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第五章 概率与概率分布
学习目标
　　知识目标：
　　理解随机事件与概率的意义，掌握事件的关系与运算，能应用概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式等计算随机事件的概率；理解随机变量及其分布的意义，掌握二项分布、泊松分布、正态分布等主要的随机变量分布的性质与应用。
　　能力目标：
　　要熟练地学会查概率分布表，熟记正态分布的几个常用概率；能够应用随机变量和概率理论解决简单的实际问题。
第五章 概率与概率分布
第一节　随机事件与样本空间
第二节　事件的概率与古典概型
第三节　条件概率与事件的独立性
第四节　随机变量及其分布
第五节　EXCEL在概率分布中的应用
第五章 概率与概率分布
第一节　随机事件与样本空间
　　　　一、样本空间
　　　　二、随机事件
　　　　三、事件的关系与运算
第五章 概率与概率分布
　　一、样本空间
　　随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件。一个试验中所有基本事件的全体称为样本空间，通常用字母 表示。 中的点，即基本事件，有时也称为样本点，常用小写字母ω表示。
　　那么，什么是随机试验呢？我们认为，一个试验如果具有下述特点或者说满足以下条件，就称为随机试验：
　　（1）试验可以在相同的情形下重复进行；
　　（2）试验可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果是明确可知道的；
　　（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果。
　　
第五章 概率与概率分布
　　例5.1掷一枚骰子，其点数为1,2,…,6,观察出现的点数。令i={出现的点数},则Ω={1,2,…,6}。
　　例5.2 观察流水生产线上的产品是合格品还是不合格品，令ω1={合格品}， ω2={不合格品},则Ω={ω1,ω2}。
例5.3计算某电话站总机在单位时间内收到的呼叫次数，令κ＝{κ次呼叫}（κ＝1，2，…)则Ω ={ωk:0,1,2,…}。
　　例 5.4 测量某地的气温，我们自然把样本空间取为Ω =(-∞，+∞)或Ω =(a，b)。
第五章 概率与概率分布
　　二、 随机事件
有了样本空间的概念，就可以定义随机事件了。在随机试验中，人们关心的是带有某些特征的事件是否发生。如在例5.1中，我们可以讨论：
　　　　　　　A={出现的点数=5}
　　　　　　　B={出现的点数是1、3、5}
　　　　　　　C={出现的点数是3、4、5、6}
　　　　　　　D={出现的点数＜1}
　　　　　　　E={出现的点数是2、4、6}
等等，这些结果是否发生？其中A是一个基本事件，而B、C、E则是由多个基本事件所组成，相对于基本事件，就称它们是复合事件。无论是基本事件还是复合事件，它们在试验中发生与否，都带有随机性，所以都称为随机事件，简称为事件。一般常用大写字母A,B,C 等表示事件。
　　简而言之，随机事件就是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。或者说在一定条件下并不总是出现相同结果的事件。
第五章 概率与概率分布
　　我们已经知道样本空间包含了所有基本事件，而随机事件不过是有某些特征的基本事件所组成，所以从集合论的观点来说，一个随机事件不过是样本空间的一个子集而已。在试验中，如果出现A中所包含的某一基本事件ω，则称作A发生。并记为ω∈A 。
　　我们把样本空间Ω也作为一个事件，因为在每次试验中，必然要出现Ω中的某一基本事件ω，即ω∈Ω，也就是在试验中， Ω必然发生，所以常称Ω为必然事件。
　　类似地，在每次试验中必然不发生的事件就称为不可能事件，用符号Φ 表示。上面的D就是不可能事件。必然事件和不可能事件的发生与否，已经失去了“不确定性”，因而本质上它们不是随机事件。但为了今后研究的方便，我们还是把必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形来统一处理。
　　在例5.1的讨论中，随机事件A、B、C、D、E都是Ω的子集，可以简单地表示为A={5},B={1,3,5},C={3,4,5,6}，E={2,4,6}而D=Φ，是不可能事件。
第五章 概率与概率分布
　　三、事件的关系与运算
1．包含关系。如果事件A发生必然导致事件B发生，或者事件A的每一个样本点都包含在事件B中，则称事件B包含事件A，或称事件A含于事件B，记作或A B或B A。
　　
　　若A B且B A ，则称A与B相等，记为A=B。
　　如例5.1的讨论中，Ａ Ｂ ，又如对任一事件Ａ，有φ A Ω。
A
B

B A
第五章 概率与概率分布
　　2．事件的并。事件A和事件Ｂ中至少有一个发生的事件称为事件Ａ与事件Ｂ的并，也称为事件Ａ与事件Ｂ的和，记为A∪B，或Ａ＋Ｂ。如 例 5.1 中， B∪C＝｛1,3,4,5,6｝。
　　类似地，n个事件，A1、A2 、…An的和记为 ，表示n个事件A1、A2 、…An 中至少有一个发生的事件。由事件和的定义，对于任一事件Ａ，有A∪Ω＝ Ω。
B
A

A∪B
第五章 概率与概率分布
