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7.4 二项分布与超几何分布【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 利用二项分布求分布列】 1
【题型2 服从二项分布的随机变量概率最大问题】 3
【题型3 二项分布的均值与方差】 4
【题型4 二项分布的实际应用】 6
【题型5 超几何分布的判断】 11
【题型6 超几何分布的均值】 13
【题型7 超几何分布的方差】 15
【题型8 二项分布与超几何分布的综合应用】 18
【知识点1 二项分布】
1．伯努利试验
(1)伯努利试验的概念
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
(2)n重伯努利试验的两个特征
①同一个伯努利试验重复做n次；
②各次试验的结果相互独立.
2．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p).
3．二项分布的期望与方差
一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).
【题型1 利用二项分布求分布列】
【例1】（2023上·辽宁·高二校联考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据二项分布的知识求得正确答案.
【解答过程】因为，所以．
故选：B．
【变式1-1】（2023·全国·高二专题练习）已知随机变量服从二项分布，则等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由二项分布的概率公式计算．
【解答过程】．
故选：D．
【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出．
【解答过程】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为．从中取3次，为取得次品的次数，则,
，
故选：D．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）设随机变量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先建立方程求出，再计算即可.
【解答过程】解：因为随机变量，，
所以，则，
因为，即，解得
随机变量中，
，
故选：A．
【题型2 服从二项分布的随机变量概率最大问题】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）若X～B，则使P（X＝k）最大的k的值是（ ）
A．2 B．3 C．4或3 D．4
【解题思路】若最大，则，据此进行求解即可.
【解答过程】，得.
所以当时，，
当时，，则
从而或4时，取得最大值.
故选：C.
【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）某人在11次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则k＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解题思路】若最大，则，解出的范围，代入数值.
【解答过程】因为 ，若最大，则
，化简得： ， .
代入已知数值得： ，所以 时最大.
故选：C.
【变式2-2】（2023·高二课时练习）已知，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据可得到方程，求得，结合n的取值，可得答案.
【解答过程】由题意可知，
因为，所以，
整理得，即，
又，且，所以，
故选：B.
【变式2-3】（2023下·湖北武汉·高二校考期末）设随机变量，记，，下列说法正确的是（ ）
A．当k由0增大到n时，先增后减，在某一个（或两个）k值处达到最大.二项分布当时是对称的，当时向右偏倚，当时向左偏倚
B．如果为正整数，当且仅当时，取最大值
C．如果为非整数，当且仅当k取的整数部分时，取最大值
D．
【解题思路】由可得，分析可判断BC选项，进而根据二项分布的图象性质可判断A选项；根据二项分布的期望公式可判断D选项.
【解答过程】因为，，，
由，得，
解得，
若为正整数，则或时，取最大值，故B错误；
若为非整数，则取的整数部分时，取最大值，故C正确；
综上所述，当k由0增大到n时，先增后减，在某一个（或两个）k值处达到最大.
根据二项分布的图象性质可得，当时是对称的，当时向左偏倚，当时向右偏倚，故A错误；
而，故D错误.
故选：C.
【题型3 二项分布的均值与方差】
【例3】（2023下·辽宁鞍山·高二校联考期中）在3重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生的次数X的期望和方差分别为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【解题思路】根据题意得到，结合题设条件求得，结合期望和方差的公式，即可求解.
【解答过程】设事件在每次试验中发生的概率为，则，
因为事件至少发生一次的概率为，可得，解得，
所以，所以.
故选：D.
【变式3-1】（2023下·江西抚州·高二校考阶段练习）设随机变量，则下列说法不正确的有（ ）
A． B．
C．的数学期望 D．的方差
【解题思路】根据已知条件，结合n次独立重复试验的概率公式，以及二项分布的期望和方差公式判断即可.
【解答过程】因为随机变量，所以，故A正确；
，，
，故B不正确；
X的数学期望，故C正确；
X的方差，故D正确.
故选：B.
【变式3-2】（2023下·江苏徐州·高二统考期中）两组各有3人独立的破译某密码，组每个人成功破译出该密码的概率为，组每个人成功破译出该密码的概率为，记两组中成功破译出该密码的人数分别为，若，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题意分析，均服从二项分布，利用二项分布的均值和方差公式直接求得.
【解答过程】由题意可知：服从二项分布，所以.
