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2023-2024学年宁夏银川重点学校九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到新二次函数的图象，则新二次函数的解析式是( )
A. B. C. D.
2.一人乘雪橇沿坡比为：的斜坡笔直滑下，滑下的距离为米，则此人下降的高度为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
3.如图，菱形周长为，对角线、相交于点，是的中点，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为
( )
A. B. C. D.
5.如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为，当时，的取值范围是( )
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
6.如图，在的方格图中，的顶点均在格点上，下列选项中的格点三角形阴影部分与相似的是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图是二次函数图象的一部分，是对称轴，有下列判断：
；
；
；
；
其中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.二次函数的顶点坐标为 ．
10.如图，在中，，：：，，则的长是______．
11.已知反比例函数的图象上有两点、，当时，有，则的取值范围是______．
12.若点在反比例函数的图象上，其中，是方程的两根，则 ______．
13.如图，小明一家自驾到古镇游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇，小明发现古镇恰好在地的正北方向，则，两地的距离______千米．
14.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是______结果保留．
15.如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点、，连接、，若，，则图中阴影面积为______．
16.如图，矩形的边在轴上，在轴上，点，把矩形绕点逆时针旋转使点恰好落在边上的处，则点的对应点的坐标为______．
三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
如图所示的网格中，每个小方格都是边长为的小正方形，，
把绕点按顺时针旋转后得到，请画出这个三角形并写出点的坐标；
以点为位似中心放大，得到，使放大前后的面积之比为：，请在下面网格内出．
19.本小题分
甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有三个种类的奶制品：：纯牛奶，：酸奶，：核桃奶；伊利品牌有两个种类的奶制品：：纯牛奶，：核桃奶．
甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是______；
若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请用列表法或画树状图法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．
20.本小题分
如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点．
求证：∽；
若，，求的长．
21.本小题分
如图，菱形的对角线和交于点，分别过点、作，，和交于点．
求证：四边形是矩形；
当，时，求的长．
22.本小题分
抛物线经过点和点，且这个抛物线的对称轴为直线，顶点为．
求抛物线的解析式；
连接、、，求的面积．
23.本小题分
某商城在年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个元，标价为每个元．
商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个元的价格售出，求商城每次降价的百分率；
市场调研表明：当每个售价元时，平均每天能够售出个，当每个售价每降元时，平均每天就能多售出个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？
24.本小题分
在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度，方法如下：如图，首先在测量点处用高为米的测角仪测得人民英雄纪念碑顶部的仰角为，然后在测量点处用同样的测角仪测得人民英雄纪念碑顶部的仰角为，最后测量出，两点间的距离为，并且，，三点在一条直线上，连接并延长交于点，请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑的高度．参考依据：，，
25.本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，且．
求一次函数与反比例函数的表达式；
已知点在轴上，且的面积是，求此时点的坐标；
请直接写出不等式中的解集．
26.本小题分
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向向点匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接，设运动时间为．
写出，两点的坐标；
设的面积为，试求出与之间的函数关系式；并求出当为何值时，的面积最大？
当为何值时，以点，，为顶点的三角形与相似，并直接写出此时点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到新二次函数的图象，则新二次函数的解析式是：，
即．
故选：．
根据函数图象平移的法则解答即可．
本题考查的是二次函数图象的平移，解题的关键是掌握其平移规律，“左加右减，上加下减”．
2.【答案】
【解析】解：斜坡的坡度：，
，
，
米，
故选：．
根据坡度与坡角的关系、特殊角的三角函数值求出，再根据含角的直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：四边形为菱形，
，且为的中点，
为的中点，
为的中位线，
，
故选：．
由菱形的性质可先求得菱形的边长，再由三角形中位线定理可求得的长．
