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相关和回归分析
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线性回归分析
线性相关分析
直线回归分析的应用
课程内容
课程引入
在水环境监测中，水质指标的浓度通常不能直接测定，而需要借助其与易测定值间的线性关系推算出。在分析污染来源时，需要分析水质指标的浓度间是否有相关性，如：河流中氨氮的含量与COD的含量是否相关？依此判断二者污染来源是否相同。这些问题需要通过相关分析和回归分析来解决。
1.线性相关分析
相关分析是对变量之间线性关系的描述与度量。目的是通过图形和数值揭示两种事物间的统计关系的强弱程度。
相关分析步骤为：
绘制散点图
求相关系数；
对相关系数进行统计检验。
1.1 散点图
a-正线性相关： 一个变量增加或减少时，另一个变量也相应增加或减少；
b-负线性相关： 一个变量增加或减少时，另一个变量却减少或增加；
c-非线性相关：变量之间的关系近似地表现为一条曲线；
d-无相关：说明两个变量是独立的，即由一个变量值，无法预测另一个变量值。
两变量实验数据有n组：（x1, y1）; （x2, y2）; ┄ （xi, yi）┄ （xn, yn）；把这些数据以点的形式在直角坐标平面中显示即是散点图。右图所示两变量的关系总趋势有下列四种情况。
1.2 相关系数
相关系数是衡量两个变量之间线性相关程度的指标, 符号为r，其值在[-1,+1]之间。
最常用的相关系数是皮尔逊（Pearson）相关系数，计算公式为：
平均值
实测值
相关系数 r 与相关程度如下：
r = 0；无线性关系；
r = ±1 ，完全线性相关；
0 < | r | < 1时，大於某临界值时，线性相关性显著。
相关系数 r 与相关程度
x
通常采用英国统计学家戈赛特（Goset）以student笔名提出的t检验法，是对相关系数进行t抽样分布和假设检验，步骤如下：
计算t值，公式为：
查t值表（单侧检验）, 自由度n’= n-2，若检验水平α =0.01，查得t0.01, n’；
比较和判断：
若t计算 >t0.01, n’，表示P≤0.01 ， x、y的线性关系显著；
若t计算 < t0.01, n’,表示P＞0.01， x、y的线性关系不显著。
1.3 相关系数显著性检验
例1：用Ag-DDC法测定砷时，用砷标准溶液测得数据如下表，问实测数据的线性关系是否显著？
解： ∑x=29.50,∑y=0.874；
; ;
则
砷含量x/μg 0 0.50 1.00 2.00 3.00 5.00 8.00 10.00
吸光度y 0 0.014 0.032 0.060 0.094 0.144 0.230 0.300
=68.43；
查表，得t0.01 ，6 =3.14
t计算 >t0.01, n’ ，故： x、y 线性关系非常显著。
回归分析是考察变量之间的数量伴随关系，并通过建立变量之间的数学表达式将这种关系描述出来，进而确定自变量的变化对因变量)的影响程度，从而由自变量的取值预测因变量的可能值。
2.线性回归分析
根据自变量的数量或变量间的依存关系把回归模型分类如下图：
2.线性回归分析
自变量一个
自变量几个
直线回归分析为一元线性线性回归分析，是一个自变量（x)和一个因变量（y）数量依存关系的统计学方法。通过拟合回归方程来描述两变量的依存关系。
2.1 直线回归分析步骤
直线回归分析步骤
取得观察值：（xi，yi） （i = 1，2，3，…….，n）；绘制散点图。
若散点图成直线关系，可求回归方程；或通过最小二乘法求回归方程的截距和斜率。
对回归方程及回归系数进行显著性检验，若回归方程有统计学意义，画出回归直线，写出方程。
2.1 直线回归分析步骤
直线回归方程是一个二元一次方程，一般形式为：
式中： ：是因变量，为自变量x的
预估值，是直线上点的纵坐
标。
a：截距， a=0，直线过原点；
b：斜率，又称回归系数；自
变量化1个单位，因变量变
化个单位 。
最小二乘法原理：
拟合直线时，使各实测点的yi， （i = 1，2，3，…….，n）到拟合直线的估计点的yi 距离最短，用下面公式表达为：实测值 yi 与估计值 y’i之间残差平方和最小。
=最小
解方程：
得到a和b的计算公式如下：
=最小
b
a
2.2 判定系数
R2=1, 所有的观测点都在直线上。在一元线性回归中 ，判定系数R2与相关系数r2相等，R2=r2 ，开方后二者正负号相同.
拟合变差原因来自：
（1）自变量x的取值不同;
（2）其他因素，例如测量误差。
表示，等于回归偏差与总偏差之比。
预估值
平均值
实测值
2.3 回归分析显著性检验
回归分析显著性检验是检验回归方程是否真正描述了变量 y 与 x 之间的统计规律性。
对于一元线性回归来说，上述三种检验是等价的，只做一种检验即可。
回归系数b的检验（t 检验）;
回归方程的检验（F 检验）;
相关系数r的显著性检验(t检验）.
检验方法有：
2.4 回归方程的应用
在水环境监测中，常通过仪器测定值与待测物含量间的线性回归方程来达到目的。
如： 分光光度法中的浓度-吸光度校准曲线；
电位法中的浓度对数-电位值校准曲线；
色谱法中的浓度-峰面积（或峰高）校准曲线。
例2：下表中为酚含量和吸光度的实验数据，用线性回归方程表示酚含量与吸光度的关系，并检查方程是否有意义？
解：n = 6，
b
a
回归方程为： y = 0.013 + 3.40 x
计算相关系数：
=6.220
查值表，当 n = 6－2 = 4 时；α =0.01，
t0.01，4 =4.60
t计＞t查表，说明根据实测值得到的方程有显著性意义。
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