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第四章　统计描述
学习目标
　　知识目标：
　　掌握总量指标、相对指标、平均指标、变异指标的概念、作用、计算方法和运用条件。
　　能力目标：
　　能够灵活运用总量指标、相对指标、平均指标、变异指标描述现象的规模、水平和数量关系。
第一节 总体规模和比率描述
第二节 集中趋势描述
第三节 离中趋势描述
第四节 EXCEL在描述统计中的应用
第四章 统计描述
第一节 总体规模和比率描述
一、总量指标
二、相对指标
第四章 统计描述
一、总量指标：
（一）总量指标的概念和作用：
概念：总量指标又称统计绝对数，它反映社会经济现象发展的总规模、总水平的综合指标，是属于数量指标。
作用：
1. 总量指标是对社会经济现象总体认识的起点。
2.总量指标是编制计划，实行经营管理的主要依据。
3.总量指标是计算相对指标和平均指标的基础。
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（二）总量指标的种类
1
按其反映
2 时间状况
的不同
时期指标：反映某种社会经济现象在一段时间
发展变化结果的总量指标
时点指标：反映某种社会经济现象在某一时间
状况上的总量指标
第四章 统计描述
按其反映总体内容的不同
总体单位总量：总体内所有单位的总数
总体标志总量：总体 中各标志值的总和
3
按其采用计量单位的不同
实物指标 ：是指以实物单位计量的统计指标
价值指标：是指以货币单位为统计指标
劳动指标：是指以劳动单位即日、工时等到劳动
时间计量的统计指标
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二、相对指标
（一）相对指标的概念、作用和表现形式
概念： 相对指标是两个相互联系的现象数量之 比，用以反映现象的发展速度、强度、结构或数量联系程度，其结果表现为相对数，故也称为统计相对数。属于质量指标。
作用：
1.相对指标为可以深化人们对事物的认识；
2.相对指标为不能直接对比的现象提供比较基础。
表现形式：有名数和无名数。
（二）相对指标的种类及计算方法
1.结构相对指标（比重）
结构相对指标是在总体分组的基础上，将总体的某部分数值与总体数值对比而计算的相对数，它可以反映总体的构成情况，是无名数。
(同一总体中一部分与全部之比)
计算公式：
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2.比例相对指标
比例相对指标是反映同一总体中各组成部分之间数量对比关系和均衡状况的综合指标，是无名数。（同一总体中一部分与另一部分之比）
计算公式：
3.比较相对指标
比较相对指标是反映同类现象在不同空间条件下数量对比关系的综合指标，用以说明某一种现象同一时间在不同地区（或单位）发展的差异程度，是无名数。（不同总体同一部分之比）
计算公式：
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4.强度相对指标
强度相对指标是两个性质不同但有联系的总量指标之比，用来表明某一现象在另一现象中发展的强度、密度和普遍程度，是复名数。(不同总体不同总量指标之比)
计算公式：
注：（1）强度相对指标分正指标和逆指标.一般来说正指标越大越好，正指标大表示强度高；而逆指标越小越好。
（2）强度相对指标也使用“人均”字眼，如人均粮食产量，人均国民收入等，但它不是后面要讲的平均指标。
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5.计划完成程度相对指标
计划完成程度相对指标，是某种社会经济工作在一定时期的实际完成数与同期计划数之比，用以检查计划执行情况的相对指标，一般用百分数表示。计算公式：
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由于计划数的表现形式不同，计划完成程度相对指标有不同的计算方法。
（1）计划任务数为绝对数和平均数时，直接用计划完成程度相对指标基本公式计算。
例4.1：某企业某年计划产量为1000吨，实际完成的生产量为1200吨，其计划完成程度为：
计算结果表明，某企业某年超额20%完成计划任务。
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例4.2： 某企业某年计划职工平均工资为30000元，而实际该年该企业职工平均工资为33000元，
则该企业工资计划完成程度为：
计算结果表明该企业工资计划完成程度是110％，即超额10％完成工资计划。
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（2）计划任务数为相对数时，计划完成程度的计算有两种情况。
1）按降低率规定计划任务，其计划完成程度为：
