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第五章：曲线运动
第 1 节：曲线运动的一般处理方法
§5.1 曲线运动
1，本章整体思路：
通过认识曲线运动，然后找到研究曲线运动的一般方法，最后在详细研究曲线运动的两个特例：平抛运动和圆周运动。
2，曲线运动主要涉及物理量有三个：
位移、速度、加速度（或者说力）。
§5.1.1位移
1，曲线运动的概念：物体运动轨迹是曲线的运动。
2，曲线运动的位移：我们通过建立直角坐标系来认识。
如下图，物体由A位置运动到B位置的轨迹为，则位移可以表示为由A指向B的有向线段。我们可以把曲线运动的位移分解成水平方向上的直线运动和竖直方向上的直线运动。
水平方向即在x轴方向上运动了
竖直方向即在y轴方向上运动了
这就是位移的分解
【随当练习】
1，一质点在平面直角坐标系中由A点（3m，5m）运动到B点（4m，7m），求物体的位移？水平方向位移为多少？竖直方向位移为多少？
2，若一质点在平面直角坐标系中运动，其轨迹满足：y=3x2，则物体由原点位置开始运动，当水平方向运动2m时，则物体运动的位移是多少？
§5.1.2速度（主要指的是瞬时速度）
1，曲线运动的速度方向：质点在某一点的速度方向，沿着曲线在该点切线方向。并且速度方向时刻发生变化。
2，曲线运动的速度：比如物体由A运动到C，轨迹如下，现在我们来分析中间的B点的速度，由于B点的速度是沿着切线，如下图，用 VB来表示，我们可以采用类似研究位移的方法，在B点建立直角坐标系，这里横轴是Vx，纵轴为Vy，对VB分别在横轴和纵轴上进行分解，如下图，因此，对于VB，我们可以分解为VBx和VBy，这就是速度的分解。
3，曲线运动的速度的变化：两个速度的起始位置相同时，速度的变化可以用初速度的末位置指向末速度的末位置的有向线段来表示。
【随当练习】
1，一物体在某一时刻有向东为3m/s的速度运动，同时又有向北为4m/s的速度运动，则物体的实际速度是多少？
2，一物体初始速度为1m/s向东运动，经过1s时间，速度变为向北为m/s，则物体在这1s内，速度的变化是多少？
§5.1.3加速度
1，加速度方向问题：
由牛顿第二定律，我们知道加速度的方向与合外力的方向相同，因此加速度的方向就是合外力的方向。研究加速度方向的问题，我们就可以转化成合外力方向的问题。根据大量事实，我们可以得到：当物体所受合外力的方向与它的速度方向不在同一条直线上时，物体就做曲线运动。
2，物体做曲线运动的条件
物体受到的合外力与速度不共线。（动力学条件）
或物体的加速度与速度不共线。（运动学条件）
3，加速度也可以像位移和速度那样分解，这不是本节的重点，也不常用，在这里不再叙述。
总结：研究曲线运动的一般方法是：对物体的位移和速度进行垂直分解，使之变成两个直线运动。对于直线运动我们在必修一中已经详细地讨论了。
需要注意：实际上对于位移和速度的分解与合成问题，不必要非要垂直分解，只要满足平行四边形定则或三角形定则都可以，只不过垂直分解是一种常用的方式。
【课后练习】
1，关于运动的合成的说法中，正确的是 （ ）
A．合运动的位移等于分运动位移的矢量和
B．合运动的时间等于分运动的时间之和
C．合运动的速度一定大于其中一个分运动的速度
D．合运动的速度方向与合运动的位移方向相同
2，物体在几个力的作用下处于平衡状态，若撤去其中某一个力而其余力的性质（大小、方向、作用点）不变，物体的运动情况可能是 （ ）
A．静止 B．匀加速直线运动 C．匀速直线运动 D．匀速圆周运动
【课后练习】
3,(多选)某质点做曲线运动时 （ ）
A,在某一点的速度方向在该点曲线的切线方向
B,在任意时间内，位移的大小总是大于路程
C,在某段时间里质点受到的合外力可能为零
D,速度的方向与合外力的方向必不在同一直线上
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A，仍然沿着汽车行驶的弯道运动
B，沿着与弯道垂直的方向飞出
C，沿着脱离时，轮子前进的方向做直线运动，离开弯道
D，上述情况都有可能
§5.1.4曲线运动的特点
1，物体运动的轨迹是一条曲线。
2，物体的速度方向时刻发生变化。
3，物体的速度和合外力方向不在同一条直线上。
＊下面三点如果现在难以理解，先牢记，等到我们学到第七章能量以后，很方便就能理解。
(1)当合外力方向与速度方向垂直时，物体做速度的大小不变的曲线运动。
(2)当合外力方向与速度方向呈锐角时，物体做速度大小不断增加的曲线运动。
(3)当合外力方向与速度方向呈钝角时，物体做速度大小不断减小的曲线运动。
4，物体的轨迹介于速度和合外力两个方向之间，且由速度方向向合外力方向一侧弯曲，但速度方向永远不能与合外力方向平行。
【理解1】：
1，当合外力方向与速度方向垂直时，物体做速度的大小不变的曲线运动。
答：我们可以想象一下：一根绳拉着一个石子绕中间某一点在水平面内做速度大小不变的圆周运动，根据常识我们知道绳的拉力不变，速度大小不变，而速度的方向在不断变化。
因此，我们又可以这样表述：
垂直于速度方向上的力，不改变速度的大小，仅改变速度的方向！
【理解2】：