同理：服从二项分布，所以.
因为，所以，所以.
对于二次函数，对称轴，所以在上函数单调递增，
所以当时，有，即.
故选：C.
【变式3-3】（2023下·辽宁·高二东北育才学校校联考期末）已知某疾病的某种疗法治愈率为80%.若有100位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．存在，使得成立
【解题思路】根据二项分布的概率公式、期望与方差公式及期望与方差的性质计算即可逐一判定.
【解答过程】由题意可得，
则，
所以，，故AC错误；
由二项分布的概率公式得，故B正确；
，
若，
则，
化简得，解得，与条件矛盾，即D错误.
故选：B.
【题型4 二项分布的实际应用】
【例4】（2023上·河南·高三校联考开学考试）小明参加一项答题活动，需进行两轮答题，每轮均有道题．第一轮每道题都要作答；第二轮按次序作答，每答对一题继续答下一题，一旦答错或题目答完则结束答题．第一轮每道题答对得5分，否则得0分；第二轮每道题答对得20分，否则得0分．无论之前答题情况如何，小明第一轮每题答对的概率均为，第二轮每题答对的概率均为．设小明第一轮答题的总得分为，第二轮答题的总得分为．
(1)若，求；
(2)证明：当时，．
【解题思路】（1）设小明第一轮答对的题数为，则，从而求出，再根据求出；
（2）设小明第二轮答对的题数为，求出的可能取值及可能取值，得到，利用错位相减法求和，再根据求出，从而比较出当时，.
【解答过程】（1）设小明第一轮答对的题数为，
由条件可知，则，
因为，所以，
因此，当时，．
（2）设小明第二轮答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，…，n，
且，，，…，
，．
所以，①
，②
①－②得，
所以 ．
因为，所以．
当时，，，
即得证．
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：
心理价位（元/件） 90 100 110 120
人数 10 20 50 20
假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x（单位：元/件），，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.
(1)若，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望；
(2)假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y（单位：元），当该纪念品的销售价格x定为多少时，Y的数学期望达到最大值？
【解题思路】（1）由调查表得出每个人购买纪念品的概念为，而，由二项分布计算概率的分布列，由二项分布的期望公式得期望；
（2）利用二项分布的期望公式求出时的期望，比较得最大值．
【解答过程】（1）时，消费者购买该纪念品的概率，
由题意，，，
，同理，，，，
的分布列为：
0 1 2 3 4
；
（2）由（1）知时，（时等号成立），
时，（时等号成立），
时，（时等号成立），
，因此 最大，此时．
所以当该纪念品的销售价格定为110元多少时，Y的数学期望达到最大值．
【变式4-2】（2023上·全国·高三校联考开学考试）一个不透明口袋里有大小、形状、质量完全相同的10个小球，其中有1个红色球、2个绿色球、3个黑色球，其余的是白色球，采取放回式抽样法，每次抽取前充分搅拌.
(1)50名学生先后各从口袋里随机抽取1个球，设抽取到的球为黑色或红色的次数为，求的数学期望；
(2)甲、乙两人进行游戏比赛，规定：抽到红色球得100分，抽到绿色球得50分，抽到黑色球得0分，抽到白色球得分.两人各从口袋里抽取两次，每次随机抽取一个球，求甲的得分比乙的得分高，且差值大于100分的概率.
【解题思路】（1）根据题意得到，再运用二项分布的期望公式直接求解即可；
（2）根据题意得到甲乙任意一个人结束游戏的得分，再求出概率即可.
【解答过程】（1）由题意知，10个小球中有1个红色球、2个绿色球、3个黑色球，4个白色球，
随机抽取一球，为黑色球或红色球的概率为，
所以，所以.
（2）记甲和乙结束本轮游戏后，个人的得分为，
则的取值为，
每一次抽到红色球得100分的概率为，抽到绿色球得50分的概率为，
抽到黑色球得0分的概率为，抽到白色球得分的概率为，
则，，
，，
，，
，，，
则甲、乙的个人得分情况可能为：
200 150 100 90 50 40 0
则甲的得分比乙的得分高，且差值大于100分的可能情况为：
甲得200分，乙得90分及以下，概率为，
甲得150分，乙得40分及以下，概率为，
甲得100分，乙得分及以下，概率为，
甲得90分，乙得分，概率为，
则甲的得分比乙的得分高，且差值大于100分的概率.