　　3．事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事件B的交。也称为事件与事件的积，记为B∩A 或AB 。如在例5.1中， B∩Ｃ={3,5}。
　　
类似地，n个事件A1、A2 、…An的交记为 ，表示n个事件A1、A2 、…An同时发生的事件。由事件积的定义，对于任一事件A，有A∩Ω=A, A∩φ= φ 。
A
B

A∩B
第五章 概率与概率分布
4．互斥事件。如果两个事件A与B不可能同时发生,则称事件Ａ与事件B为互斥事件。否则称这两个事件是相容的。显然,事件A与事件B互斥的充分必要条件是A∩E = φ。如例5.1的讨论中，A∩E = φ, B∩E= φ 。A与E互斥，B与E互斥。
如果A1、A2 、…An中的任意两个事件是互斥的，则称A1、A2 、…An互斥。
A
B

A 与 B互不相容
第五章 概率与概率分布
　　　5．对立事件。对于事件A、B，若　A∩B=φ　且A∪B=Ω，则称事件B为事件A的对立事件，或称事件B为事件A的为逆事件。对立事件是相互的，一般A的逆事件记为 。
A

A
第五章 概率与概率分布
　　6．事件的差。事件A发生，但事件B不发生的事件，称为事件A与事件B的差，记为。A－B，显然对于任一事件A，
＝Ω－A。
　　

A - B
A
B
第五章 概率与概率分布
可以验证一般事件的运算满足如下关系：
　　(1)交换律：
A∪B＝ B∪A, A∩B = B∩A ；
　　(2)结合律：
　A(Ｂ∪Ｃ)＝(A∪B)∪C；A∩(B∩C)＝ (A∩B )∩C。
　　(3) 分配律：
A∩(Ｂ∪Ｃ)＝(A∩B )∪(A∩C)；
A∪(Ｂ∩Ｃ)＝(A∪B )∩(A∪C)。
　　分配律可以推广到有限或可列无穷的情形，即：
　　　　　　　　　，　　　　　　；
　　（4）对于有限个或可列无穷个，恒有：
　　　　　，　　。　　　　　　　　
第五章 概率与概率分布
第二节　事件的概率与古典概型
　　　一、概率的统计定义
　　　二、概率的性质
　　　三、古典概型试验与古典概率的计算
第五章 概率与概率分布
　　一、概率的统计定义　　
　　在相同条件下随机试验n次，在这n次试验中，事件A发生了nA次，则nA称为事件A发生的频数。比值Fn(A)= nA/n称为事件发生的频率。显然，频率在一定程度上反映了事件A发生可能性的大小。一般来说，当随着试验次数n增大时，事件A发生的频率总是稳定在某一常数p的附近,也就是说，随着试验次数n的增大，频率Fn(A)= nA/n将围绕常数p上下波动，并且其波动的幅度随n的增大而减小，趋向于稳定。这个频率的稳定值p，人们称为事件A的概率，记为p(A)=p。
　　为了验证频率的稳定性，历史上，曾有不少人做过“掷硬币”的试验，其中有德摩根、蒲丰、卡皮尔逊等人，下表是他们的试验结果。
第五章 概率与概率分布
频率稳定性实验表
　　　
　　　从上表的数据不难看出，随着试验次数n的不断增大，频率nA/n围绕常数p=0.5这个值上下波动，且趋向于稳定。　
实验者 n nA nA/n
德摩根 2048 1061 0.5181
蒲丰 4040 2048 0.5069
卡皮尔逊 12000 6019 0.5016
卡皮尔逊 24000 12012 0.5005
第五章 概率与概率分布
　　【补充例子5.1】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天的用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。
　　解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次试验，试验A表示用电超过指标出现了12次。根据概率的统计定义有：
第五章 概率与概率分布
二、概率的性质
相比之下，频率相对浅显一些，概率则要深邃许多。但不难理解频率是概率的一个近似，频率的本质就是概率。显然，频率具有下述基本性质：
　　1. 非负性：即Fn(A)= nA/n ≥０；
　　2. 规范性：即若Ω是必然事件，则Fn(Ω )=1，因此对任意事件A， 0≤Fn(A )≤1。
　　3. 有限可加性：即若A、B事件互斥（AB=φ），则
Fn(A+B )= Fn(A )+ Fn(B)
频率的这三条基本性质和其他性质，是概率所应该具有的。设随机试验的样本空间为Ω，随机事件为A，则有：
1.非负性：对任意事件A，p(A)≥０ ；
2.规范性：p(Ω )=1，因此对任意事件A， 0≤p(A )≤1；
3.完全可加性：若可列无穷个事件A1，A2，…，互斥，则有
第五章 概率与概率分布
　　特别地，若事件A、B互斥，则
P(A+B)＝ P(A)+ P(B)
　　称为概率的加法公式。
　　4. P(φ)=0 ；
5.设事件A、B,若A B,则有P(B-A)＝P(B)-P(A),且P(B)≥ P(A)；
6.设事件A，则有p( )=1-p(A)，称为对立事件的概率公式；
7.设任意事件A、B，则有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)，称为广义的加法公式。
例5.5 设事件A与B的概率分别为1/3和2/3，已知（1）A与B互斥；（2）A B ；（3） P(AB)=1/6,求： 。
解：（1）因为A与B互斥， B ，因此B =B，所以
p(B )=p(B)=2/3
