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(共91张PPT)
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第七章 时间序列分析
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最早的时间序列分析可以追溯到7000年前的古埃及。
古埃及人把尼罗河涨落的情况逐天记录下来，就构成所谓的时间序列。对这个时间序列长期的观察使他们发现尼罗河的涨落非常有规律。由于掌握了尼罗河泛滥的规律，使得古埃及的农业迅速发展，从而创建了埃及灿烂的史前文明。
按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列。对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析。
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主要内容
7.1 时间序列的定义
7.2 时间序列的趋势分析法
7.3 Box-Jenkin模型
7.4 时间序列的季节分解
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7.1 时间序列的基本概念
7.1.1 时间序列的定义
设
为整数集
， 如果对每一
中每一元素
，都有一
与其对应，那么就称随机变量的集合
为一时间序列。
的一子集(称为
指标集)
随机变量
简单地说，所谓时间序列，就是按照某种次序(多数情况下是时间顺序)排列的一族随机变量。
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当获得了时间序列
中每一随机变量
的观测值
，
时， 我们就得到了该序列
。
的一次实现
特殊情况下
常常取正整数值，即
此时时间序列记为
，
，本章讨论的问题
均考虑这样的时间数据。
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7.1.2 时间序列的自相关系数
设
为一时间序列，
均值：
自协方差函数：
的协方差
与
称
为
的自协方差函数。
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自相关函数：
与
时间序列的自协方差和相关系数是同一指标值在不同时间点上的相关，它们是时间点的函数。
的相关系数
称
为
的自相关函数。
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7.1.3 时间序列的平稳性
设
为一时间序列， 若它满足
(1)
的均值函数
在
上为一常数；
(2)
的自协方差函数
在
上只依赖于 ；
则称
是平稳序列（这里的
的平稳指的是协方差意义下的平稳，也称弱平稳）。
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依均值和方差的统计意义，平稳序列
的实现大致是由在某一水平线附近
和自相关函数
可分别简记为
和
。
近等幅波动的点构成的。此时自协方差函数
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平稳时间序列与非平稳时间序列图
t
X
t
X
t t
(a) (b)
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7.1.4 时间序列的差分
假设
为一时间序列，一阶差分为：
其中
表示一阶差分算子（difference operator），
也即当前的观测值减去前面一定间隔的某个观测值。
在许多时间序列数据中， 差分可以是时间序列
达到平稳性目的。当一个时间序列有斜率不变的趋
势，通过一阶差分可以消除这种趋势。
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有时我们需要对其进行多次一阶差分，从而
达到平稳性的目的。令 表示一个后移算子，则
阶后移算子定义为：
显然
，那么
。
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【例7.1】（数据文件example7.1）
选取我国从1978年至2008年国内生产总值（GDP，亿元）数值，总31个观测值，数据来源“国泰安宏观经济数据库”。试对该数据进行分析，判断其是否具有平稳性。
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解：时间序列的一个重要特征是数据是按时间顺序录入的，在许多情况下，我们可以增加一个时间变量来标示变量与时间的关系，但SPSS软件提供了一种更为方便的功能定义这种时间变量，使数据的图示更为方便。在原始数据中，example7.1的第一列给出了我国从1978年至2008年国内生产总值（GDP，亿元）数值，此时没有时间变量。为了定义时间变量，打开数据文件，执行
Data
Define Dates 命令，打开Define Dates命令框，左
边显示的是各种日期格式，在此数据中，时间格式
是以年为单位，因此点中Years，右边即显示出需
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要指定的时间初始值，在First Cases is中输入Years的初始值为1978，单击OK按钮，就可以形成两个新的时间变量，YEAR_，DATE_，并出现在数据文件的第二、三列。其中YEAR_，DATE_的数值看上去是一样的，但YEAR_是数值变量，DATE_是字符变量，字符型变量主要功能在与方便进行图型显示。
在SPSS软件中，还提供了对时间序列的变化计算功能Transform，可以计算时间序列数据的各种数据变换形式，其中最常用的是差分函数。