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例4.3：某公司2005年8月份计划生产费用下降10%，实际下降8%，则该公司生产费用计划完成程度为：
计算表明，该公司生产费用降低计划完成情况不够好，尚有2.22%的计划任务未完成。
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2）按提高率规定计划任务，其计划完成程度为：
例4.4：某公司2004年计划劳动生产率比去年提高10%，而实际劳动生产率提高了15%，则劳动生产率计划完成程度为：
计算表明，该企业劳动生产率计划完成程度104.5%，超额4.5%完成计划。
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（3）计划执行进度检查
例4.5： 某企业某年计划产值为620万元，三月末检查计划执行情况时得知实际产值1、2、3月份依次为20万元、48 万元和100万元，则
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（4）长期计划执行况检查情
1）累计法
2）水平法
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6.动态相对指标
动态相对指标是现象报告期水平与基期水平之比，用来反映现象在时间上的发展变化情况，又称为动态相对数或发展速度。计算公式：
第二节 集中趋势描述
一、平均指标的概念和作用
二、平均指标的计算
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一、平均指标的概念和作用
概念：平均指标是用来反映同质总体各单位某一数量标志在一定时间、地点和条件下所达到的一般水平的综合指标。
作用：
1．反映现象集中趋势。
2．比较现象时空差异。
3．分析现象依存关系。
4．提供估计推断基础。
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应用平均指标的基本要求：
社会经济现象总体的同质性（构成总体的各个单位必须具有某一共同的标志）是计算或应用平均指标的基本要求。
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种类：
1、 算术平均数
2、 调和平均数 称为数值平均数，是根据总体中所有标志值计算的
3、几何平均数
4、众数 称为位置平均数，是根据标志值所处的位置确定的
5、中位数
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二、平均指标的种类及计算
计算方法：
（一）算术平均数
算术平均数是总体各单位某一数量标志值之和（总体标志总量）与总体单位数之比，反映总体各单位某种标志值的一般水平。基本计算公式：
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平均指标与强度指标的区别和相同
1、 相同：两者都有平均意思，都是由两个总量指 标相除而得。
2、区别：
A、平均指标公式中分子分母是同一总体的,
强度相对指标公式中分子分母不是同一总体的。
B、平均指标分子分母是一 一对应的，
强度相对指标分子分母不是一 一对应的。
1.简单算术平均数 (适用于未分组情况）
例 4.6：某企业的一个生产班组有5名工人，其月工资分别为700元、750元、800元、850元、900元。则这5名工人的月平均工资为：
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2.加权算术平均数(适用于已分组情况）
例4.7： 某车间有50名工人，日生产某种零件如表4.1所示，试求工人平均日产零件数。
解：工人平均日产零件数：
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表4.1 日产零件加权平均数计算表
权数除用次数（频数）表示外，还可以用比重（频率）表示。公式如下：
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例4.8： 仍以表4.1资料为例，采用比重计算加权算术平均数，平均每个工人日产零件数为：
例4.9：抽样调查某地2000个居民户，得其生活费用支出资料如表4.2所示，试计算居民户月平均生活费支出。
居民户月平均生活费支出为：
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表4.2 2000户居民生活支出及平均数计算表
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（二）调和平均数
调和平均数是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，又称倒数平均数。
1.简单调和平均数