本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的四条边都相等、对角线互相垂直平分是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：画树状图如图：
共有种等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有个，
小李获胜的概率为；
故选A．
画出树状图，共有种等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有个，即可得出答案．
本题考查了画树状图求概率，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
、两点关于原点对称．
点的横坐标为，
点的横坐标为．
由函数图象可知，当或时函数的图象在的下方，
当时，的取值范围是或．
故选：．
由反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，得到、两点关于原点对称，由点的横坐标得到点的横坐标；由图象可得或时，，或时，，至此，相信你能解答本题了．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想求出时的取值范围是解答此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：在中，，，，：，
选项中，三条线段的长为，，，因为，此三角形为直角三角形，长直角边与短直角边的比为，所以选项的方格中所画格点三角形阴影部分与相似；而选项中长直角边与短直角边的比为，、选项中的两直角边的比为：．
故选：．
利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
7.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴是直线，
，
即，
抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，
，
，所以正确；
，
，所以正确；
抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
当时，，
即，所以错误；
时，，
，
，
，
，
，所以正确．
故选：．
由抛物线开口方向得到，由抛物线的对称轴方程得到，由抛物线与轴的交点位置得到，所以，从而可对进行判断；利用可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，所以当时，，则，从而可对进行判断；由于时，，所以，把代入得到，从而可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左侧；当与异号时，对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定．
8.【答案】
【解析】解：如图作轴于，延长交轴于，
四边形是平行四边形，
，，
轴，
，
在和中，
，
，
根据系数的几何意义，，
四边形的面积为．
故选C．
根据平行四边形的性质和反比例函数系数的几何意义即可求解．
本题考查反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、以及平行四边形的性质．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式求顶点坐标是解题的关键．
把二次函数解析式转化成顶点式，然后写出顶点坐标即可．
【解答】
解：，
顶点坐标为．
故答案为．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键．
由平行可得对应线段成比例，即：：，再把数值代入可求得．
【解答】
解：，
，
：：，，
，
解得．
故答案为：．
11.【答案】
【解析】解：当时，有，
图象位于一、三象限，此时，
所以，解不等式得．
故答案为：．
考查反比例函数图象的特点，当时，图象在一三象限，时，图象在二四象限解答．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，注意值对函数图象的作用，画出可能情况，判断的正负．
12.【答案】
【解析】解：点在反比例函数的图象上，
，
，是方程的两根，
，即．
故答案为：．
先把点代入反比例函数，再根据根与系数的关系求出的值即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
13.【答案】
【解析】解：过作于点．
在中，，，，
千米，
在中，，
，
，
千米，
，
千米．
答：，两地的距离是千米，
故答案为：．
过作于点，在中利用三角函数求得的长，然后在中，利用勾股定理即可求得的长．
此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，将方向角问题转化为解直角三角形的知识求解是解决问题的关键．
14.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
由三视图可知该几何体是个半圆柱，且半圆柱的底面半径是，高是，根据表面积的计算公式求解即可．
本题考查的是一道由三视图求几何体的表面积的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状．
15.【答案】
【解析】解：过点作分别交、于点、，
由矩形性质可知，
，，，
，
即，
，即．
，，
．
即图中阴影面积为．
故答案为：．
过点作分别交、于点、，证明，从而，即，求出的值即可求出整个阴影部分的面积．
本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质定理是解题关键．
16.【答案】
【解析】解：过点作轴于点，过点作轴于点，
由题意可得：，
，
由旋转得四边形是矩形，且，，
，
，
，
则∽，
，
点，
，，
，，
，
，
设，，则，
，
则，，
则，，
点的对应点的坐标为：，
故答案为：
直接利用相似三角形的判定与性质得出三边关系，再利用勾股定理得出答案．
此题主要考查了矩形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，正确得出∽是解题关键．
17.【答案】解：原式
；
，
，
或，
所以，．
【解析】先利用特殊角额三角函数值得到原式，然后进行二次根式的混合运算；
