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第7讲 函数隐零点
知识与方法
导函数的零点,根据其数值计算上的差异可以分为两类：一类是数值上能精确求解的,称为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的,称为“隐零点”.
此讲通过几个具体的例题来体会隐零点的处理步骤和思想方法：隐零点的虚设与代换.
一般步骤如下.
①确定零点的存在范围.确定隐零点范围的方式是多种多样的,可以由零点的存在性定理确定,也可以由函数的图象特征得到,甚至可以由题设直接得到等等；至于隐性零点的范围精确到多少,由所求解问题决定,因此必要时尽可能缩小其范围.
②根据零点的意义进行代数式的替换,尽可能将目标式变形为整式或分式,那么就需要尽可能将指数、对数函数式用有理式替换,这是能否继续深人的关键.
③结合前两步,确定目标式的范围.
隐零点代换实际上是一种明修栈道,暗度陈仓的策略,也是数学中“设而不求”思想的体现.
典型例题
【例1】设函数.
（1）求的单调区间；
(2)若为整数,且当时,,求的最大值.
【例2】设函数.
（1）求时的单调区间；
（2）求证：当时,.
【例3】已知函数,其中为常数.
(1)若,求函数的极值；
(2)若函数在上单调递增,求实数的取值范围；
(3)若,设函数在上的极值点为,求证：.
【例4】已知函数,且.
(1)求；
(2)证明：存在唯一的极大值点,且.
【例5】已知函数.
（1）求函数的定义域和单调区间;
(2)当且时,若直线与函数的图象相切, 求的值;
(3)当时,若存在, 使得,求的取值范围.
强化训练
1.已知函数, 曲线在处的切线与直线 垂直.
(1)求的值,并求的单调区间;
(2)若是整数,当时,总有, 求的最大值.
2. 已知函数,其中为自然对数的底数.
(1)函数的图象能否与轴相切 若能与轴相切, 求实数的值；否则,请说明理由；
(2)若函数在上单调递增, 求实数能取到的最大整数值.
3.设函数.
(1)关于的方程 在区间[1,3]上有解, 求的取值范围；
(2)当时,值成立,求实数的取值范围.
4. 设函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数的极大值点为1,证明：.
5. 已知函数.
(1)讨论零点的个数;
(2)证明：.
6.已知.
(1)若,求的所有可能整数值；
(2)证明：存在唯一极小值点且；
(3)记函数等于直线是常数)与的交点个数之和,若当时 的值域是,求的全体可能值.
7. 已知函数.
(1)若函数的图象在处的切线为, 求 的极值;
(2)若,求的取值范围.
8.已知函数, 若对任意的恒成立,求的取值范围.
9. 已知函数 .
(1)证明：函数 有唯一零点;
(2) 若对任意 , 求 的取值范围.
10. 已知函数 为 的导函数.
(1) 若 , 证明: 对任意 ;
(2)若 有两个极值点, 求 的取值范围.
11. 已知函数 .
(1) 若函数 在 上单调递减, 求实数 的取值范围;
(2) 若 , 求 的最大值.
12. 已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程;
(2) 证明: .
13. 已知函数 .
(1)当 时,求 的单调区间;
(2)当 时, 证明: .
1第7讲 函数隐零点
知识与方法
导函数的零点,根据其数值计算上的差异可以分为两类：一类是数值上能精确求解的,称为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的,称为“隐零点”.
此讲通过几个具体的例题来体会隐零点的处理步骤和思想方法：隐零点的虚设与代换.
一般步骤如下.
①确定零点的存在范围.确定隐零点范围的方式是多种多样的,可以由零点的存在性定理确定,也可以由函数的图象特征得到,甚至可以由题设直接得到等等；至于隐性零点的范围精确到多少,由所求解问题决定,因此必要时尽可能缩小其范围.
②根据零点的意义进行代数式的替换,尽可能将目标式变形为整式或分式,那么就需要尽可能将指数、对数函数式用有理式替换,这是能否继续深人的关键.
③结合前两步,确定目标式的范围.
隐零点代换实际上是一种明修栈道,暗度陈仓的策略,也是数学中“设而不求”思想的体现.
典型例题
【例1】设函数.
（1）求的单调区间；
(2)若为整数,且当时,,求的最大值.