2，当合外力方向与速度方向呈锐角时，物体做速度大小不断增加的曲线运动。
答：
【理解3】：
3，当合外力方向与速度方向呈钝角时，物体做速度大小不断减小的曲线运动。
答：
【理解4】：
4，物体的轨迹介于速度和合外力两个方向之间，且由速度方向向合外力方向一侧弯曲，但速度方向永远不能与合外力方向平行。
理解：这一条特点，我们暂时根据我们的日常经验来理解。
规范的说明，比较复杂，等我们学完了平抛运动，我们会不讲自通。
在这里不过多说明。
【例题：1/3】
例1，(多选)一质点在xOy平面内从O点开始运动的轨迹如图所示,则质点的速度（ ）
A. 若x方向始终匀速，则y方向先加速后减速
B. 若x方向始终匀速，则y方向先减速后加速
C. 若y方向始终匀速，则x方向先减速后加速
D. 若y方向始终匀速，则x方向先加速后减速
【例题：2/3】
例2，质量m=2kg的物体在光滑平面上运动，其分速度vx和vy随时间变化的图象如图所示。求：
（1）物体受到的合力和初速度；
（2）t=8s时物体的速度；
（3）t=4s时物体的位移；
（4）物体的运动轨迹方程。
【例题：3/3】
例3，一个物体在光滑的水平面上以初速度v做曲线运动,已知物体在运动中只受水平恒力作用,其轨迹如图所示,则物体在由M点运动到N点的过程中,速度的变化情况是( )
A. 逐渐增大
B. 逐渐减小
C. 先增大后减小
D. 先减小后增大
【课后练习】
5.(是单选)一个质点在恒力F作用下，在xOy平面内从O点运动到A点的轨迹如图所示，且在A点的速度方向与x轴平行，则恒力F的方向可能（ ）
A.沿x轴正方向 B.沿x轴负方向 C.沿y轴正方向 D.沿y轴负方向
【课后练习】
6.在光滑水平面上有一质量为2kg的物体，受几个共点力作用做匀速直线运动。现突然将与速度反方向的2N力水平旋转90度，则关于物体（ ）
A. 物体做速度大小不变的曲线运动
B. 物体做加速度为在2m/s2的匀变速曲线运动
C. 物体做速度越来越大的曲线运动
D. 物体做非匀变速曲线运动，其速度越来越大
7.做曲线运动的物体，在运动过程中一定变化的物理量是（ ）
A.速度 B.加速度 C.速率 D.合外力
知识点1曲线运动的速度及其运动性质
1.曲线运动的速度方向
质点做曲线运动时，速度的方向是时刻改变的，质点在某一时刻(或某一位置)速度的方向与这一时刻质点所在位置处曲线的切线方向一致。
知识点1曲线运动的速度及其运动性质
实例:在砂轮上磨刀具时，刀具与砂轮接触处有火星沿砂轮接触点的切线方向飞出:撑开的带着水的伞绕伞柄旋转时，伞面上的水滴沿伞边各点的切线方向飞出。
特别提示
物体沿曲线运动时，在某一位置，速度方向是唯一的，如图所示，物体由A点运动到B点时，在O点的速度v0的方向只能如图中O点的切线方向所示。
知识点1曲线运动的速度及其运动性质
知识点1曲线运动的速度及其运动性质
2.理论推导曲线运动速度的方向
分析曲线运动中一段时间内的平均速度，当时间段取得越来越小时，平均速度方向(由A指向B)逐渐向曲线在该点(A)的切线方向逼近，当时间段△t足够小时，割线的方向就近似等同于该点(A)的切线方向，即质点在某一点(A)的速度方向就在该点(A)的切线方向上。
知识点1曲线运动的速度及其运动性质
3.曲线运动的性质
速度方向 曲线上某点的切线方向
运动性质 由于速度方向不断发生变化，故曲线运动一定是变速运动
说明 ①曲线运动可能是匀变速运动(a恒定)，也可能是非匀变速运动;②变速运动不一定是曲线运动;③曲线运动中位移的大小小于路程
知识点2物体做曲线运动的条件
1.物体做曲线运动的条件
当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
知识点2物体做曲线运动的条件
2.根据力和速度方向的关系分析物体的运动特点
F与v方向的关系 运动特点
F与v的方向在一条直线上 直线运动
F与v的方向始终垂直 圆周运动，速度大小不变，方向时刻变化
F与方向的夹角0°<θ<90° 速度变大方向时刻变化的曲线运动
F与v方向的夹角90° <θ< 180° 速度变小、方向时刻变化的曲线运动
知识点2物体做曲线运动的条件
如图所示,我们将物体所受合力沿速度方向和垂直于速度方向分解成两个分力F1和F2，F1的作用效果是使物体的速度大小发生变化，F2的作用效果是使物体的速度方向发生变化。
知识点2物体做曲线运动的条件
曲线运动的轨迹特点
做曲线运动的物体，总是要受到与运动方向不在同一直线上的力的作用，使其运动轨迹发生改变,其改变后的轨迹夹在运动的方向与合力的方向之间，且向合力一侧弯曲，即合力指向运动轨迹的凹侧，如图所示。
易错1.对平衡状态理解有误
例1：物体受到几个恒力的作用处于平衡状态，若再对物体施加一个恒力，则物体可能(　　)
A.做匀速直线运动
B.做匀变速直线运动
C.静止
D.做匀变速曲线运动
解析
答案：物体处于平衡状态，则物体可能静止或做匀速直线运动，若物体静止，当施加一恒力时，物体做匀变速直线运动，B正确；若物体做匀速直线运动，当施加的恒力与速度在一条直线上时，物体做匀变速直线运动，若恒力与速度不在一条直线上，则物体做匀变速曲线运动，由以上分析知A、C错误，D正确.