先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了特殊角的三角函数值．
18.【答案】解：如图所示：，即为所求，点的坐标为：；
如图所示：．
【解析】直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
利用位似图形的性质进而得出对应点位置即可得出答案．
此题主要考查了位似变换和旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
19.【答案】
【解析】解：甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是，
故答案为：；
列表如下：
由表知，共有种等可能结果，其中两人选购到同一种类奶制品的有种结果，
所以两人选购到同一种类奶制品的概率为．
根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．
20.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，，
∽，
故∽得证．
解：由知∽，
，
而是边的中点，且，，
，，
，
而，
，，
故CF的长为．
【解析】根据矩形对边平行，有，可知∽；
根据相似三角形的性质可得，再利用已知线段的长代入即可求出的长．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例即可利用已知线段求出未知线段的长度．
21.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形．
又菱形，
，
．
四边形是矩形；
解：中，，
，
，，
，，
．
【解析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．
先证四边形是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到，根据矩形的定义即可判定四边形是矩形；
根据含度角直角三角形的性质、勾股定理来求的长度即可．
22.【答案】解：抛物线经过、，
，
解得
抛物线的解析式为；
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
把代入，则，
则点坐标为，
设线段所在直线为，
则
直线的解析式为，
设抛物线的对称轴与直线交于点，
设点的坐标为，
将点代入，
解得，
点坐标为，
，
过点作于点，
，
，
．
【解析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、待定系数法求一次函数的解析式，用割补法求三角形面积，以及二次函数的图象和性质．
利用待定系数法求抛物线解析式；
利用割补法求三角形的面积．
23.【答案】解：设商城每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：商城每次降价的百分率为．
设每个商品应降价元，则平均每天可售出个，
则利润：，
整理得：，
当时，获得利润最大，最大为元，
此时每个商品的定价为元，
答：要想获得最大利润，每个商品的定价为元，最大利润是元．
【解析】设商城每次降价的百分率为，利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
设每个商品应降价元，则平均每天可售出个，利用销售利润售价进价销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合要想获得最大利润，即可得出每个商品的定价，从而求得最大利润是．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24.【答案】解：由题意得四边形、是矩形，
，，
在中，，，
，
设，则，
在中，，，
，
，
解得：，
，
，
答：人民英雄纪念碑的高度约为米．
【解析】在中，由知，据此设，则，在中，由知，解之求得的值，根据可得答案．
本题考查了解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识解题．
25.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数解析式为；
，，点在轴负半轴上，
点．
把点、代入中，
得，解得：，
一次函数的解析式为；
设点的坐标为，令直线与轴的交点为，如图所示．
令中，则，
，
，
解得：或．
故当的面积是时，点的坐标为或；
观察图象，由点的坐标可知，不等式中的解集为．
【解析】由点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出值，从而得出反比例函数解析式；由勾股定理得出的长度从而得出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式；
设点的坐标为，令直线与轴的交点为，根据三角形的面积公式结合的面积是，可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出值，从而得出点的坐标；
观察第一象限双曲线在直线下方的部分自变量的范围即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、三角形的面积以及平行四边形的面积，解题的关键是：利用待定系数法求出函数解析式；找出关于的含绝对值符号的一元一次方程．
26.【答案】解：令，则，
解得，
时，，
，，
点，；
在中，由勾股定理得，，
点的速度是每秒个单位，点的速度是每秒个单位，
，
，
点到的距离为，
的面积，
，，
当时，的面积最大，；
若，则，
，
解得，
若，则，
，
解得，
，
的值为，
此时，，
，
点的坐标为，
综上所述，秒时，以点，，为顶点的三角形与相似，此时点的坐标为
【解析】分别令，求解即可得到点、的坐标；
利用勾股定理列式求出，然后表示出、，再利用的正弦求出点到的距离，然后利用三角形的面积列式整理即可得解；
根据相似三角形对应角相等，分和两种情况，利用的余弦列式计算即可得解．
本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求法，三角形的面积，二次函数的最值问题，相似三角形对应角相等的性质，锐角三角函数，要注意根据的取值范围求三角形的面积的最大值，难点在于要分情况讨论．
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