【变式4-3】（2023·河北·统考模拟预测）为切实做好新冠疫情防控工作，有效、及时地控制和消除新冠肺炎的危害，增加学生对新冠肺炎预防知识的了解，某校举办了一次“新冠疫情”知识竞赛.竞赛分个人赛和团体赛两种.个人赛参赛方式为：组委会采取电脑出题的方式，从题库中随机出10道题，编号为，，，，，，电脑依次出题，参赛选手按规则作答，每答对一道题得10分，答错得0分.团体赛以班级为单位，各班参赛人数必须为3的倍数，且不少于18人，团体赛分预赛和决赛两个阶段，其中预赛阶段各班可从以下两种参赛方案中任选一种参赛：
方案一：将班级选派的名参赛选手每3人一组，分成组，电脑随机分配给同一组的3名选手一道相同的试题，3人均独立答题，若这3人中至少有2人回答正确，则该小组顺利出线；若这个小组都顺利出线，则该班级晋级决赛.
方案二：将班级选派的名参赛选手每人一组，分成3组，电脑随机分配给同一组的名选手一道相同的试题，每人均独立答题，若这个人都回答正确，则该小组顺利出线；若这3个小组中至少有2个小组顺利出线，则该班级晋级决赛.
(1)郭靖同学参加了个人赛，已知郭靖同学答对题库中每道题的概率均为，每次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求郭靖同学得分的数学期望与方差；
(2)在团体赛预赛中，假设A班每位参赛选手答对试题的概率均为常数，A班为使晋级团体赛决赛的可能性更大，应选择哪种参赛方式？请说明理由.
【解题思路】（1）设郭靖同学答对的题目数为X，得分为Y，由题意确定，根据二项分布的期望和方差的性质，即可求得答案.
（2）设A班选择方案一和方案二晋级团体赛决赛的概率分别为，分别求出的表达式，作差并利用构造函数判断的大小，即可得到结论.
【解答过程】（1）设郭靖同学答对的题目数为X，得分为Y，则，
由题意可知,
则;
.
（2）设A班选择方案一和方案二晋级团体赛决赛的概率分别为，
当选择方案一时，小组里3人中至少有2人回答正确的概率为，
故；
当选择方案二时，一个小组顺利出线的概率为，则小组没有出线的概率为，
故；
故，
令，
则
，
因为，所以，
故，
则，即，
故为单调增函数，
因为，
由于各班参赛人数必须为3的倍数，且不少于18人，即，
此时
故A班为使晋级团体赛决赛的可能性更大，应选择方案一参赛.
【知识点2 超几何分布】
1．超几何分布
(1)定义
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽
取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np.
(2)求超几何分布的分布列
①判断随机变量是不是服从超几何分布；
②套用超几何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意义.
2．超几何分布与二项分布的关系
(1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有
截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的.
(2)事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布.
【题型5 超几何分布的判断】
【例5】（2023下·江西抚州·高二江西省抚州市第一中学校考阶段练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛次，记正面向上的次数为
B．某射手的射击命中率为，现对目标射击次，记命中的次数为
C．从男女共名学生干部中选出名学生干部，记选出女生的人数为
D．盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为
【解题思路】根据超几何分布的定义逐项判断可得出合适的选项.
【解答过程】对于A选项，将一枚硬币连抛次，记正面向上的次数为，
则服从二项分布，A不满足；
对于B选项，某射手的射击命中率为，现对目标射击次，记命中的次数为，则服从两点分布，B不满足；
对于C选项，从男女共名学生干部中选出名学生干部，记选出女生的人数为，
则服从超几何分布，C满足；
对于D选项，盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出个球且不放回，
记第一次摸出黑球时摸取的次数为，则不服从超几何分布，D不满足.
故选：C.
【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为（ ）
A．N＝15，M＝7，n＝10
B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7
D．N＝22，M＝7，n＝10
【解题思路】根据超几何分布概率模型可得选项.
【解答过程】根据超几何分布概率模型得N＝15，M＝7，n＝10，
故选：A.
【变式5-2】（2022下·天津河西·高二天津实验中学校考期中）一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从（ ）
A．二项分布，且 B．两点分布，且
C．超几何分布，且 D．超几何分布，且
【解题思路】利用超几何分布的定义判断，再利用超几何分布的期望公式求解.
