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第8讲 恒成立问题与端点效应
知识与方法
在导数与函数的关系中, 定义区间的端点是一个重要的数值, 抓住这点, 深人探究, 用必要性推理, 很快能得到答案.
端点效应一般叙述: 若 , 且 恒大于等于 0 在 上恒成立, 则 的导数值大于等于 0 .
步骤: 1. 验证 . 必要性; 3. 充分性.
若高考试题中出现的恒成立问题中的函数不是多项式, 这些函数虽然在端点处的值为零, 但不能将它们分解, 对此需用以下知识点:
① 在[a, b]上恒成立, 若 , 则 ; 若 , 则 .
② 在[a, b]上恒成立, 若 , 则 ; 若 , 则 .
特别提醒: 这里的结论只是必要条件, 不一定是充分条件.
典型例题
【例1】设函数 , 其中 是 的导函数. 若 恒成 立, 求实数 的取值范围.
【例2】设函数 .
(1) 证明: 的导数 ;
(2) 若对所有 都有 , 求 的取值范围.
强化训练
v
1. 设函数 .
(1)若 , 求 的单调区间；
(2)若当 时 ,求 的取值范围.
2. 设函数 , 其中 .
(1)讨论 的单调性;
(2)求实数 的取值范围,使得 在区间 内恒成立 为自然对数的底数).
1第8讲 恒成立问题与端点效应
知识与方法
在导数与函数的关系中, 定义区间的端点是一个重要的数值, 抓住这点, 深人探究, 用必要性推理, 很快能得到答案.
端点效应一般叙述: 若 , 且 恒大于等于 0 在 上恒成立, 则 的导数值大于等于 0 .
步骤: 1. 验证 . 必要性; 3. 充分性.
若高考试题中出现的恒成立问题中的函数不是多项式, 这些函数虽然在端点处的值为零, 但不能将它们分解, 对此需用以下知识点:
① 在[a, b]上恒成立, 若 , 则 ; 若 , 则 .
② 在[a, b]上恒成立, 若 , 则 ; 若 , 则 .
特别提醒: 这里的结论只是必要条件, 不一定是充分条件.
典型例题
【例1】设函数 , 其中 是 的导函数. 若 恒成 立, 求实数 的取值范围.
【解析】依题意, , 由于 , 即 , 而 恒成立, 即 恒成立,
必要性：
此时令 , 即保证 , 当 时恒成立.
由于 , 故此时必须保证函数 在 上单调递增,
即保证 在区间 上恒成立, 而 ,
即函数 , 而 , 而要保证 在 恒成立, 故 0 , 即 .
充分性:
当 时, 函数 ,故函数 在 单调递增, 即 , 故当 时, 函数 在 恒成立, 即原命题成立,
故实数 的取值范围是 , 即 .
【例2】设函数 .
(1) 证明: 的导数 ;
(2) 若对所有 都有 , 求 的取值范围.
【解析】 (1) 证明: 的导数 .
由于 , 故 (当且仅当 时, 等号成立).
(2) 依题意, 若要对任意的 都有 恒成立, 即要保证 恒成立, 也就 是当 时 恒成立.
必要性：
此时令 , 由于 ,
要函数 在 内恒成立, 即保证 在 内单调递增,
也就是对于任意的 有 恒成立, 而 ,
且 , 故 , 即 .
充分性:
当 时, 函数 ,
故函数 在 内单调递增, 即 ,
即得到对任意 时, 函数 恒成立时实数 的取值范围是 .
强化训练
1. 设函数 .
(1)若 , 求 的单调区间；
(2)若当 时 ,求 的取值范围.
【解析】(1) 时, . 当 , 时
; 当 时, ; 当 时, . 故 在 上单调增加, 在 上单调减少.
（2）必要性 :
由于要求 时函数 恒成立, 而 , 故要保证函数 在 内单调递增, 即保证 函数 在 内恒成立. 而 , 故 , 即此时需保证函数 在 内单调递增, 即保证函数 在 内恒成立. 而 , 故 , 而要函数 在 内恒成立, 即 , 即 .
充分性：
当 时, , 令 ,
则 , 故函数 单调递增, 故 , 即 , 故此时 函数 单调递增, 即 , 故函数 单调递增, 即 ,
此时即可得到当 时, 函数 在 时恒成立, 即实数 的范围是 .
2. 设函数 , 其中 .
(1)讨论 的单调性;
(2)求实数 的取值范围,使得 在区间 内恒成立 为自然对数的底数).
【解析】 (1) 由题意, .
(1) 当 时, , 有 , 故 在 上单调递减.
(2) 当 时, 令 , 有 , 当 时, ;
当 时, .
故 在 上单调递减, 在 上单调递增.
（2）必要性：
由于要求函数 在区间 内恒成立, 故令 ,
即 , 即此时只要 在 恒成立.
由于 , 由于要保证 恒成立,
故要函数 在 内单调递增, 即函数 在 内恒成立.
而 , 故 , 而要 恒成立, 即 , 即 .
充分性:
当 时, 函数
.
(此处 需自己另行证明, 此处不予以详细证明)
令 , 故 .
当 时, , 故函数 单调递增, 即 ,
故函数 , 故函数 单调递增, 即 ,
此时即得到当 时, 函数 即 在 上恒成立.
综上所述, 得到实数 的取值范围为 .
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