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第6讲 对数单身狗，指数找基友
知识与方法
对数单身狗：若题目中出现，我们在求的性质时，如果直接求导，导函数里面依然会有，这时需要求多次导，题目越来越复杂．为了解决这个问题，我们只有“狠心”拆散和，将提出来，使的系数为常数，次数为1，此时变成一个“单身狗”
指数找基友：若题目中出现，若我们直接求导，即，可见求导之后依然有，很难求出极值点．但我们可以使用做商的办法，构造一个，达到简化目的，增大极值点的可求性．所以，我们在证明大于或小于一个非超越式时，可以做商构造出，可以避免多次求导，这也是在给找基友．
为了更好地让同学们理解对数单身狗，指数找基友”，我们来看一道例题：
【例】求证：
【解法1】对数单身狗
我们将和分离开
∵，则原式可化为，即．
设，，
又∵，
令，解得．
∴当时，，递减
当时，，递增
则．
综上所述：．
【解法2】指数找基友
可以化为．
设
对求导：
则
又∵
令，解得．
∴当时，，递增
当时，，递减
则．
综上所述：．
对比这两种方法，有没有觉得思路开阔了很多？我们再来看几个题，让大家把这两种方法理解透彻．
典型例题
【例1】已知函数.
（1）当时,讨论的单调性;
（2）若有两个零点, 求的取值范围.
【解析】
【解法1】由题意,的定义域为,且.
(1)当时,,令,解得.
∴当时, 单调递减,
当 时, 单调递增.
∴在上单调递减,在上单调递增;
(2)当时,恒成立,在上单调递增,不合题意；当时, 令,解得,
当时,单调递减,
当时,单调递增.
∴的极小值也是最小值为.
又当时,,当时,.
∴要使有两个零点,只要即可,
则,可得.
综上,若有两个零点, 则的取值范围是.
【解法2】由题意可知,有两解
我们先来判断是否可以等于0:
当时,无解,不符合题意,所以
令,即有两个零点,
令,则,则在单调递增,在单调递减
又因为当时,时,,易得,解得.
【例2】已知函数.
(1)若时,求证：当时,;
(2)若不等式恒成立, 求实数的取值范围.
【解析】(1)证明：当时,,则,
欲证,即,故只需证明, 两边取对数, 即证,
该不等式显然成立,从而当时,;
(2)恒成立, 即恒成立,
设, 则,
只需讨论函数,
因为, 所以单调递增,
, 欲取一点,,使得,
因此,取,
因此在之间存在唯一零点, 使得,
则,
故在上单调递减,在 上单调递增,
所以,
设,则只需,即
此时, 由此可得实数的取值范围是.
【例3】已知函数为自然对数的底数.
(1)若存在, 使,求实数的取值范围;
(2)若有两个不同零点,证明：.
【解析】(1)【解法1】.
①若, 因为,则,此时在上单调递增.
当时,,不合题意.
②若,由,得,即,则在上单调递增, 在 上单调递减,
所以.
据题意,则,即,所以的取值范围是.
【解法2】当时, 由,得,即.
设,据题意,当时,能成立,
则.
因为,
则当时,单调递增；当时,单调递减.
所以, 故的取值范围是.
【解法3】要想证明, 即证
对求导,即
当,
时,单调递增
时,单调递减
则,
当时,,不符合题意
则当,
时,单调递减
时,单调递增
所以
由题意可知,,则 .
(2)由题设,,即,
则,
即.
要证,只要证, 即证, 即证.
不妨设,由(1)可知,,且,从而.
因为在上单调递减,所以只要证,即证 .设, 则
所以在上单调递增. 因为 , 则 ,
即,即,所以原不等式成立.
强化训练
1.已知函数有两个零点.
(1)求的取值范围；
(2)设是的两个零点,证明：.