（2）因为A B， B=(Ω-A)B=B-AB=B-A，所以：
P( B)= P(B-AB)= P(B)- P(A)=2/3—1/3=1/3
（3）因为 B=B-AB，AB B所以：。
P( B) =p(B-AB)=p(B)-p(AB)=2/3-1/6=1/2
第五章 概率与概率分布
例5.6　某企业职工中有35﹪的人购买了国库券，有20﹪的人购买了股票，有25﹪的人既买了国库券又买了股票，求职工中任意抽取的一人至少买国库券和股票中的一种的概率是多少？他既没有买国库券又没有买股票的概率是多少？
解：设A表示“购买国库券”的事件，B表示“购买股票”的事件。那么AB就表示“即买了国库券又买了股票”的事件， 就是“即没有买国库券又没有买股票”的事件。已知p(A)=35﹪,p(B)=20﹪，p(AB)=25﹪
由广义加法公式，得到：
P(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB)=35﹪+20﹪-25﹪=30﹪
1-p(A+B)=1-30%=70%
第五章 概率与概率分布
　三、古典概型试验与古典概率的计算
　　有一类最简单的随机试验，它具有下述特征：
　　（1）样本空间只含有有限个样本点,不妨设为ω１ ,ω2,,…, ωn ；
　　（2）每个样本点发生的可能性是相等的，即p(ω１)= p(ω2)= … p(ωn)。
通常称这种数学模型为古典概型。它在概率论中有很重要的地位。一方面,因为它比较简单,许多概念既直观又容易理解,另一方面,它又概括了许多实际问题,有很广泛的应用。
例5.7某夫妇生了一对双胞胎，观察双胞胎老大和老二的性别。这属于古典概型试验,样本空间包含4个样本点,即：
{(男、男),(女、女),(男、女),(女、男)}。
并且这四类双胞胎的每一类出生的机会都是一样的，也就是1/4的概率。对于古典概型，设样本空间基本事件总数为n，事件A包含的基本事件数为nA （称为有利事件数），那么事件A的概率p(A)= nA/n称为古典概率。
第五章 概率与概率分布
例5.8　按照国家对少数民族的生育政策，某家庭可以生两胎。假设他们每胎只生一个孩子，试求下列事件的概率：（1）两胎全是女孩的概率；（2）两胎中至少有一胎是女孩的概率。
解：样本空间Ω={(男、男),(男、女),(女、女),（女、男）}
（1）令事件A={两胎全是女孩}，显然n=4，nA=1，故p(A)nA/n=1/4。
（2）令事件B={两胎中至少有一胎是女孩}，易知n=4，nb =3，所以
P(B)=3/4。
我们还可以这样去解：由（2）知,令 {两胎中全是男孩}，
那么 ，由对立事件的概率公式，得:
　　上面两例是古典概型的简单例子，但并不是所有古典概率的计算都这么容易。事实上，古典概型中许多概率的计算相当困难而富有技巧，求解古典概型问题的关键是在寻求基本事件总数和有利事件数。在古典概率的计算中，经常用到排列组合的知识以及加法原理与乘法原理。
第五章 概率与概率分布
　　例5.9　100只同外型、同型号的电子元件，有40只属于甲类，60只属于乙类。按有放回和无放回两种方法抽样，求下列事件的概率：
　　A={从100只中任意抽取3只，3只都是乙类}；
　　B={从100只中任意抽取3只，其中有2只属于甲类，1只属于乙类}。
　　解：（1）有放回抽样：从100只中任取3只的所有可能取法有1003种，即基本事件总数n= 1003 ；由于乙类元件有60只，因此抽取3只都是乙类的所有可能的取法为603 ，即事件A包含的基本事件数nA= 603 ，按古典概率公式，得：
P(A)= nA /n= 603 / 1003 =0.216
　　事件B包含的基本事件数nB= C32×402×60，所以：
P(B)= C32×402×60 / 1003=0.288
　　（2）无放回抽样：这是一个选排列问题，基本事件总数为n=100×99×98，
　　事件A包含的基本事件数nA=60×59×58，故得：
P(A)= nA /n =60×59×58/100×99×98≈0.212。
　　事件B包含的基本事件数nB= C32×40×39×60，所以：
P(A)= nB /n = C32×40×39×60 /100×99×98≈0.288
第五章 概率与概率分布
【补充例子5.2】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。从该公司中随机抽取1人，问：
　　（1）该职工为男性的概率
　　（2）该职工为炼钢厂职工的概率
某钢铁公司所属企业职工人数
工厂 男职工 女职工 合计
炼钢厂
炼铁厂
轧钢厂 4000
3200
900 1800
1600
600 6200
4800
1500
合计 8500 4000 12500
第五章 概率与概率分布
　　解：(1)用A 表示“抽中的职工为男性”这一事件；A为全公司男职工的集合；基本空间为全公司职工的集合。则
　　(2)用B 表示“抽中的职工为炼钢厂职工”；B为炼钢厂全体职工的集合；基本空间为全体职工的集合。则
第五章 概率与概率分布
第三节 条件概率与事件的独立性
一、条件概率的定义与性质
二、全概率公式与贝叶斯公式
三、事件的独立性及性质
第五章 概率与概率分布
　　一、条件概率的定义与性质
　　在实际问题中，一般除了要考虑事件A的概率p(A)外，还须考虑在“事件B已发生”这一条件下，事件A发生的概率。一般地说，后者的概率与前者的概率未必相同。为了区别起见，我们把后者称为条件概率记为p(A/B)，读作在条件B下，事件A的概率。我们先看下面的例子：
