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第4章 统计数据分布特征的描述
学习目标
明确统计数据分布特征的描述方法，包括：集中趋势、离散程度、偏态及峰度的测度。
4.1 分布的集中趋势
4.1.1 位置平均数
众数和分位数（中位数、四分位数）
1）众数
众数是位置平均数，不受极端值的影响
一组数据可能没有众数或有几个众数；(无众数、复众数、单众数)
缺乏敏感性。这是由于众数的计算只利用了众数组的数据信息，不象数值平均数那样利用了全部数据信息
（1）未分组数据或单项式分组的众数
例：在某城市中随机抽取9个家庭，调查得到每 个家庭的人均月收入数据如下（单位：元），计算人均月收入的众数。
1780 1850 1780 1780 2850 1960 2000 1250 1630
思考：1、定性数据是否可以确定众数？
2、对于组距式分组的数值型数据，如何确定众数？
（2）组距式分组的众数
例：某会计师事务所审计时间频数分布表
解：由表可知，频数最大为8，所以众数在15～19 这一组，
于是L=15，U=19，i=4，Δ1=8-4=4，Δ2=8-5=3，则
2）中位数
（1）未分组数据或单项式分组的中位数
①变量值的个数为奇数
例：1，2，3，4，5，6，7的中位数
②变量值的个数为偶数
例：1，6，3，2，8，4，5，7的中位数
（2）组距式分组的中位数
例：某行业上市公司2015年每股净利润增长率资料如表所示，计算每股净利润增长率的中位数。
3）四分位数
思考：定性数据是否可以确定中位数和四分位数？
4.1.2 计算平均数
算术平均数、调和平均数、几何平均数、切尾均值
1）算术平均数
（1）简单算术平均数
例：某班组5名工人的月工资（元）分别为：1500、1860、2020、1740、1530，计算平均月工资。
（2）加权算术平均数
基本公式
影响加权算术平均数的因素：变量值和权数
选择权数的原则：变量值与其乘积是具有实际经济意义的标志总量。
加权算术平均数与简单算术平均数的关系：
当 时，
例：计算某车间工人月食品平均支出（单项式）
某班组工人平均支出的计算（单项式数列）
解：
支出(x) 工人数(f) 支出总额(xf)
800 2 1600
950 4 3800
1100 8 8800
1500 5 7500
2000 1 2000
合计 20 23700
（元）
例：计算某班组20名工人的平均奖金（组距式数列）
解：
权数对均值的影响
甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下
甲组： 考试成绩（x ）: 0 20 100
人数分布（f ）： 1 1 8
乙组： 考试成绩（x）: 0 20 100
人数分布（f ）： 8 1 1
2）调和平均数
（1）简单调和平均数
例：某农贸市场上白菜的价格是早晨1.50元/千克，中午1.25元/千克，晚上1.00元/千克。若早、中、晚各买1元钱的白菜，问所购买白菜的平均价格是多少？
（2）加权调和平均数
思考 ：某农贸市场上白菜的价格是早晨1.50元/千克，中午1.25元/千克，晚上1.00元/千克。若早、中、晚各买1斤的白菜，问所购买白菜的平均价格是多少？
某日三种蔬菜的批发成交数据 蔬菜 名称 批发价格(元) x 成交额(元) M 成交量(公斤)
f
甲 乙 丙 1.20 0.50 0.80 18000 12500 6400 15000
25000
8000
合计 — 36900 48000
例：某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格
练习1：某管理局所属的15个企业，2000年按其生产某产品平均单位成本的高低分组资料如下，试计算平均单位成本。
按平均单位成本分组 （元/件） 企业数 （个） 各组产量在总产量中所占的比重（%）
10~12 12~14 14~18 2 7 6 22
40
38
合计 15 100
试指出那个厂的总平均成本高，其原因何在？
品种 单位成本 （元） 总成本 一厂 二厂
甲 乙 丙 15 20 30 2100 3000 1500 3225
1500
1500
练习2：有两个工厂生产三种产品的单位成本和总成本资料如下：
练习3：计算某地区工业企业产值平均计划完成程度
计划完成% 企业数（个） 计划产值（万元）
90以下 7 140
90——100 22 310
100——110 57 1650
110——120 26 710