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我们以一阶差分为例，在刚才的数据文件中，选择 命令，将对话框左边的GDP点入到New Variable(s)中，此时形成一个新的变量名称GDP_1， 在Function功能框中选择Difference，Order选择1，单击OK按钮，就可以形成一阶差分后新的时间变量GDP_1，该变量的第一个数值为缺省，这是因为一阶差分后，观测数据减少了一个。如果是两阶差分，前两个为缺省，以此类推。为了了解时间序列的初步特征，可以首先给出时间序列的时序图，操作如下：点击选择
Transform
Create Time Series
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Time series
Sequence chart命令，
将对话框中左边的GDP及GDP_1选入右边的Variable中，将YEAR_选入Time Axis Labels中（Time lines及Format不做选择，即设为默认值；读者也可以根据自己的偏好进行选择），单击OK按钮，就可以得到图7.1中的时间序列图，这里我们将GDP及GDP_1同时列在一个图中，以便比较。
从图7.1中可以看出，GDP随着时间的增加呈现明显上升趋势，因此不具有平稳性特征。但经过一次差分后，曲线变得更为平滑，平稳性比原来的曲线更好。
Analyze
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图7.1 例7.1中GDP及GDP_1的时序图
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SPSS中还提供了计算自相关函数的功能。在上述数据文件中，选择
Analyze
Time series
Autocorrelations命令，将对话框中左边的
GDP选入右边的Variable中，在Display选项中
选择Autocorrelations，单击OK按钮，即可得
到表7.1中计算结果（同时会给出自相关函数的
点图，这里不再列出，我们将在7.4节中详细讨论），从表7.1 的结果可以看出，自相关函数是滞后长度 的函数。随着lag长度的增加，序列的自相关性渐减弱，这是时间序列的一个重要特征。
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表7.1 例7.1中GDP序列的自相关函数
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7.2 时间序列的趋势分析法
7.2.1 指数平滑法
指数平滑方法的基本原理是：当利用过去数据的加权平均预测将来的数值时，对序列中较近的数据给予较大的权重，远期的数据给于较小的权重。
令 ，则 的预测值为：
即利用过去的观测值进行加权平均预测时间序列在 时刻的数值。
（7.3）
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由于 ，上式中求和号前面乘以
以保证系数求和为1。且权数 随着 的增加而递减，反映了较远的观测值对 时刻预测值的影响逐渐减小。
事实上，（7.3）另一个等价形式是
也即如果知道本期观测值和上一期的预测值就可以求出本期的预测值。
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【例7.2】（数据文件example7.0）对例7.0的数据利用上面介绍的指数平滑方法进行分析。
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解：该数据的第一列给出了1990年至2004年我国月度社会消费品零售总额数据（亿元），每一年又12个月数据。我们首先可以类似的定义时间变量。打开数据文件，执行Data Define
Data 命令，左边First Cases is显示的日期格式中选择“Years， months”，右边年的初始值设为1990；月的初始值选定为1，单击OK按钮，可以形成三个新的时间变量， YEAR_，MONTHS_，DATE_，并出现在数据文件的第2-4列中。
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其中最后一列为字符型变量，该变量综合了年和月的时间表示。利用时序图类似的操作方法Analyze
Time series
Sequence chart 命令
下面我们利用SPSS软件对该数据进行指数平滑分析。打开数据文件，执行Analyze
Time series Create Model命令，出现一个对话框。点中Variables框中RetailSales点入到右边的Dependent variables中；在Method中选择Exponential Smoothing；点击Criteria，出现一个新的对话框，在Model type中选择Seasonal
就可以给出7.0中的时序图。
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中的其中一种（因为该数据有季节趋势，因此选择seasonal；如果对没有季节效应的数据，应选择nonseasonal），这里我们选择 Winter’s Multiplicative，在Dependent variable transformation中选择none（因为这里我们没有自变量），然后点击Continue，回到原来的对话框。当选择完成后，单击OK按钮，即可得到计算和输出结果。
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图7.2 通过指数平滑后拟合值和
预测值的时间序列图
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图7.2给出了通过指数平滑后拟合值和预测值的时间序列图，可以看出，指数平滑方法可以很好的估计出我国月度社会消费品零售总额数据的变化趋势和周期波动。指数平滑过程中参数估计结果列在表7.2中.其他模型拟合结果可以在输出文件中得到，这里不再一一列出。
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表7.2 指数平滑的模型参数估计
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7.2.2 时间趋势的线性模型分析