　　例5.10 某中学高一（三）班有学生50人，其中有少数民族学生20人，全班分为五个小组，第一小组有10人，其中有少数民族学生5人。试求：（1）如果在班上任选一人当学生代表，那么这个代表恰好在第一小组内的概率？（2）现在要在班上任选一个少数民族学生当代表，那么这个代表恰好在第一小组内的概率？
解：令Ａ＝{在班内任选一个学生，该学生属于第一小组}
Ｂ＝{在班内任选一个学生，该学生是少数民族的}
（1）显然有p(A)=10/50=1/5
第五章 概率与概率分布
　　（2）任选的一个学生必须是少数民族学生，这比（1）的问题多了一个“附加的”条件，这就是一个条件概率问题。不难得到
P(A/B)=5/20=1/4
而
P(A/B)=1/4=(5/50)/(20/50)=p(AB)/p(B)
　　显然，这只是一个特殊的例子，但是容易验证对一般的古典概型，只要p(B)＞0，上述等式总是成立的。从这个例子得到启发，下面引入一般的定义。
　　在事件B已经发生的条件下，如果p(B)＞0，则事件A发生的概率称为事件A在给定事件B下的条件概率，简称为在条件B下，事件A的概率，记为
P(A/B)= p(AB)/p(B)
　　
第五章 概率与概率分布

事件 A B及其概率P (A B)
事件B及其概率P (B)
事件A
事件B
一旦事件B发生
第五章 概率与概率分布
由上述定义可知，对任意两个事件A、B,若p(B)＞0，则有
p(AB)＝p(B) P(A/B)
称为概率的乘法公式。
更一般地,若A1,A2,…,An为n个事件,且p(A1A2…An )＞0,则
p(A1A2…An )=p(A1)p(A2/A1)p(A3/A1A2)…p(An/A1A2…An-1)
可以验证条件概率P(A/B)具有概率的三条基本性质：
（1）非负性：对任意的A， P(A/B)≥0；
（2）规范性： P(Ω/B)=1；
（3）完全可加性：若可列无穷个事件A1,A2,…互斥，则有
　　
例5.11 张三、李四、王五三人只有一张观看全国足球甲级联赛的门票，他们抓阄决定谁拿到这张门票。张三第一个先抓，李四，王五依次抓，求他们每个人能拿到门票的概率？
第五章 概率与概率分布
　　解：令A={张三抓中}，B={李四抓中}，C={王五抓中}，则张三抓阄拿到门票的概率为p(A)=1/3。李四能抓到门票，必然是张三没有抓中与李四抓中同时发生，所以由概率的乘法公式，李四能拿到门票的概率是:
　　同理，王五能抓到门票，必然是张三和李四两人都没有抓中而王五抓中同时发生，则王五拿到门票的概率是
　　即他们三人每个人都有1/3的相同概率拿到那张门票。例子说明，谁先抓，谁后抓与每个人抓中的概率没有关系，这与人们的生活常识是相符的，要不然，在民间广泛流行的“抓阄”就失去了它的公正性。
第五章 概率与概率分布
　　二、全概率公式与贝叶斯公式
　　设Ｂ1,Ｂ2,…,Ｂn是一列互斥事件，且有　　　,p(Bi)＞0，则对任意事件A有：
这个公式称为全概率公式，它是概率论中最重要的基本公式之一。
　　例5.12 某工厂有四条流水线生产同一种产品，这四条生产流水线的产量分别占总产量的15﹪、20﹪、30﹪和35﹪，又这四条流水线的次品率依次为5﹪、4﹪、3﹪及2﹪。现从这四条流水线生产的产品中任取一件，求恰好抽到次品的概率为多少？
第五章 概率与概率分布
　　解：令A={任取一件,恰好抽到次品};B={任取一件,恰好抽到第条流水线生产的产品} （ i=1，2，3，4）。
　　已知分别为5﹪、4﹪、3﹪和2﹪。于是由全概率公式得：
　　　　　　　　　　　　　　　　　
=3.15%﹪
　
运用全概率公式求解的关键是要确定某完备事件组。若事件组Ｂ1,Ｂ2,…,Ｂn满足：（1）Ｂ1,Ｂ2,…,Ｂn两两互斥；（2）Ｂ1+Ｂ2+…+Ｂn=Ω 。且p(Bi) ＞0 ,i= 1，2，…，n，则称事件组Ｂ1,Ｂ2,…,Ｂn为完备事件组。对于任意事件A有：
第五章 概率与概率分布
　　例5.13 在上例中，该厂根据产品质量管理的规定，出了次品，要查出次品大概是在哪条生产流水线上生产的。现从出厂产品中任抽一件，结果发现是一件次品，问这件次品由每条流水线生产的概率。
　　解：我们求的是概率p(Bi/A)（i=1 ，2，3，4 ），由条件概率和概率的乘法公式，得到：
（i= 1，2，…，n ）
这称为贝叶斯公式或逆概率公式。
第五章 概率与概率分布
由这个公式可得到
　　
　　同理可得：　　p(B2/A)=0.254, 　p(B3/A)=0.286 p(B4/A)=0.222。即该次品是由第三条流水线生产的可能性最大。
　　按照概率论的说法，“抽检一次产品”就是进行一次实验，那么p(Bi)是在实验之前就已经知道的概率，一般习惯上称它们为先验（先于实验）概率。实验结果，事件A发生，这时条件概率p(Bi/A)反映了在实验以后对事件发生的“来源”的各种可能性的大小，通常称作后验概率。贝叶斯公式利用了“经验”的知识（先验概率），在医学、通讯等许多领域有非常广泛的应用，因此这类方法有着重要的意义，受到人们普遍的重视，并称之为贝叶斯方法。
第五章 概率与概率分布
　　三、事件的独立性及性质
　　对任意的两个事件A、B，若p(AB)=p(A)p(B)成立，则称事件A、B是相互独立的，简称为独立。