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例4.10：设某组5个学生的考试分数为70、80、85、90、92，则5个学生成绩的调和平均数为：
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2.加权调和平均数
例4.11: 某厂工人工资资料如表4.3所示,据此资料工人平均工资为：
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表4.3 某工厂工人工资情况及平均工资计算表
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表4.4 某公司所属企业产值计划完成情况及平均数计算表
例4.12： 已知某公司各企业产值计划完成程度及实际完成数如表4.4所示，则全公司计划完成程度（即各企业平均计划完成程度）为：
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（三）几何平均数
1.简单几何平均数
例4.13： 某地区2002―2006年国内生产总值环比发展速度分别为108.0%、107.5%、108.3%、109.3%、109.5%，则其平均发展速度为：
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2.加权几何平均数
例4.14：某银行对企业的一笔十年期的投资年利率是：第1至3年是7%，第4至6年是8％，第7至9年是9％，第10年是10％。则平均年利率是：
即平均年利率为 8.2％。
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（四）众数
众数指总体单位中，标志值出现次数最多的那个数值。如下图：
单项式数列和组距式数列的众数计算方法不同。
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1.单项式数列的众数确定：统计分组以后找出出现次数最多的标志值即可。
4.5 某村农民按家庭儿童人数分组
家庭按儿童数分组
（个/户） 家庭数（户）
0
1
2
3
4 20
60
105
90
40
合 计 360
在这个 例子中，众数就是两个儿童。
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2.组距式数列众数的确定：先确定众数所在的组（标志值出现最多的组），然后计算以求得近似的众数值。
或为：
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例4.15 某县农民家庭按人均纯收入分组资料如表4.6所示，求众数。
解：表4.6表明，人均纯收入3000―4000元组户数最多，故该组为众数组。其中，L=3000、U=4000、d=1000， ＝260-236=24， ＝260-223=37。
按下限公式计算：
按上限公式计算：
即农民家庭人均收入众数为3393.44元。
按人均纯收入额分组（元） 农 户 数 累 计 次 数
向 上 累 计 向 下 累 计
1000以下
1000―2000
2000―3000
3000―4000
4000―5000
5000以上 44
79
236
260
223
158 44
123
359
619
842
1000 1000
956
877
641
381
158
合 计 1000 ― ―
表4.6 某县农民家庭人均纯收入中位数计算表
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（五）中位数
把总体各单位的标志值按大小顺序排列后，处于中点位次的标志值就是中位数。如：
不分组数列和分组数列中位数的求法不同
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1.未分组数列的中位数
把总体各单位的标志值从小到大顺序排列。
若数列有奇数项，中位数就是数列中间位次上的那个标志值。
若数列有偶数项，中位数就是数列中间两个位次上标志值的平均数。
例4.16 某组有5名工人，年龄（岁）分别为34、35、36、37、38，则中点位置为
，中位数为第三个工人的年龄36（岁）。如果有6名工人，年龄（岁）分别为34、35、36、37、38、39，则中点位置
为 ，中位数为第三个工人和第四个工人年龄的简单算术平均数36.5（岁）。
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2.分组数列的中位数
单项式分组：首先确定中位数所在的组，即累计频数达到 f/2，然后确定中位数的具体值。
4.7某村农民按家庭儿童人数分组
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f/2=360/2=180