研究时间序列随时间变动的趋势模型还可以
用前面介绍的线性模型方法进行研究。此时将时
间序列数据看成是因变量，时间 看成是自变量，
建立相应的线性模型，对其长期趋势进行研究，
最简单的模型是
参数
可以使用最小二乘估计的方式进行计算。
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在某些情况下，
与时间
直线，而是 的二次函数关系，则此时可以用如
的关系可能不是
下模型描述：
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Box-Jenkins模型是一种描述时间序列数据参数模型，它包括自回归（AR）模型、滑动平均（MA）模型、自回归滑动平均（ARMA）模型和可积自回归滑动平均（ARIMA）模型。其中AR、MA、ARMA模型在一定条件下用于拟合平稳时间序列，ARIMA用于处理非平稳时间序列数据。本节主要介绍这些模型的统计建模、参数估计和模型识别等内容。
7.3 Box-Jenkins 模型
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7.3.1 ARMA模型
自回归滑动平均（ARMA）模型是一种建立在平稳时间序列基础之上的参数模型，它由自回归模型（AR）和滑动平均模型（MA）构成 。我们下面对这些模型做一简要介绍。
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具有如下结构的模型称为 阶自回归模型，简记为
1、自回归模型（AR）
(7.6)
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其中的序列 在时间序列中，通常称为白噪声过程。
白噪声过程的本质：目前时刻与过去时刻的值不相关，过去时刻对未来也没有任何有用的价值。“白”是因为它的谱与白光有相同的特点，它的谱密度在所有的频率上都是常数。
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假设
为后移（滞后）算子，即
，
，
，令
，
则（7.6）可以写为：
。
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假设
表示
的一个
阶多项式，则AR(p)模型平稳的充分必要条件是：
的根全部落在单位圆之外。
特别的，AR(1)的平稳域为：
； AR(2)的
平稳域为：
AR模型的平稳性
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AR(2)模型的平稳域
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具有如下结构的模型称为 阶自回归模型，简记为
2、滑动平均模型（MA）
类似的， (7.8)可以表示为：
(7.8)
其中 。由于
只有有限项，因此（7.8）是一个平稳过程。
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MA模型的可逆性
MA模型中的一个重要内容是研究它的可逆性。令 表示 的
阶多项式，则MA(q)模型满足可逆性的充分必要条件是： 的根全部落在单位圆之外。
当满足可逆条件时，（7.8）可以写为：
由于 ，此时时间序列 可以看成是一个 模型。
，
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3、自回归滑动平均模型（ARMA）
当模型既有自回归项，又有滑动平均项时，就得到一个混合模型，称为自回归滑动平均模型，简记为 ：
（7.9）
引进后移算子，模型又可以写为：
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平稳条件与可逆条件
ARMA(p,q)模型的平稳条件
的根都在单位圆外
即ARMA(p,q)模型的平稳性完全由其自 回归部分的平稳性决定
ARMA(p,q)模型的可逆条件
的根都在单位圆外
即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移动平滑部分的可逆性决定
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7.3.2 ARMA模型的参数估计及模型
待估参数:
个未知参数
常用估计方法:
＊
极大似然估计
最小二乘估计
＊
＊
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1、 条件最小二乘估计
条件最小二乘估计主要用于AR模型参数的
估计，是一种比较简单的估计方法。
原理：
使残差平方和达到最小的那组参数值即为最小二乘估计值
＊
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残差估计为：
的无偏估计为：
由于 具有正态分布，参数 的最小二乘估计等价于条件极大似然估计。
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度量模型拟合程度的一个统计量是 或
分别定义为：
，
其中 是基于样本数据的样本方差。 或
越大，表明模型拟合越好。在时间序列模型中，
也称为Stationary 。
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2、 条件极大似然估计
对 及 模型，模型参数估计使用比较广泛的是条件极大似然估计，我们以
为例，此时模型（7.9）可以写为
在给定
个初始值
，及
的初
始值
之后，参数
的似然函数为：
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通过极大化上述似然函数得到的参数估计就是条件极大似然估计。一般情况下，参数的估计需要迭代计算。
对应于模型拟合度量的统计量主要有AIC及BIC统计量，分别定义为
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其中， 是-2乘以最大似然函数的对数值， 代表模型中参数的个数， 是有效观察个数（即样本量）。AIC或BIC越小，说明模型拟合越好。