易错1.对平衡状态理解有误
例2：质点在三个恒力F1、F2、F3的共同作用下保持平衡状态，若突然撤去F1，保持其他力不变，则质点(　　)
A.一定做匀变速运动
B.一定做直线运动
C.一定做非匀变速运动
D.可能做曲线运动
解析
质点在恒力作用下产生恒定的加速度，加速度恒定的运动一定是匀变速运动.由题意可知，当突然撤去F1时，质点受到的合力大小等于F1的大小，方向与F1的方向相反，故选项A正确，选项C错误；在撤去F1之前，质点保持平衡，有两种可能：一是质点处于静止状态，则撤去F1后，质点做匀变速直线运动；
解析
二是质点处于匀速直线运动状态，则撤去F1后，质点可能做直线运动(条件是：F1的方向和速度方向在同一条直线上)，也可能做曲线运动(条件是：F1的方向和速度方向不在同一条直线上)，故选项B错误，选项D正确.
易错2.不能正确理解物体作直线运动和曲线运动的条件而致错
例：在光滑平面上的一运动质点以速度v通过原点O，v与x轴成α角(如图7所示)，与此同时，质点上加有沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy，则(　　)
易错2.不能正确理解物体作直线运动和曲线运动的条件而致错
A.因为有Fx，质点一定做曲线运动
B.如果Fy>Fx，质点向y轴一侧做曲线运动
C.如果Fy＝Fxtan α，质点做直线运动
D.如果Fy解析
答案：质点所受合外力方向与速度方向不在同一直线上时，质点做曲线运动；若所受合外力始终与速度同方向，则做直线运动.若Fy＝Fxtan α，则Fx和Fy的合力F与v在同一直线上(如图所示)，此时质点做直线运动；若Fy，则Fx、Fy的合力F与x轴的夹角β<α，则质点偏向x轴一侧做曲线运动.
1．关于曲线运动，下列说法中正确的是（　　）
A．物体所受的合力方向和速度的方向有夹角（夹角不为0°或180°）时，物体一定做曲线运动
B．变速运动一定是曲线运动
C．物体的加速度可以为零
D．恒力作用下物体不可能做曲线运动
A．曲线运动的条件为：物体所受合力的方向与速度方向不在同一条直线上，即物体所受的合力方向和速度的方向有夹角（夹角不为0°或180°），故A正确；
B．变速运动也可能是直线运动，如匀加速直线运动，故B错误；
C．曲线运动为变速运动，所受合力一定不为零，加速度一定不为零，故C错误；
D．物体在恒力作用下可能做曲线运动，只要合力的方向与速度的方向不在同一直线上即可，故D错误。
故选A。
2．在地面附近下落的雨滴做曲线运动的原因可能是（　　）
A．雨滴受重力
B．雨滴受重力、恒定浮力和空气阻力
C．雨滴受重力、水平的风力和空气阻力
D．雨滴受空气提供的变化的浮力和空气阻力
ABD．雨滴在竖直方向受重力G和浮力F浮，且G>F浮时沿竖直方向下落，因为空气阻力f与运动方向相反，所以G、F浮、f均不可能使雨滴做曲线运动，故ABD错误；
C．只有水平的风力才能使雨滴所受合力不在竖直方向上，从而做曲线运动，故C正确。
故选C。
3．如图所示，物体沿曲线由a点运动至b点，关于物体在ab段的运动，下列说法正确的是（　　）
A．物体的速度可能不变
B．物体的加速度可能为零
C．a点的速度方向由a指向b
D．ab段的位移大小一定小于路程
A．做曲线运动的物体的速度方向时刻改变，故速度一直在变，A错误；
B．做曲线运动的物体速度在变化，加速度必定不为零，B错误；
C．ɑ点的速度方向沿ɑ点的切线方向，C错误；
D．做曲线运动的物体的位移大小必小于路程，D正确。
故选D。

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