【解析】(1)若 ,那么 , 函数 只有唯一的零点 2 , 不合题意;
(2) 若 , 那么 恒成立, 当 时, , 此时函数为减函数; 当 时, , 此时函数为 增函数; 此时当 时, 函数 取极小值一 , 由 , 可得: 函数 在 存在一个零点; 当 时, , 令 的两根为 , 且 , 则当 , 或 时, , 故函数 在 存在一个零点; 即函数 在 是存在两个零点, 满足题意;
(3) 若 , 则 , 当 时, , , 即 恒成立, 故 单调递增,
当 时, , 即 恒成立, 故 单调递减, 当 时, , 即 恒成立, 故 单调递增, 故当 时, 函数取极大值,
由 得 : 函数 在 上至多存在一个零点, 不合题意;
(4)若 , 则 , 当 时, ,
即 恒成立, 故 单调递增,
当 时, , 即 恒成立, 故 单调递增, 故函数 在 上单调递增,函数 在 上至多存在一个零点,不合题意;
(5)若 , 则 , 当 时, ,
即 恒成立, 故 单调递增,
当 时, ,
即 恒成立, 故 单调递淢,
当 时, ,
即 恒成立, 故 单调递增, 故当 时, 函数取极大值,
由 得 : 函数 在 上至多存在一个零点,不合题意;
综上所述, 的取值范围为 .
证明: (2) ∵ 是 的两个零点, ∴, 且 , 且 , ∴, 令 , 则 ,
∴$$ 当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增; 设 , 则 ,
设 , 则 恒成立, 即 在 上为增函数, 恒成立, 即 恒成立, 令 , 则 , 即 .
2.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若,求证：当时,.
【解析】(1) 依题意, 的定义域为 ,
(1) 当 时, 在 单调递减;
(2)当 时, 当 时, , 当 时, ,
∴ 在 单调递减, 在 单调递增;
(3)当 时, 当 时, , 当 时, ,
∴ 在 单调递增, 在 单调递减;
综上,当 时, 在 单调递减; 当 时, 在 单调递减,在 ,
单调递增; 当 时, 在 单调递增,在 单调递减;
(2) 当 , 要证明 , 即证明 ,
∵ 只需证明 , 即 ,
设 , 则 , 设 , 则 当 时, ; 当 时, ； ∴ 在 单调递减, 在 单调递增; ∴,
当 时, ; 当 时, 在 单调递减,在 单调递增 ∴ 当 时, .
3.已知函数,曲线在点处的切线方程为 .
(1)求的值；
(2)如果当,且时,,求的取值范围.
【解析】由题意 , 即切点坐标是
(1)
由于直线 的斜率为 , 且过点 , 故
即
(2) 由(I) 知 , 所以
.
考虑函数 , 则
.
（i）设 , 由 知, 当 时, . 而 , 故
当 时, , 可得 ;
当 时, , 可得
从而当 , 且 时, , 即 .
(ii) 设 . 由于当 时, , 故 , 而 , 故当 时, , 可得 , 与题设矛盾.
(iii) 设 . 此时 , 而 ,
故当 时, , 可得 , 与题设矛盾.
综合得, 的取值范围为 .
1第6讲 对数单身狗，指数找基友
知识与方法
对数单身狗：若题目中出现，我们在求的性质时，如果直接求导，导函数里面依然会有，这时需要求多次导，题目越来越复杂．为了解决这个问题，我们只有“狠心”拆散和，将提出来，使的系数为常数，次数为1，此时变成一个“单身狗”
指数找基友：若题目中出现，若我们直接求导，即，可见求导之后依然有，很难求出极值点．但我们可以使用做商的办法，构造一个，达到简化目的，增大极值点的可求性．所以，我们在证明大于或小于一个非超越式时，可以做商构造出，可以避免多次求导，这也是在给找基友．
为了更好地让同学们理解对数单身狗，指数找基友”，我们来看一道例题：
【例】求证：
【解法1】对数单身狗
我们将和分离开
∵，则原式可化为，即．
设，，
又∵，
令，解得．
∴当时，，递减
当时，，递增
则．
综上所述：．
【解法2】指数找基友
可以化为．
设
对求导：
则
又∵
令，解得．
∴当时，，递增
当时，，递减
则．
综上所述：．
对比这两种方法，有没有觉得思路开阔了很多？我们再来看几个题，让大家把这两种方法理解透彻．
典型例题
【例1】已知函数.
（1）当时,讨论的单调性;
（2）若有两个零点, 求的取值范围.
【例2】已知函数.
(1)若时,求证：当时,;
(2)若不等式恒成立, 求实数的取值范围.
【例3】已知函数为自然对数的底数.
(1)若存在, 使,求实数的取值范围;
(2)若有两个不同零点,证明：.
强化训练
1.已知函数有两个零点.
(1)求的取值范围；
(2)设是的两个零点,证明：.
2.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若,求证：当时,.
3.已知函数,曲线在点处的切线方程为 .
(1)求的值；
(2)如果当,且时,,求的取值范围.
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