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7.3.3 ARMA模型的模型识别
识别模型阶数的两个重要统计量是自相关函数(autocorrelation function，简记为ACF)和偏自相关函数(partial Autocorrelation function，简记为PACF)。
称为样本ACF。
当我们得到时间序列数据 之后，可以给出ACF的样本形式
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偏相关函数是指在给定
的条件下，
与
之间的相关系数，记为 。对AR（p）
过程，偏相关函数有一个递推公式：
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ARMA模型相关性特征
模型 自相关系数 偏自相关系数
AR(P) 拖尾 P阶截尾
MA(q) q阶截尾 拖尾
ARMA(p,q) 拖尾 拖尾
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在模型识别过程中，ACF及PACF能提供ARMA模型阶数的重要信息，但在建模过程中，我们还应该结合模型拟合统计量，如 、AIC及BIC，进行综合分析。其中一种选择模型阶数的方法是计算对应各种不同阶数的AIC或BIC统计量，其中对应AIC或BIC数值较小的模型即可选为较好的模型。
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【例7.3】（数据文件example7.3）该数据是由一个AR(1)模型模拟得到的数据，其中模拟参数 ；该数据的时序图如图7.3所示。使用前面介绍的方法进行模型识别和参数估计。
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图7.3 AR(1)模拟数据的时序图，
其中
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解：从图7.3来看，序列似乎是没有什么规律，但它是一个AR序列。我们首先计算其ACF和PACF。打开数据文件，执行Analyze
Time series Autocorrelation命令，出现一个
对话框。将变量 点入到Variables中，选中
Display中的Autocorrelation及Partial Autocorrelations；点击Option选项，出现一个新的对话框，出现对maximum number lag（默认值为16）和Standard error methods（默认值为independent model）的选项，可以使用原来
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解：从图7.3来看，序列似乎是没有什么规律，但
它是一个AR序列。我们首先计算其ACF和PACF。
打开数据文件，执行Analyze
Time series
Autocorrelation命令，
点入到Variables中，选中Display中的Autocorrelation
及Partial Autocorrelations；点击Option选项，出现一个新的对话框，出现对maximum number lag（默认值为16）和 Standard error methods（默认值为independent model）的选项，可以使用原来
出现一个对话框。将变量
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的默认值，或做其他选择，点击Continue，回
到前一个对话框；在Transform中不做选择，最
后点击OK，即可得到输出结果。 图7.4列出了由
此得到的ACF及PACF的点图，其中两条线是置信水平为0.05的上、下置信线，超出两条线之外的数值可以认为是显著的；从图中可以看出ACF有明显的指数衰减特征，而PACF在一阶之后出现截尾，因此我们可以得出结论：该数据服从一个AR(1)模型。
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例7.3 模拟数据
的（a） ACF 图，
（b）PACF图
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在确定出模型阶数之后，我们就可以对模型进行参数估计。打开数据文件，执行Analyze
Time series Create models命令，出现一个
对话框。将变量 Dependent Variables中，在
Method选项中选择ARIMA，点击Criteria，出现一个新的对话框；在Model选择中，ARIMA orders 的Structure中，在Autoregressive（p）的nonseasonal 项上输入1 （因为该数据为无季节趋势的AR（1）模型）,在Dependent variables transformation中不做选择，在includes in model中也不做选择。
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在Outliers选线中不做选择（如果你需要了解数据中是否存在异常值，可对该项做选择，结果会输出识别出的异常值），然后点击Continue，回到原来的对话框。在该对话框中，其他5个选项的处理根据需要做相应选择。当选择完成后，单击OK按钮，即可得到计算和输出结果。
表7.4 模拟数据AR(1)模型拟合优度统计量
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表7.3给出了输出的参数估计表，可以看出AR(1)模型系数估计 ，很接近模拟参数0.7，且该系数是显著的。表7.3给出了输出的模型拟合优度统计量，其中Stationary 及 为0.455，SPSS仅给出BIC的输出，该统计量可以比较不同模型的拟合程度。Ljun-Box Q统计量主要用于检验模型拟合残差是否存在序列相关，表中的Q统计量不显著，表明残差不存在序列相关，因此模型可以通过检验。
