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第9讲 双变量问题——代入消元
知识与方法
一般遇到双变量取值范围问题时由已知条件得到两个参数的不等 (等式)关系, 再通过放缩消元的方 法来解决这类问题.
典型例题
【例1】 已知 , 且 对任意的 恒成立, 则 的最小值为___________________________.
【例2】已知函数 , 其中 , 若 恒成立, 则当 取最小值时, 。
【例3】 已知函数 满足 ;
(1) 求 的解析式及单调区间;
(2) 若 , 求 的最大值.
强化训练
1. 已知函数 .
(1)当 时, 求函数 的单调区间;
(2) 若曲线 在点 处的切线 与曲线 切于点 , 求 a, b, c 的值;
(3) 若 恒成立, 求 的最大值.
2. 已知函数 , 其中 为自然对数的底数.
(1)讨论函数 的单调性及极值;
(2) 若不等式 在 内恒成立, 求证: .
3. 已知函数 .
(1) 设 .
①若 , 则 a, b满足什么条件时, 曲线 与 在 处总有相同的切线
②当 时, 求函数 单调区间;
(2) 若集合 为空集, 求 ab的最大值.
1第9讲 双变量问题——代入消元
知识与方法
一般遇到双变量取值范围问题时由已知条件得到两个参数的不等 (等式)关系, 再通过放缩消元的方 法来解决这类问题.
典型例题
【例1】 已知 , 且 对任意的 恒成立, 则 的最小值为___________________________.
【解析】因为 , 且 , 令 , 则 ,
令 , 得 , 显然 的最大值为 , 即 , 即 , 令 , 当 时, 是递增函数, 当 时, 是 递减函数, 当 时, 取得最大值为 的最小值为 1 .
【答案】 1 .
【例2】已知函数 , 其中 , 若 恒成立, 则当 取最小值时, 。
【解析】
【解法1】,
若 恒成立, 令 , 则 .
当 时, 恒成立, 单调递增, 不可能恒成立.
当 时, 令 可得 , 令 可得 .
在 ,上单调递减, 在 上单调递增, 故当 时, -则 , 当 时, 单调递增,
当 时, 单调递减. 当 时, 取得最小值 , 即取最小值 , 此时 .
【解法2】 如图所示, 因为 , 则有 过 过 , 它们相切于一点, 令 , 又令 , 有 , 则 .
【答案】 1 .
【例3】 已知函数 满足 ;
(1) 求 的解析式及单调区间;
(2) 若 , 求 的最大值.
【解析】
(1) , 令 得: ,
在 上单调递增, , 得: 的解析式为 且单调递增区间为 , , 单调递减区间为 .
(2) 得 .
① 当 时, 在 上单调递增.
趋近于一 时, 趋近于一 与 矛盾.
当 时, .
③ 当 时, 得: 当 时, 即 . 令 , 则 . 所以当 时, , 当 时, 的最大值为 .
强化训练
1. 已知函数 .
(1)当 时, 求函数 的单调区间;
(2) 若曲线 在点 处的切线 与曲线 切于点 , 求 a, b, c 的值;
(3) 若 恒成立, 求 的最大值.
【解析】
(1) , 则 .
令 , 得 , 所以 在 上单调递增.
令 , 得 , 所以 在 上单调递减.
(2) 因为 , 所以 的方程为 . 依题意 , . 故 与抛物线 切于点 , 由 得 . 所以 .
(3) 设 , 则 恒成立. 易得 .
①当 时, 因为 , 所以此时 在 上单调递增.
若 , 则当 时满足条件, 此时 ;
若 , 取 且 , 此时 , 所以 不恒成立, 不满足条件.
②当 时, 令 , 得 . 由 , 得 ;
由 , 得 . 所以 在 上单调递减, 在 上单调 递增.
要使得 “ 恒成立”, 必须使:
“当 时, ”成立.
所以 . 则 .
令 , 则 .
令 , 得 . 由 , 得 ;
由 , 得 . 所以 在 上单调递增, 在 上单调递减,
所以, 当 时, . 从而, 当 时, 的最大值为 .
综上, 的最大值为 .
2. 已知函数 , 其中 为自然对数的底数.
(1)讨论函数 的单调性及极值;
(2) 若不等式 在 内恒成立, 求证: .
【解析】
(1) 由题意得 .
当 , 即 时, 在 内单调递增, 没有极值.
当 , 即 时, 令 , 得 ,
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增.
故当 时, 取得极小值 , 无极大值.
综上所述, 当 时, 在 内单调递增, 没有极值;
当 时, 在区间 内单调递减,在区间 内单调递增, 的极 小值为 , 无极大值.
(2)证明: 当 时, 成立.
当 时,由 (1) 可知 在 内单调递增, 令 为 和 中较小的数, 所以 , 且 , 则 . 所以 ,
与 恒成立矛盾, 应舍去.
当 时, , 即 , 所 以 . 令 , 则 . 令 , 得 , 令 , 得 , 故 在区间 内单调递增, 在区间 内单调递 减. 故 , 即当 时,. 所以 . 所以 . 而 , 所以 .
3. 已知函数 .
(1) 设 .
①若 , 则 a, b满足什么条件时, 曲线 与 在 处总有相同的切线
②当 时, 求函数 单调区间;
(2) 若集合 为空集, 求 ab的最大值.
【解析】(1)
①, 又 在 处的切线方程为 .
又 在 处的切线方程为 , 所以当 且 时, 曲线 与 在 处总有相同的切线.
② 由 ,
,
由 , 得 当 时,函数 的减区间为 ; 增区间为 ;
当 时, 函数 的减区间为 ;
当 时, 函数 的减区间为 , 增区间为 .
(2) 由集合 为空集可知不等式 对任意 恒成立, 即 恒成立.
当 时,函数 在 上单调递增, 不恒成立, 所以 , 此时 , 解得 , 当 时, , 函数单调递减, 当 时, , 函数单调递增, 所以要使 恒成立, 只需使 , 即 ,
令 , 则 ,
令 解得 , 当 时, , 函数 单调递增,
当 时, , 函数 单调递减.
所以当 时, 函数 取得最大值 , 即 , 故 ab 的最大值为 .
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