【解析】（1）函数的定义域是,
若,则,所以函数在上单调递增. 若,则当时,；
当 时,；
所以,在单调递减,在上单调递增.
(2)由于,所以,,
故当时,等价于①,
令, 则,
由(1)知, 当 时,函数在 上单调递增,
而 ,
所以 在上存在唯一的零点,
故在 上存在唯一的零点,设此零点为 , 则有,
当时,；当时,；
所以在上的最小值为 .
又由,可得所以,
由于①式等价于, 故整数的最大值为2.
【例2】设函数.
（1）求时的单调区间；
（2）求证：当时,.
【解析】 （1）时,的定义域为,
所以当时,；当时,,
所以函数的单调减区间为,单调增区间为.
(2)证明：的定义域为.
当时,恒成立,故没有零点,
当时, ∵为单调递增,单调递增,∴在上单调递增, 又, 假设存在满足 时,且 ,故当 时, 导函数存在唯一的零点, 可设导函数在上的唯一零点为, 当时,,当 时,,故在 单调递减, 在单调递增,所以当时, 取得最小值,最小值为,由于,所以, 故当时,.
【例3】已知函数,其中为常数.
(1)若,求函数的极值；
(2)若函数在上单调递增,求实数的取值范围；
(3)若,设函数在上的极值点为,求证：.
【解析】(1)的定义域是,
令,解得,令,解得,
则在 递增,在递减,故,无极小值；
(2)函数的定义域为 且.
要使函数在上单调递增,则,又时, , 只需在上恒成立,即在上恒成立,由 的导数为,
当时,函数递增, 时, 函数递减,
当即时, 函数递减,可得,予盾不成立；
当即时,函数在递减,在递增,
可得,可得；
(3)证明：,则导数为,
设函数在上的极值点为, 可得,
即有, 要证,即,
由于 ,
由于,且不成立,则,故 成立.
【例4】已知函数,且.
(1)求；
(2)证明：存在唯一的极大值点,且.
【解析】(1)因为,
则等价于, 求导可知.
则当时,即在上单调递减,
所以当时,,矛盾,故 .
因为当 时,；当 时,,所以,
又因为,所以,解得；
(2)证明：由(1)可知,
令,可得 ,记, 则,
令,解得,
所以在区间上单调递减, 在 上单调递增,
所以,从而 有解,即存在两根 ,
且不妨设在上为正、在 上为负、在 上为正,
所以必存在唯一极大值点,,且,
所以,
由可知;
由可知,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以;
综上所述,存在唯一的极大值点, 且.
【例5】已知函数.
（1）求函数的定义域和单调区间;
(2)当且时,若直线与函数的图象相切, 求的值;
(3)当时,若存在, 使得,求的取值范围.
【解析】 (1) 由 得的定义域,
∴,由得,
由得,所以的单调增区间为,
单调减区间为和；
(2)设与相切于点,且
令,
由得, 由得,
∴在单调递增,在单调递減,∴, ∴$$ 方方程在上有唯一解.
(3)令,依题意知, ∴的值域为,
①当,即时,∴在单调递增, ∴, 解得 , 不合题意,
②当,即时,∴在单调递减,
∴, 解得 , 满足题意,
③当 时,存在唯一满足,
∴在单调递减,在单调递增,∴ ,
解得,这与矛盾,不合题意,
综上所述, 的取值范围为.
强化训练
1.已知函数, 曲线在处的切线与直线 垂直.
(1)求的值,并求的单调区间;
(2)若是整数,当时,总有, 求的最大值.
【解析】(1)函数的定义域是,依题意可得, ，
令,即 ,
∵ 时,时,.
∴的单调递增区间是,单调递减区间为.
(2)由(1)可知,.
∴, 化简得 .
设, 只需 .
令,可得在上为单调递增函数,
∵ 存在,使,
当时,,即,当时,, 即,
∴在时取最小值,且 ,
又∵,
∵ 的最大值为
2. 已知函数,其中为自然对数的底数.
(1)函数的图象能否与轴相切 若能与轴相切, 求实数的值；否则,请说明理由；
(2)若函数在上单调递增, 求实数能取到的最大整数值.
【解析】(1)∵,
假设函数的图象与轴相切于点, 则有:,即
由(2)知, 代人(1)中, 得,
∵, 即,
∵方程无解,
∴无论取何值,函数的图象都不与轴相切.