　　一般地，对于n个事件A1,A2,…An,若对所有可能的组合1≤i＜j＜k＜…≤n有：
P(AiAj)= P(Ai)P(Aj)
P(AiAjAk)= P(Ai)P(Aj) P(Ak)
P(A1A2…An)= P(A1)P(A2)…P(An)
则称事件A1A2…An相互独立。
　　由此可知，若A1A2…An相互独立，则其中任意两个事件独立，但反之却不一定成立。
　　关于事件的独立性，有以下性质：
　　1.若事件B独立于A，且p(A)＞0，p(B)＞0，则事件A亦独立于B；
　　2.若p(A)p(B)＞0，则事件A与B相互独立的充分必要条件为:
p(AB)=p(A) ·p(B)；
第五章 概率与概率分布
3.若事件A与B相互独立，则下列三对事件： 分别也相互独立；
4.若事件A1A2…An相互独立，则：
。
例5.14 设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9 和0.75求在一次射击中，目标被击中的概率。
解：令A={甲击中目标}，B={乙击中目标}。因而，事件A+B表示甲、乙两人击中目标，但事件A,B是相容的。已知 p(A)=0.9,p(B)=0.75，因此有：
P(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB)= p(A)+p(B)-p(A)p(B)
=0.9+0.75-0.9×0.75=0.975
根据事件的独立性，下面再给出第二种解法：
=1-[1-p(A)][1-p(B)]=1-0.1×0.25=0.975
第五章 概率与概率分布
第四节 随机变量及其分布
一、随机变量的直观意义与定义
二、离散型随机变量与分布
三、离散型随机变量的数字特征
四、连续型随机变量与概率分布的描述
五、连续型随机变量的数字特征
六、常用的连续型随机型变量与分布
七、中心极限定理
第五章 概率与概率分布
　　一、随机变量的直观意义与定义
为了描述、处理与解决各种和随机现象有关的理论和应用问题，需要把样本空间的点ω与数（实数或复数）联系起来，建立起样本空间Ω与实数（或复数）空间或其一部分的对应关系。这样一个对应关系称为定义在概率空间Ω上的随机变量，记为X(ω)。它随着随机试验的每一个可能结果，取这样或那样的值，事先不能预言它一定取什么值。
　　设Ω是一个概率空间，对于ω∈Ω ，是一个取实值的单值函数，若对于任一实数χ，｛ω| X(ω) ＜ χ｝是一随机事件，则称X(ω)为定义在Ω上的随机变量。
例5.15 设Ω={某电视机厂某年第一季度出产的29寸平面彩电}，对ω∈Ω，令
X(ω)=在一年中出现故障的次数
例5.16 设Ω={ω1,ω2}, ω1={男孩}，ω2={女孩}，令
1, ω=ω1
X(ω)=
0, ω=ω2
第五章 概率与概率分布
　　二、离散型随机变量与分布
　　如果随机变量只取有限个或可列个值χ1 ,χ2 ,…χn,…,而且以确定的概率取这些值，即P(X=χi)= Pi，( i=1,2,…，n…)，则称X为离散型随机变量，称
P(X=χi)= Pi，i=1,2,…
为离散型随机变量的概率函数或分布律，或简称为分布。有时写成下列表格的形式：
χ1,χ2, …
P1 , P2，…
或
X χ1, χ2, …, χn …
p P1 , P2， …, Pn，…
第五章 概率与概率分布
由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布{pi}，都具有下述两个性质：
（1） pi ≥0，i=1,2,…；（2）　　 。
下面举出一些常用的离散随机变量的例子。
1.两点分布或称0—1分布。设随机变量X的分布列如下表：
则称服从两点分布。分布列也可以用概率函数的图来描绘，如图5.1所示
X 0 1
p 1－ p p
第五章 概率与概率分布
　　2．二项分布。设随机试验只有两个可能的结果：A及 ，并且p(A)=p,p( )=1-p=q（其中0＜p＜1)，把试验独立地重复n次的试验构成了一个试验，这个试验称为n重贝努里试验
令X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数，则X所有可能取值为0，1，2，…，n，而X取κ值的概率为
P(X=κ)＝Cnkpkqn-k， κ= 0，1，…，n，
称随机变量X服从参数为n,p的二项分布，记为X～B(κ：n,p)。
当n=1的时候，二项分布就退化为两点分布。
　　例5.17 某市保险公司有10000人投保某种人寿保险。若一年内，这类投保人里面每个人死亡的概率等于0.005。试求在未来一年里投保人（1）有30人死亡的概率；（2）死亡人数不超过50人的概率。
　　解：这是一个贝努里概型，投保者死亡的人数服从二项分布。n=10000，p=0.005,令κ={在未来一年中投保人里死亡的人数}，则
第五章 概率与概率分布
（1）
（2）
直接计算这些数值是非常困难的，下面给出二项分布的泊松逼近，可以利用其作二项分布的近似计算。在贝努里试验中，以pn代表事件A在试验中出现的概率，它与试验总次数n有关，如果npn → λ ，则当n → ∞时
B(κ：npn)＝→ λκe-λ/κ!
P(κ,λ)= λκe-λ/κ! , κ=0,1,2,…,称为泊松分布，λ为参数。
　 在运用中,当p很小（即0＜p≤0.1）时,有近似公式：
B(κ：n,p)≈λκe-λ/κ!