【解答过程】解：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，所以由超几何分布得定义得服从超几何分布，所以.
故选：C.
【变式5-3】（2023·全国·高二专题练习）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；
④X表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是(　　)
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【解题思路】根据超几何分布的定义逐项判断后可得正确的选项.
【解答过程】对于①，当X表示最大号码，比如表示从黑球编号为中取3个黑球，
而表示从6个黑球和编号为的白球共7个球中取3个球，
故该随机变量不服从超几何分布，同理②中的随机变量不服从超几何分布.
对于③，的可能取值为，
表示取出4个白球；
表示取出3个白球1个黑球；
表示取出2个白球2个黑球；
表示取出1个白球3个黑球；
表示取出4个黑球；
因此服从超几何分布.
由超几何分布的概念知④符合，
故选：B.
【题型6 超几何分布的均值】
【例6】（2023上·四川成都·高三成都七中校考开学考试）某地盛行糕点有n种，该地的糕点店从中准备了m（）种糕点供顾客选购．已知某顾客喜好的糕点有k（）种，则当其随机进入一家糕点店时，会发现该店中有若干种糕点符合其喜好．记随机变量X为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意可知服从超几何分布，然后利用超几何分布的期望公式求解即可.
【解答过程】由题意可知从含有顾客喜好的k（）种糕点的n种糕点中，任取m（）种糕点，其中恰有种顾客喜好的糕点，则服从超几何分布，
所以，其中，
所以，
故选：A.
【变式6-1】（2023·全国·高二专题练习）设随机变量（且），最大时，（ ）
A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.01
【解题思路】根据给定条件，求出最大时的M值，再利用超几何分布的期望公式计算作答.
【解答过程】随机变量，则，
因最大，则有，
即，，
整理得，解得，
而，则，所以.
故选：C.
【变式6-2】（2023下·山东青岛·高二校考期中）从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出个红球得分，每取出个白球得分. 按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据取出小球的所有情况写出得分的所有可能，根据超几何公式求得各个取值对应的概率，进而得到其分布列，求出期望.
【解答过程】解：设得分为，根据题意可以取，，.
则，，
，
则分布列为：
4 3 2
所以得分期望为.
故选：.
【变式6-3】（2024上·山东临沂·高三校联考开学考试）一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【解题思路】根据取出2个黑球，1个白球的概率为求出n的值，再求出X的分布列，根据数学期望的定义即可计算.
【解答过程】由题可知，，解得，
X的可能取值为，
，，，，
∴.
故选：A.
【题型7 超几何分布的方差】
【例7】（2024下·全国·高二随堂练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数学期望，方差的公式及性质计算即可．
【解答过程】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，
故
所以
，
，
故选：D．
【变式7-1】（2023·全国·高二专题练习）有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ）
A．增加，增加 B．增加，减小
C．减小，增加 D．减小，减小
【解题思路】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性.
【解答过程】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，.
故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为.
故，
随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小；
，随着的增大，增大.
故选：C.
【变式7-2】（2023下·山东枣庄·高二校考阶段练习）为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.
(1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
(2)记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望、方差.
【解题思路】（1）根据条件概率公式即可求解.
（2）根据超几何分布，即可求出分布列，利用公式求解期望与方差.
【解答过程】（1）设“有女生参加活动”为事件，“恰有一名女生参加活动”为事件．
则，所以；
（2）依题意知服从超几何分布，且，
所以的分布列为：
0 1 2
.
【变式7-3】（2023·全国·高二专题练习）2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行.它被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法某中学培养学生知法懂法，组织全校学生学习《中华人民共和国民法典》并组织知识竞赛.为了解学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机抽取20名学生的成绩（单位：分），绘制成如图所示的茎叶图：
根据学生的竞赛成绩，将其分为四个等级：
测试成绩（单位：分）
等级 合格 中等 良好 优秀
（1）从样本中任取2名同学的竞赛成绩，在成绩为优秀的情况下，求这2名同学来自同一个年级的概率；
（2）现从样本中成绩为良好的学生中随机抽取3人座谈，记为抽到高二年级的人数，求的分布列，数学期望与方差.
【解题思路】（1）利用条件概率的公式即得解；
（2）随机变量服从超几何分布，计算对应的概率，列出分布列，利用期望与方差的公式即得解
【解答过程】（1）记事件为“从样本中任取2名同学的竞赛成绩为优秀”，事件为“这两个同学来自同一个年级”，则，.