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表7.4 模拟数据AR(1)模型拟合优度统计量
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7.3.4 ARIMA模型
使用场合
差分平稳序列拟合
＊
模型结构
＊
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ARIMA 模型族
d=0
ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)
P=0, d=0
ARIMA(P,d,q)=MA(q)
q=0, d=0
ARIMA(P,d,q)=AR(p)
d=1,P=q=0
ARIMA(P,d,q)=random walk model
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【例7.4】（数据文件example7.1）我们使用example7.1中1978年至2005年国内生产总值（GDP，亿元）数据，2006-2008年用于做预测。使用ARIMA模型进行分析，并给出2006-2008年的预测值。
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解：例7.1中时序图表明该序列不具有平稳性，通过差分后平稳性得到了较大提高。图7.5给出了该数据的0（即原始数据），1，2阶差分后的ACF图，图7.6给出了0（即原始数据），1，2阶差分后的PACF图；表7.5给出了未差分数据，一阶差分和二阶差分数据拟合部分ARIMA模型的拟合优度统计量。如果用未差分数据拟合一个AR（1）模型，从其ACF和PACF的结构来看，似乎符合一个AR（1）模型，但其Ljun-Box Q统计量非常显著，表明其残差存在明显的序列相关，模型不能通过检验。
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如果考虑MA(1)和ARMA(1，1)，模型也不能通过检验，并且他们的BIC统计量的数值也偏大。如考虑一阶差分后的数据，其PACF在一阶截尾，因此我们选用ARIMA（1，1，0）、ARIMA(1，1，1)和ARIMA(0，1，2)进行拟合，此时BIC统计量比未差分数据下的结果明显减小，但ARIMA(0，1，2)未通过Ljun-Box Q检验ARIMA(0，1，1)类似。因此ARIMA(1，1，0)、ARIMA(1，1，1)是可以接受的模型，但综合来看ARIMA(1，1，1)更合适一些。
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当考虑二阶差分后，模型拟合效果并不好，如ARIMA（1，2，0）的Stationary 的数值非常小。因此我们建议使用ARIMA（1，1，1）模型。
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图7.5 GDP数据0，1，2阶差分后的ACF 图
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图7.6 GDP数据0，1，2阶差分后的PACF 图
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表7.5 ARIMA（p，d，q）的拟合及检验统计量
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使用ARIMA(1，1，1)拟合数据的参数估计（常数项不显著，因此去掉常数项参数）如表7.6所示，可以看出其回归参数均显著（当拟合ARIMA(1，1，2)模型时，滑动平均项系数不显著）。模型拟合后残差的ACF和PACF图具有较好的平稳性特征（如图7.7所示），近一步说明ARIMA(1，1，1)是一个合适的模型。
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表7.6 ARIMA（1，1，1）模型的参数估计
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图7.7 拟合ARIMA(1，1，1)模型
残差的ACF和PACF图
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当得到一个拟合模型之后，我们希望能用该模型对将来每段时间的GDP进行预测，这里以2006-2008年的预测为例，说明如何使用SPSS软件进行操作：打开数据文件example7.1_1(此数据不包含example7.1中2006-2008年的数据)，执行Analyze Create models命令，
出现一个对话框。将变量 点入到Dependent Variables中，在Method选项中选择ARIMA，点击Criteria，出现一个新的对话框；
Time series
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在Model选择中，ARIMA orders 的Structure中，在Autoregressive（p）的nonseasonal 项上输入1， 在difference（d）中输入1，在Moving average（q）中输入1,在Dependent variables transformation中不做选择，在includes constant in model中也不做选择（当选择此项时，常数项参数估计不显著），在Outliers选项中不做选择（如对该项做选择，结果会输出识别
出的异常值，同时给出具有异常值的ARIMA模型的参数估计），然后点击Continue，回到
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原来的对话框。在该对话框中，其他5个选项的
