大
B．小球在B点速度最大
C．小球在C点速度最大
D．小球在D点速度最大
B
课堂练习

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