和 f/2+1=360/2+1=181
中位数的位置是在第180和181家庭之间。从第一组家庭户数开始向后累加至180~181户，即中位数是两个儿童。
家庭按儿童数分组
（个/户） 家庭数（户）
0
1
2
3
4 20
60
105
90
40
合 计 360
3.组距式分组数列的中位数求法
（1）先确定中位数所在的组：
求 f/2，从第一组的总体单位数开始向后累加至 f/2止
（2）计算中位数的近似值：
公式:
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例4.17 根据表4.6的资料确定中位数。
解：据表中资料计算： ，第四组为中位数组。
L=3000 U=4000 d=10 ＝359 ＝381。 按上限公式计算中位数：
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第三节 离中趋势描述
一、标志变异指标的概念和作用
二、标志变异指标的计算
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一、标志变异指标
概念：标志变异指标，也称标志变动度，是综合反映总体各单位标志值差异程度的指标。
作用：
1.标志变异指标可以衡量平均数代表性的大小。
2.标志变异指标可用来研究现象的稳定性和均性 。
3.标志变异指标是确定抽样数目和计算抽样误差的必要依据。
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二、标志变异指标的计算
（一）全距
全距又称极差，它是总体各单位变量值中最大值与最小值之差。其算式为：
全距（R）＝最大值－最小值
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例4.18：两组学生的统计学原理考试成绩（分数）如下：
A组：68 72 78 84 88 90 ；
B组：60 76 80 83 85 96。
则：
若根据组距数列计算全距，可用数列中最高一组的上限减去最低一组的下限求得全距的近似值。
第四章 统计描述
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（二）平均差（A.D）
分布数列中各单位标志值与其平均数之间绝对离差的平均数。反应数列中相互差异的标志值平均的差距水平。
1.简单平均法（适用于未分组数列)，
计算公式：
例4.19 用简单平均法求例4.18资料中两组学生统计学考试成绩的平均差。
解：计算过程如表4.9所示，两组的平均差分别是：
A组：A.D= ；
B组：A.D=
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表4.8　两组学生考试成绩平均差计算表
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2.加权平均法（适用于已分组数列)
计算公式
例4.20 某车间工人日产量分组资料如表4.9所示，则该车间工人日产量的平均差为：
计算结果表明，该车间200个工人日产量的平均差为6.6公斤。
第四章 统计描述
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表4.9 某车间工人日产量平均差计算表
（三）标准差
标准差又称均方差，它是总体各单位标志值与其算术平均数的离差平方的算术平均数的平方根，通常记为，标准差的平方称为方差。
未分组数列
分组数列
第四章 统计描述
例4.21 用简单平均法求例4.19两组学生统计学原理考试成绩的标准差，计算过程如表4.10所示。
A组：
B组：
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表4.10 两组学生考试成绩平均差计算表
例4.22 用加权式求例4.20资料中的工人日产量标准差，计算过程如表4.11所示。
表4.11 某车间工人日产量平均差计算表
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（四）交替标志的标准差
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例4.23 某机械铸造车间生产10000吨铸件，不合格品200吨，试求该批铸件的平均合格率及其标准差。
平均合格率：
标准差：
（五）变异系数
为了对不同的总体的标志变异度进行对比分析,往往需要消除不同总体之间在计量单位、平均水平方面的不可比因素.即需要计算变异系数.
标准差系数
第四章 统计描述
例4.24 甲、乙两个工厂工人的劳动生产率资料如表4.12所示。
表4.12 工人劳动生产率的标准差系数计算表
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第四节 EXCEL在描述统计中的应用