第五章 概率与概率分布
　　例5.18　假如生三胞胎的概率为10-4，求在100000次生育中，有0，1，2次生三胞胎的概率。
　　解：这可以视为贝努里试验，n=105 ,p=0.0001, λ=np=10。用泊松近似公式计算有：
B(κ：105 ,0.0001)≈p(κ,λ)
B(0：105 ,0.0001)≈p(0,10)=0.00004540
B(1：105 ,0.0001)≈p(1,10)=0.0004540
B(2：105 ,0.0001)≈p(2,10)=0.002270
这些计算有泊松分布数值表可供查阅。
第五章 概率与概率分布
实际表明，在一般情况下，当p＜0.1时，这种近似是很好的，甚至不必n很大都可以。例如，当p=0.01时，甚至n=2时，这种近似的程度就已经相当好了。下表说明了这一情况，其中np=λ=0.02。
κ B(κ：2,0.01) P(κ,λ)
0
1
2 0．9801
0．0198
0．0001 0．9802
0．0196
0．0002
第五章 概率与概率分布
　　3．泊松分布。设随机变量X的分布律是p(X=κ)= λκe-λ/κ! , κ=0，1，2，…，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X～p(κ,λ)。
　　在历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的。泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型，在社会生活和物理学领域日益显示其重要性。
　　例5.19 某计算中心有计算机100台，各台工作是相互独立的，它们发生故障的概率均为1﹪，。假设一台计算机故障可由一个维修员处理，问至少要配备多少维修员，才能保证计算机发生故障后不能及时维修的概率小于1﹪。
第五章 概率与概率分布
　　解：设需要配备z人，令X表示同一时刻发生故障的计算机台数，则X～B(100,0.01),要求解的是使p(X≤z) ≥0.99的最小的ｚ值。
由二项分布的泊松近似公式有
λ＝np=100×0.01=1
因此，应满足
即
查泊松分布表得到满足上式的最小的是4，即至少应配备4名维修员。
第五章 概率与概率分布
　　三、离散型随机变量的数字特征
　　随机变量的概率分布包含了随机变量概率性质的一切信息，但对于一般随机变量，要完全确定它的分布不是那么容易的。好在许多实际问题中，我们并不需要完全知道其分布，我们只需要知道随机变量的某些数字特征也就够了。这些数字特征中应用最广泛的是数学期望（或期望或均值）与方差。
　　（一）离散型随机变量的数学期望
　　设离散型随机变量X，其分布律为p(X=χi )=pi，i=1,2,…,则
称为离散型随机变量X的数学期望或均值，记为E(X)或EX或μ。
第五章 概率与概率分布
又设g(X)为X的一个函数，则随机变量g(X)的数学期望为：
当g(X)=a+bX时（其中a和b都是常数），我们有
E(a+bX)=a+bE(X)
当b=0时，我们有E(a)=a，即一个常数的数学期望就是它自身。
　　例5.20 设甲、乙两射手在同样的条件下射击，其命中的环数是随机变量。它们的分布律分别为：
X甲 10 9 8 7 6 5 0
p 0.5 0.2 0.1 0.1 0.05 0.05 0
X乙 10 9 8 7 6 5 0
p 0.1　0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2
第五章 概率与概率分布
　　试比较甲、乙射手射击技术水平的优劣。
　　解：
　　E(X甲)=10×0.5+9×0.2+8×0.1+7×0.1+6×
0.05+5×0.05+0×0=8.85（环）
E(X乙)=10×0.1+9×0.1+8×0.1+7×0.1+6×
0.2+5×0.2+0×0.2=5.6（环）
　　从平均命中环数来看，甲射手的射击水平要高于乙射手。
　　一个随机变量的数学期望是对该随机变量概率分布中心位置的度量，它反映了随机变量概率分布的集中趋势。下面给出常用的离散型分布的数学期望。
第五章 概率与概率分布
　　1.二项分布数学期望： P(X=κ)＝Cnkpkqn-k，κ= 0，1，…，n，其中q=1-p。
　　　　　　　　　 　　　　　　
当n=1时，即两点分布，其期望值就是p。
2.泊松分布的数学期望： Pκ=λκe-λ/κ! , κ=0,1,2,…,
由此看出，泊松分布的参数λ就是它的数学期望。
第五章 概率与概率分布
（二）离散型随机变量的方差
设离散型随机变量X，其分布律为其分布律为p(X=χi )=pi，i=1,2,…,数学期望为μ,则
称为随机变量X的方差，记为D(X)或DX或σ2 。X的标准差记为 或σ。
由方差的定义很容易得到：
若a,b为常数，则
D(a+bX)=b2D(X)
特别地，当时b=0，D(a)=0，即常数的方差等于0。
随机变量的方差是反映随机变量概率分布的离中趋势的。在产品质量检验中，常用方差来说明产品质量的稳定性和均衡性。
第五章 概率与概率分布
下面给出常用的离散分布的方差
1、二项分布方差：
又E(X)=np
因此D(X)=E(X2)-E(X)2=npq+n2p2-(np)2=npq
当n=1时，即两点分布，其方差为pq。
第五章 概率与概率分布
2、泊松分布方差：
又E(x)=λ ，因此
D(X)=E(X2)-E(X)2=λ2+λ- λ2=λ
第五章 概率与概率分布
四、连续型随机变量与概率分布的描述
对于取值非离散的随机变量，其概率分布不能用分布律来描述了，需要另外找一个合适的“工具”，这就是下面要介绍的随机变量的密度函数和分布函数。
1、分布密度函数 ：若存在非负函数p(X), ＜∞,使随机变量取值于任一区间的概率为