(2) 记,由题意得在上恒成立,
由,得的必要条件是,
若,则,
当时,,故.
下面证明: 当时, 不等式恒成立.
令,则,记,则,
当时,单调递增且,
当时,单调递减且,
∵
∴存在唯一的,使得,且当时,单调递减,
当时,单调递增,∴,
∵.
∵恒成立,
∴能取得的最大整数值为 1 .
3.设函数.
(1)关于的方程 在区间[1,3]上有解, 求的取值范围；
(2)当时,值成立,求实数的取值范围.
【解析】(1)方程即,
令,则,
故在[1,3]上单调递减, 而,
故当时,,故的取值范围是.
(2)由题意得,当时,恒成立,
令, 则，
,则当 时, , 故函数 在 单调递增, ∵存在唯一的零点,且时，,
当时,,
当时,,当时,在上单调递减,在上单调递增,从而有,由,得,即,两边取对数得 ,故,故的取值范围是.
4. 设函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数的极大值点为1,证明：.
【解析】(1)根据题意,,必有,则的定义域为,其导数 ,当 时,,则函数在区间上单调递增;
当时,由得,由得.
所以,在区间上单调递减,在区间上单调递增;
当时,由得,由得,
所以,函数在区间上单调递增,在区间上单调递减.
综上所述,当时,函数在区间上单调递增;
当时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增;
当时,函数在区间上单调递增,在区间上单调递减
当时,函数在区间上单调递增,在区间上单调递减.
(2)证明:由(1)知且时,解得.
证明,要证,即证,即证：.
令,则 .
令,易见函数在区间上单调递增.而,所以在区间上存在唯一的实数,使得, 即,且时,时.故在上递减,在上递增.∴.
又∵.
∴成立,即成立.
5. 已知函数.
(1)讨论零点的个数;
(2)证明：.
【解析】(1),
设, 则,当 时,,
当时,单调递减,
当时,单调递增,
所以,
又当时,,
所以存在唯一,使得,
当时,单调递增,
当时,单调递减,
所以,
又,
所以在区间各有一个零点,共有两个零点.
(2)若,即.
设,
则,
当 时,,所以单调递增,
当时,,所以单调递减,
所以得证.
6.已知.
(1)若,求的所有可能整数值；
(2)证明：存在唯一极小值点且；
(3)记函数等于直线是常数)与的交点个数之和,若当时 的值域是,求的全体可能值.
【解析】(1)令, 则, ,
,令,解得,
当时,,此时函数单调递减；当时,,此时函数单调递增.
所以,则,所以,函数在上单调递增,
当时,,当时,,
所以存在,使得,则,
且当时,,函数单调递减；当时,,函数单调递增.
所以：
构造函数,则 ,
易知,
令,则,
所以函数在上单调递增, 当时,,
此时,,即函数在上单调递减,则；
∵,
由零点存在定理知,存在,使得,且当时,,则 ,此时函数单调递增;
当时,,则,此时,函数 单调递减.
当时,,
∵,
∴存在 使得,
则不等式的解集为,即.
又,构造函数,则,
所以函数在上单调递增,
∵,∴, 因此,的所有可能整数值为1.
(2) 证明：,则,函数在上单调递增,由(1)知,当 时,,
当时,,
由零点存在定理知, 存在,使得 ,
当时,；当时,,
所以函数存在唯一极小值点且.
(3)当时,由(1)知,恒成立,当且仅当时等号成立,
如图所示,
若, 当直线过点时,则,不合乎题意;
考查直线 与两个函数同时相切于点 时,则,
此时,,不合乎题意;
若,当 时,直线过点 ,直线在轴左侧必然会与两个函数的图象各有一个交点,
此时,不合乎题意;
若时,当时,直线过点 ,直线在轴右侧必然会与两个函数的图象各有一个交点,
此时,不合乎题意.
综上所述,符合条件的实数不存在.
7. 已知函数.
(1)若函数的图象在处的切线为, 求 的极值;
(2)若,求的取值范围.
【解析】(1),
此时函数 ,
函数的图象在处的切线为,成立,
所以,此时在 上单调递增,在上单调递减,
所以的极大值为,不存在极小值;
(2)由,
化简可得,
令,则,
令,则,
所以 在 上单调递增,
又 ,
存在唯一的 , 使得 ,
故 在 上单调递减, 在 上单调递增,
,
由 , 得 ,
, 所以 ,
即实数 的取值范围是 .