例4.25　为了解某职业学院新毕业大学生的工资情况，随机抽取49人，调查得月工资如下表（见下图4.1中A1:G8）所示，试利用EXCEL计算算术平均数、标准差、标准差系数、方差、调和平均数、众数、中位数等描述统计量。
操作步骤如下：
1.输入数据：打开EXCEL电子表，将数据输入A2:G8单元格区域中;
2.计算平均数、标准差、方差、调和平均数、众数、中位数、最大值、最小值等统计量：
第四章 统计描述
第四章 统计描述
图4.1 描述统计量计算图
计算平均数：在A9单元格输入“平均数：”，选择B9单元格，点击“插入／函数／统计／AVERAGE”,出现下列函数参数对话框（图4.2），在Number1中输入“A2:G8”, 点击“确定”，在B9单元格出现平均数值1151.55102。
第四章 统计描述
图4.2 描述统计计算参数对话框
第四章 统计描述
3.计算全距和标准差系数：
在E11输入“全距：”，选择F11单元格，输入“＝F9-F10”, 点击“确定”，在F11单元格出现全距数值730。
在E12输入“标准差系数：”，选择G12，输入“＝B10/B9”， 点击“确定”，在G12单元格出现标准差系数数值0.123872。
本章小结
　　本章阐述了总量指标、相对指标、平均指标和变异指标。
总量指标就是反映现象发展总规模、总水平或经济工作总量的统计指标。总量指标可分为标志总量和单位总量，时期指标和时点指标，实物指标、价值指标和劳动量指标等。
　　相对指标是两个有联系的统计指标之比，可以反映现象之间的数量对比关系和联系程度。相对指标有计划完成程度相对数、结构相对数、比例相对数、比较相对数、强度相对数和动态相对数六种。
　　平均指标是反映同质总体各单位某种数量标志在一定时间、地点、条件下的一般水平的综合指标。平均指标主要有算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数和中位数等。
　　变异指标是反映现象总体各单位标志值之间平均差异程度的综合指标。变异指标有全距、平均差、标准差和变异系数等，其中最常用的是标准差和标准差系数。
同步训练
　　一、单项选择
　　1.某单位某月职工的出勤率是96%，这个指标是（ ）。
　　A．结构相对指标　B．比例相对指标　C．比较相对指标　D．强度相对指标
　　2.某企业某产品单位成本计划降低5%，实际降低10%，则单位成本的计划完成程度为（ ）。
　　A．94.74% 　　　B．200% 　　　C．5.26%　　　D．105.56%
　　3.由反映总体各单位数量特征的标志值汇总得出的指标是（ ）。
　　A．总体单位总量　B．总体标志重量　C．相对指标　D．质量指标
　　4.权数对算术平均数的影响作用，实际上取决于（ ）。
　　A．各组标志值占总体标志总量比重的大小　C．标志值本身的大小
　　B．作为权数的各组单位数占总体单位数比中的大小D．标志值数量的多少
　　5.为了用标准差比较分析两个同类总体平均指标的代表性，其基本的前提条件是（ ）。
　　A．两个总体的标准差应相等　　B．两个总体的单位数应相等
　　C．两个总体的平均数应相等　　D．两个总体的离差之和应相等
二、多项选择
1.下列属于时点指标的有（ ）。
A．某市人口数　　B．某市人口死亡数　　C．某高校在校学生数
D．某工厂月末在册职工人数　　　　　　 E．某农场每年拖拉机台数
2.在各种平均指标中，不受极端制影响的平均指标是（ ）。
A．算术平均数 　B．调和平均数　C．中位数　D．众数　E. 几和平均数
3.相对指标中分子、分母可以互换的有（ ）。
A．结构相对指标　B．比例相对指标　C．强度相对指标
D．比较相对指标　E．动态相对指标
4.标志变异指标中的标准差和变异系数的区别是（　）。
A．与平均数的关系不同　B．两者的计算方法不同　C．两者的作用不同
D．指标表现形式不同　　E．两者的适用条件不同
5.在什么条件下加权算数平均数等于简单算术平均数，（ ）。
A．各组次数相等　B．各组次数都为1　C．变量数列为组距数列
D．各组变量值不等　E．各组次数占总次数的比重相等
　　三、案例分析
　　（一）资料：中国人民共和国国家统计局／人口普查公报／2005年全国1%人口抽样调查主要数据公报。
　　（二）要求：1．认真阅读以上指定资料；2．指出资料中有关的总量指标、相对指标和平均指标；3．根据资料中统计指标，指出我国人口总体发展的数量规律。
阅读、讨论与思考
　　阅读袁卫、庞皓、曾五一主编《统计学》（高等教育出版社2000年7月第1版）、周概容主编《统计学原理》（南开大学出版社2004年12月第6次印刷）、黄良文主编《统计学原理》（中国统计出版社2000年6月第1版）等文献的相关内容，组织学生进行分组讨论，充分认识统计描述基本指标的种类、作用和计算方法。
主编：……
撰稿教师：……（以姓氏为序）
制作：……
责任编辑：……
电子编辑：……
中国高等教育出版社

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