则称X为连续型随机变量。P(X)称为X的分布密度函数，有时简称为分布密度或密度函数。
同离散型随机变量的概率函数一样，对密度函数P(X),有：
（1） P(X) ≥0
（2）
第五章 概率与概率分布
　　对于离散型与连续型的随机变量，上面给出了它们概率分布的描述。但是除了这两种随机变量外，还有连续取值而非连续型的（即密度函数不存在）或混合型的。为了方便，有必要给出一种描述随机变量分布的统一的方法。一个常用且较为简单的方法就是下面的分布函数。
　　2、分布函数：设为X一随机变量,对任意χ∈R1,令
F(X)=p{X<χ}
称F(X)为X的分布函数。
从上述分布函数的意义可以看出，分布函数F在χ处的取值，就是随机变量的取值落在(-∞, χ)区间的概率。
由此，立即可以得到：当a＜b时，p{a≤X＜b}=F(b)-F(a)。
对于离散型随机变量，其分布函数为　　　　　　　。
其中求和是对所有满足不等式χκ＜χ的指标进行的，如图5.2所示。
第五章 概率与概率分布
第五章 概率与概率分布
对于连续型随机变量，其分布函数为
　　　　　　 　　　χ∈R1 　
则对任意的χ1,χ2(χ1＜χ2)，有
　　有了分布函数，无论是离散型的还是连续型的，或者混合型的，它们的概率分布都可由分布函数来确定，并且是唯一的。
3、分布函数的基本性质。
（1） F(X)为单调不降；
（2） F(X)为右连续；
（3） ， 。
第五章 概率与概率分布
五、连续型随机变量的数字特征
（一）连续型随机变量的数学期望
设X是一个连续型随机变量，密度函数为p(χ)，当
时，称X的数学期望存在，且
为了下面的应用，直接给出随机变量的函数的数学期望：
若X是连续型随机变量，密度函数为p(χ) ，又f(χ)是实变量χ的函数，且
则有
第五章 概率与概率分布
（二）连续型随机变量的方差
设X是一个随机变量，又E(X-E(X))2存在，则称E(X-E(X))2
是随机变量X的方差，记作D(X)，并称 是X的标准差。
如果X的密度函数为p(X)，则有
这一关系与离散型的情形完全相同。
第五章 概率与概率分布
六、常用的连续型随机型变量与分布
（一）均匀分布
若随机变量X的密度函数为
则称X服从在区间[a,b]上的均匀分布。见图5.4所示：
第五章 概率与概率分布
作为例子，下面用连续型随机变量的数学期望和方差的定义求区间[a,b]上均匀分布的随机变量X的期望和方差：
所以
第五章 概率与概率分布
（二）指数分布
若随机变量的密度函数为
则称服从参数为λ的指数分布，记X～E(λ)为指数分布的期望和方差为
E(X)=1/λ D(X)=1/λ2
（三）正态分布
若随机变量X的密度函数为
-∞＜＜∞
其中μ和σ2（σ＞0）是两个常数，则称X服从参数为μ和σ2的正态分布，记为X～N(μ,σ2 )。
第五章 概率与概率分布
正态分布变量X，若参数μ=0， σ2=1即密度函数为
－∞＜＜∞，
则称X服从标准正态分布,记为X～N(0,1)。见图5.5所示：
第五章 概率与概率分布
　　关于正态分布参数μ和σ2的意义，很容易证明有以下的结果：
　　（1），E(X)=μ即是正态分布的期望；
　　（2）， D(X)=σ2即是正态分布的方差。
　　正态分布密度函数的图形如图5.5所示。
　　由正态分布X～N(μ,σ2 )的密度函数和图5.5可以清楚地看出，密度曲线φ(χ)关于直线χ=μ对称，在χ=μ处达到极大，当μ固定时，σ的值愈小， φ(χ)的图形就愈尖、愈窄， σ的值愈大， φ(χ)的图形就愈平、愈宽。由密度函数的意义已经知道，如果φ(χ)在μ点附近愈尖、愈高，则随机变量在μ点附近取值的概率就愈大。事实上，对任一服从N(0, σ2)的随机变量X有
第五章 概率与概率分布
就是说，对服从N(0, σ2)分布的随机变量X来说，有99%以上的把握认为|X|≤3σ。在实际工作中，这种近似的说法常称为正态分布的“3σ”原则。
正态分布是概率论和数理统计中最重要也是最常用的一个分布。正态分布概率的计算是经常遇到的。为了避免每一次都要作繁重的近似计算，便编制了标准正态分布表以供查用。一般正态分布N(μ,σ2 )要先变换为标准正态分布N(0,1) ，然后再查标准正态分布表。
第五章 概率与概率分布
设X是正态分布N(μ,σ2 )的随机变量，则
令
则也是一个随机变量，并且有
第五章 概率与概率分布
对上述积分作变量代换，令
即得
由此可知，U是一个服从N(0,1)分布的标准正态随机变量。于是，要查F(χ)=P(X＜χ），只要查φ (χ)，其中 ，这就是说只要查N(0,1)分布表就可以了。因为这时有
两边求导有
所以一张N(0,1)分布表解决了所有N(μ,σ2 )分布的查表问题。
　　正态分布表 中，u≥0，当u＜0时，由于φ(-u)=φ(u)，我们有φ(u)=1- φ(-u)。
第五章 概率与概率分布
例5.21 某市从南郊火车站乘车前往北郊机场有两条路线可走，第一条路线要穿越市区，路程较短，但容易堵车，所需时间（单位为分）服从正态分布N(45,100),第二条路线沿外环公路走，路程较长，但意外堵塞较少，所需时间服从正态分布N(60,16)。
(1)假如有70分钟的时间，试问应走哪一条路线？
(2)假如只有65分钟的时间，又应走哪条路线？
解：显然，应走的路线应该是在许可的时间内有较大概率准时赶到机场的路线。若以ti（i=1，2）记走第一、第二条路线的时间，则：
（1）
（2）
由以上计算可知，在第一种情况下，两条路线都可以走。在第二中情况下应走第一条线路。
第五章 概率与概率分布
　　七、中心极限定理