120以上 3 40
合计 115 2850
平均数计算方法的选择
（已知m、f）
(已知x、f）
(已知x、m）
原来只是计算时使用了不同的数据！
x
m
m
x
f
xf
x
f
m
x
S
S
=
S
S
=
S
S
=
3）几何平均数
（1）简单几何平均数
例：某企业产量逐年提高，2008年是2007年的108%，2009年比2008年增长10%，2010年是2009年的1.5倍。求平均发展速度。
（2）加权几何平均数
例：某银行某项10年期贷款利率按复利计算。该银行规定前两年利率为3%，第3年至第5年利率为5%，第6年至第10年利率为8%。求平均年利率。
4）切尾平均数（切尾均值）
例：某地方公务员面试共有9名考官，面试中考官给予某位考生的成绩分别为85分、76分、87分、73分、90分、95分、93分、91分和95分。要求：试用切尾均值计算这位考生的面试成绩。
解：观察原始面试成绩发现73分和95分为离群值，于是根据切尾均值的定义有：
（85+76+87+90+93+91+95）÷7=88.14（分）
4.1.3 众数、中位数和均值的关系
如果变量值分布呈对称型，则算术平均数、中位数和众数三者相等；
若不对称，则中位数必居中，算术平均数和众数分列两侧。
右偏 左偏
4.2 分布的离散程度
极差、方差和标准差、离散系数
衡量平均数代表性的大小
反映社会经活动过程的均衡性和节奏性
量度产品的稳定性
思考：有两个小组工人每月食品支出资料如下：
甲：500 600 700 800 900
乙：600 650 700 750 800
哪一组工人工资平均数的代表性大？
4.2.1 极差
极差(R)=最大标志值-最小标志值(原始数据)
R=最高组上限值-最低组下限值(组距数列)
4.2.2 平均差
例：某连锁超市A城市50家门店月销售额
解：
=8.552（万元）
4.2.3 方差和标准差
1）根据未分组资料计算方差和标准差
总体方差
总体标准差
样本方差
样本标准差
2）根据分组资料计算方差和标准差
总体方差
总体标准差
样本方差
样本标准差



例：某企业工人日加工零件数如下表，
计算工人日加工零件的标准差
按零件数分组（个）
组中值（X）
人数
（f）
105—110
110—115
115—120
120—125
125—130
130—135
135—140
107.5
112.5
117.5
122.5
127.5
132.5
137.5
3
5
8
14
10
6
4
246.49
114.49
32.49
0.49
18.49
86.49
204.49
739.47
572.45
259.92
6.86
184.90
518.94
817.96
合计
—
50
—
3100.5
解：
4.2.4 变异系数
消除了数据水平高低和计量单位的影响
例：甲、乙两商店营业员及销售额的分组资料如下:
甲商店 乙商店 组中值x 人数f xf 组中值x 人数f xf
25 35 45 55 65 3 12 9 6 —— 75 420 405 330 —— 768 432 144 1176 —— 25 35 45 55 65 —— 2 8 6 4 —— 70 360 330 260 ——
512
288
96
784
合计 30 1230 2520 合计 20 1020 1680
试问两个商店营业员平均销售额的代表性哪个大？
为什么
解:
4.3 分布的偏态与峰度
4.3.1 偏态及其测定（偏态系数）
未分组
已分组
SK=0 正态分布或对称
SK＞0 正偏或右偏
SK＜0 负偏或左偏
SK的绝对值越大，表示偏斜的程度就越大。
4.3.2 峰度及其测定（峰度系数）
未分组
已分组
K＝0 标准正态分布
K＜0 平坦峰，说明频数分布离散度高
K＞0 尖态峰，说明频数分布集中趋势显著
4.4 Excel描述分析
数据分布特征的各种描述性统计指标，其中多数可以通过Excel的统计函数【数据分析】工具中的【描述统计】命令得出计算结果。
上机实践
本章小结
1、集中趋势的描述：算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数、中位数
2、离散程度的描述 ：极差、平均差、方差与标准差以及变异系数的计算方法和应用
3、数据分布形态的描述：偏态系数、峰度系数
4、Excel在统计数据描述分析中的运用方法
THANKS

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