8.已知函数, 若对任意的恒成立,求的取值范围.
【解析】
【解法1】设,对任意的恒成立,等价于 在上恒成立, 则只需即可.
因为,
令,
则,
所以在上单调递增,
因为当时,,当时,,
所以在上存在唯一的零点,
满足,
所以,且在上单调递减,在上单调递增,
所以,
则由,得,
此时,
所以,
设 ,则,
所以函数在 上单调递增,
因为,
所以 即,
所以 ,
所以实数的取值范围为.
【解法2】因为,所以对任意的恒成立,等价于 在上恒成立.
令,则只需即可,则,
再令,则,所以在上单调递增,
因为,
所以有唯一的零点,且,
所以当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
因为,
所以,
即,
设,则,
所以函数在上单调递增,
因为,
所以,即,
所以,则有,
所以实数的取值范围为 .
9. 已知函数 .
(1)证明：函数 有唯一零点;
(2) 若对任意 , 求 的取值范围.
答案：(1)证明：,
易知当时,,
所以在区间上为增函数,
又因为,
所以,即在区间上恰有一个零点,
由题可知在上恒成立,即在上无零点,
所以在上有唯一零点.
（2）设的零点为, 即.
原不等式可化为,
令, 则,
由(1)可知在上单调递减,在上单调递增,
故为的最小值.
下面分析,
设,则,
可得即,,
若,等式左负右正不相等；若,等式左正右负不相等,只能.
因此,所以.
即实数的取值范围为.
10. 已知函数 为 的导函数.
(1) 若 , 证明: 对任意 ;
(2)若 有两个极值点, 求 的取值范围.
【解析】 (1) 时,
令 , 则 , 当 时,
当 时, , 故 在 上单调递减, 在 上单调递增, 所以 , 即 (当且仅当 时取等号).
令 , 则 , 当 时, ,
当 时, , 故 在 上单调递减, 在 上单调递增,
所以 , 即 (当且仅当 时取等号).
当 (当且仅当 时取等号)
所以, ;
(2) 有两个极值点, 即 有两个变号零点.
①当 时, , 由 (1) 知 ,
则 在 上是增函数, 无极值点;
②当 时, 令 , 则 ,
, 且 在 上单增,
, 使 .
当 时, ; 当 时, .
所以, 在 上单调递减, 在 上单调递增.
则 在 处取得极小值, 也即最小值 .
由 得 , 则 ,
令 则 在 上单调递减, 所以 . 即 ,
又 时, 时, , 故 在 上有
两个变号零点, 从而 有两个极值点. 所以, 满足题意.
综上所述, 有两个极值点时, 的取值范围是 .
11. 已知函数 .
(1) 若函数 在 上单调递减, 求实数 的取值范围;
(2) 若 , 求 的最大值.
【解析】（1）由题意知, 在 上恒成立, 所以 在 上恒成立.
令 , 则 ,
所以 在 上单调递增, 所以 ,
所以 .
(2) 当 时, .
则 ,
令 , 则 ,
所以 在 上单调递减.
由于 , 所以存在 满足 , 即 .
当 时, ; 当 , 时, .
所以 在 上单调递增, 在 上单调递减.
所以 ,
因为 , 所以 ,
所以 ,
所以 .
12. 已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程;
(2) 证明: .
【解析】 (1) 的定义域是 , ,
所以 , 又 , 则切线方程为 .
(2) 令 ,
则 ,
设 的两根为 , 由于 ,
不妨设 , 则 在 上是单调递减的, 在 上是单调递增的. 而 ,
所以 在 上存在唯一零点 , 且 ,
所以 在 上单调递减, 在 上单调递增.
所以 ,
因为 , 所以 .
13. 已知函数 .
(1)当 时,求 的单调区间;
(2)当 时, 证明: .
【解析】 (1) 当 时, ,
因为 , 故当 时, ;
当 时, ,
所以 在 上单调递减, 在 上单调递增.
(2) 当 时, ,
令 ,
则 ,
显然 在 上单调递增, 且 ,
所以 在 上存在唯一零点 ,
又当 时, , 当 时, ,
所以当 时, ,
由 , 得 ,
所以 ,
综上, 当 时, .
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