　　在随机变量的一切可能分布中，正态分布占有特别重要的地位。人们常把它称为中心分布。因此关于寻求极限分布函数在怎样的条件下渐进地服从正态分布的定理，统称为中心极限定理。中心极限定理证明了当样本容量增大时，不论原来的总体是否服从正态分布，其样本均值都将趋于正态分布。中心极限定理在抽样推断中起着十分重要的作用。因为在实际运用抽样方法时，其研究对象的总体分布不一定是正态分布，但只要样本容量足够大，其样本均值就趋于正态分布，从而使之在抽样的各种估计和检验中发挥重要作用。
第五章 概率与概率分布
第五节　EXCEL在概率分布中的应用
　　利用Excel中的函数工具，可以计算概率和概率分布值。例如，利用Excel的BINOMDIST函数可以计算出二项分布的概率和累计概率。该函数有四个参数：Number_s(实验成功的次数)、Trials(实验的总次数)、Probability_s(每次实验成功的概率)、Cumulative(该参数是一个逻辑值，设实验成功的次数为m，如果为True,则计算出累计分布函数的概率，即P(X≤m)；如果为False，则计算出概率密度函数的概率，即P(X=m)。
例5.22　已知一批产品次品率为5%，现从中任取一个，有放回地抽取3次，求：（1）在所抽取的3个产品中恰好有1个次品的概率；（2）次品数为1个及1个以下的累计概率。
解：（1）第一步：选择“插入”下拉菜单；
第二步：选择数据“函数”选项；
第五章 概率与概率分布
　　第三步：在出现的对话框中,从“函数分类”窗口选择“统计”,从“函数名字”窗口选择“BINOMDIST”,选择“确定”；
　　第四步：当出现“BINOMDIST”对话框时,在Number_s窗口输入1(成功的次数x)，在Trials窗口输入3(实验的总次数n)，在Probability_s窗口输入0.05(每次实验成功的概率p)，在Cumulative窗口输入False，选择“确定”。
　　此时,在指定单元格里就会输出计算结果0.135375(恰好有1个次品的概率)。
　　　（2）基本步骤与 (1) 相 同，只需在上述的第四步的Number_s窗口输入1，在 Cumulative窗口输入True即可。此时，在指定的单元格里就会输出计算的结果0.99275(次品数为1及1个以下的累计概率)。
计算泊松分布、正态分布等概率的步骤与上述过程类似，只需在第三步“函数名字”窗口分别选择POISSON或NORMDIST等函数名，然后根据第四步对话框的指导输入相应的值即可。
第五章 概率与概率分布
本章小结
　　本章内容分为两大块：其一是随机事件与概率，包括四个概念（随机事件、概率、条件概率及事件的独立性）、四个公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）和一个概型（古典概型）；其二是随机变量的概率分布与数字特征，包括二个基本概念（随机变量、概率分布）、两类随机变量（离散型随机变量，连续型随机变量）、二个数字特征（数学期望、方差）、六个分布（二点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布）。
第五章 概率与概率分布
同步训练
一、单项选择题
1.某事件的概率为1/5，如果试验5次，则该事件（　）
A.一定出现5次；B.一定出现1次；C.至少出现1次；D.不确定。
2.若某校经济系的学生中有65%是女生，40%是一年级学生。若随机抽取一人，该学生是一年级女生的概率最可能是（　）
A.1.05； B.0.5； C.0.25； D.0。45；
3.某零件的直径规定为20厘米，但生产的零件的直径有的大于20厘米，有的小于20厘米。在正常生产情况下，零件直径误差的分布通常服从（　）。
正态分布； B. 二项分布； C. 均匀分布；D.泊松分布。
4.二项分布则在100次试验中成功16至24次的概率近似为（　）
A．99．7%； B. 95.45%； C. 68.26%； D. 80%
5.若正态分布的参数则的概率分别为（　）
A.0.0228, 0.1587；　　 B. 0.3413, 0.4772；
C.0.1587,0.0228；　　D.0.4772,0.3413
第五章 概率与概率分布
计算题
1.某零件加工由两道工序完成。第一道工序的废品率为0.015,第二道工序的废品率为0.02,假设两道工序彼此无关，求产品的废品率。
2.某型号灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一只灯泡损坏的概率。
3.知一本300页的书，每页印刷错误的个数X服从参数λ＝0.02的泊松分布。
(1)试写出X的分布律。
(2)求一页上印刷错误不多于2个的概率。
(3)每页平均有多少印刷错误。
第五章 概率与概率分布
　　4.某厂生产的零件的长度X(厘米)服从正态分布N(10.05，0.062),规定长度在10.05±0.12范围内为合格品,生产的零件是合格品的概率。
　　5.有一批零件,其平均寿命为10个小时,方差为4个小时,假定其寿命服从正态分布,求:
(1)整批零件的寿命不大于11个小时的比例。
(2)整批零件的寿命在9到11个小时的比例。
　　三、案例分析
　　设某种鸭在正常情况下感染某种传染病的概率为20﹪，现发明两种疫苗，疫苗A注射在9只健康鸭后无一只感染传染病，疫苗B注射在25只鸭后仅有一只感染，试问应如何评价这两种疫苗？
阅读、讨论与思考
　　阅读茆诗松、周纪芗主编的《概率论与数理统计》（中国统计出版社2000 年7月第2版，2003年7月第4次印刷）、袁卫、庞皓、曾五一主编《统计学》（高等教育出版社2000年7月第1版）、周概容主编《统计学原理》（南开大学出版社2004年12月第2版）相关章节，指出统计推断常用的概率分布有哪些。
谢谢观看,再见!
中国高等教育出版社

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