处理根据需要做相应选择。在Option选项，点击“First case after end of estimation period through a specified data”，并在Date框中输入2008，表示给出2006--2008年的预测值。当选择完成后，单击OK按钮，即可得到计算和输出结果。其中包含预测值输出的结果如表7.8所示，它给出了2006-2008年GDP的预测值和上下置信限；图7.8给出了观测值、拟合值及2006-2008年的预测值。
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表7.8 ARIMA（1，1，1）模型在
2006-2008年的预测值
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图7.8 原始数据时序图、模型拟合值和预测值的点图
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7.4 时间序列的季节分解
时间序列的季节分解方法就是剔除数据中的周期性波动，比如季节性的突高突低，发现修正后的长期趋势。
时间序列的季节分解主要有两种方法：乘法模型(multiplicative)和加法模型(additive)。乘法模型表示时间序列变量可以分解成季节分量、趋势分量（即季节修正后的序列变量）和随机波动的乘积。加法模型则意味着时间序列变量可以表示为这些分量的相加。下面我们通过例子加以说明。
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【例7.5】（数据文件example7.0） 1990年至2004年我国月度社会消费品零售总额数据（亿元）。利用季节分解法对数据的季节因素和趋势因素进行分解。
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解：打开数据文件，执行Analyze
Time series
Seasonal decomposition 命令，出现一个对话框，将RetailSales点入到Variables中，在Method type中选择Multiplicative（当然也可选择additives），Moving average weight选项中选择Endpoints weighted by 0.5（该选项设定移动平均的权重，它有两个选择，其中All pints equal 表示计算周期跨度相等和所有点相等的移动平均，常用于周期是奇数的情形；
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Endpoints weighted by 0.5用相同跨度（周期+1）和端点权重乘以0.5计算移动平均，该选项只有当周期为偶数时才有效）。点击Display casewise listing选项，可以列出算结果数值。点击save选项，在Create Variables中选中Added variables，表示将误差分量、季节修正序列、
季节因子、趋势因子存入数据文件中。单击OK按钮，即可得到计算和输出结果。此时在数据文件的最后四列中出现4个新存储的变量。利用SPSS软件中的命令：将这四个变量Analyze
Time series Sequence chart命令，即可得到
图7.9的结果。
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图7.9 误差分量、季节修正序列、季节因子、
趋势因子的时序图
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从图7.9中可以看出，我国月度社会消费品零售总额在进行周期调整后周期波动已近很小；从季节因子来看，我国月度社会消费品零售总额呈现出相当有规律的周期变化：每年的10月到次年的2月社会消费品零售总额指数均大于1，其余月份的指数均小于1，这与实际情况是比较相符的；趋势因子来看，我国社会消费品零售总额的趋势比较明显，呈现出不断增长的特点。
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1、本章主要介绍时间序列模型的基本理论和分析方法，其中包括时间序列的基本概念、时间序列的趋势分析法、时间序列的Box-Jenkins模型和时间序列的季节分解法。重点介绍时间序列ARIMA模型的统计建模、模型识别和参数估计和预测，特别要求掌握如何通过时间序列自相关函数，偏自相关函数以及模型拟合统计量进行统计建模。对每一个内容，通过实例结合SPSS软件的使用，使读者能够在了解基本理论的基础上，能够进行实际操作和进行统计分析。
本章小结
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2、本章的基本概念有时间序列的平稳性，时间序列的差分，时间序列自相关函数，偏自相关函数，ARIMA模型，模型识别，季节分解。
3、在AR、MA的模型识别中，ACF和PACF是两个重要的阶数确定方法，但同时也要综合考虑模型拟合统计量的信息，如AIC或BIC，Ljung-Box Q统计量，以及模型参数的显著程度；特别是对ARIMA模型，这些信息的使用尤为重要。
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案例：我国上证指数月度时间序列（1991，1月-2009，12月）
（数据文件case-study 7）本例收集了我国上证
指数月度时间序列 （1991，1-2009，12年），由于一般来讲，股价指数序列不是一个平稳序列，因此我们做变化率变换
的时序图如图7.15所示。
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图7.15 我国上证指数月度时间序列（1991，1月-
2009，12月）时序图
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1-*
讨论
是不是一个平稳时间序列 数据中有没有异 常值出现。
试用ARIMA模型对数据进行模型分析。
用（2）中获得的模型对2010年1-6月的 进行预测。

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