所以在成绩为优秀的情况下，这2个同学来自同一个年级的概率为
.
（2）由题意的可能取值为0，1，2，3.
，，，.
所以的分布列为：
0 1 2 3
数学期望为：
.
【题型8 二项分布与超几何分布的综合应用】
【例8】（2023下·高二课时练习）甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望;
(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大
【解题思路】（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为，，由于，，分别写出分布列，再求期望值均为；
（2）由于均值相等，可通过比较各自的方差.
【解答过程】（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量，
依题意可得：，
∴，，，
∴X的分布列为：
X 1 2 3
P
∴．
，
∴，，
，，
∴Y的分布列为：
Y 0 1 2 3
P
∴．
（2），
，
∵，
∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大．
【变式8-1】（2023上·江西萍乡·高二统考期末）某职业学校为了了解毕业班学生的操作能力，设计了一个考查方案：每个考生从6道备选题中一次性随机抽取3道选题，按照题目要求正确完成，规定：至少正确完成其中2个选题方可通过.6道备选题中，考生甲有4个选题能正确完成，2个选题不能完成；考生乙每个选题正确完成的概率都是，且每个选题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲 乙两位考生正确完成选题个数的概率分布列（列出分布列表）；
(2)请分析比较甲 乙两位考生的操作能力.
【解题思路】（1）根据超几何分布及二项分布分别求解即可；
（2）根据超几何分布及二项分布的数学期望及方差公式分别求解即得.
【解答过程】（1）记考生甲正确完成试题的个数分别为，则的可能取值有，
且，，
所以，考生甲正确完成选题数的概率分布列如下表：
1 2 3
记考生乙正确完成试题的个数分别为，则的可能取值有，
且，，
所以，考生乙正确完成选题数的概率分布列如下表：
0 1 2 3
（2），
，
从做对题的个数的数学期望看，两人水平相当；因为，因此可以判断甲考生的操作能力更强.
【变式8-2】（2023上·山西·高三统考阶段练习）近日，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答．小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为，且猜中每道谜语与否互不影响．
(1)分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列；
(2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求的取值范围．
【解题思路】（1）根据超几何分布概率公式和二项分布概率公式求概率，然后可得分布列；
（2）分别求两人猜中谜语道数的期望，根据期望列不等式即可求解.
【解答过程】（1）设小张猜中谜语的道数为，可知随机变量服从超几何分布，的取值分别为2，3，4．
有，，，
故小张猜中谜语道数的分布列为
2 3 4
设小王猜中谜语的道数为，可知随机变量服从二项分布的取值分别为0，1，2，3，4，
有，
，
，
，
．
故小王猜中谜语道数的分布列为
0 1 2 3 4
（2）由（1）可知，
若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，则，可得．
【变式8-3】（2023·全国·高二专题练习）为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在，两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：，两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生能正确回答其中的4个问题，而学生能正确回答每个问题的概率均为.，两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.
（1）分别求，两名学生恰好答对2个问题的概率.
（2）设答对的题数为，答对的题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.
【解题思路】（1）由古典概型概率公式求得的概率，由独立重复试验的概率公式计算出的概率；
（2）的可能取值为1，2，3，计算出概率后得概率分布列，求出期望与方差，而，也计算出均值与方差，比较可得．
【解答过程】（1）由题意，知恰好答对2个问题的概率为，恰好答对2个问题的概率为.
（2）的可能取值为1，2，3，
则；；.
所以，.
易知，
所以，.
因为，，
所以与答题的平均水平相当，但比更稳定.所以选择学生.7.4 二项分布与超几何分布【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 利用二项分布求分布列】 1
【题型2 服从二项分布的随机变量概率最大问题】 2
【题型3 二项分布的均值与方差】 2
【题型4 二项分布的实际应用】 3
【题型5 超几何分布的判断】 6
【题型6 超几何分布的均值】 7
【题型7 超几何分布的方差】 7
【题型8 二项分布与超几何分布的综合应用】 9
【知识点1 二项分布】
1．伯努利试验
(1)伯努利试验的概念
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
(2)n重伯努利试验的两个特征
①同一个伯努利试验重复做n次；
②各次试验的结果相互独立.
2．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p).
3．二项分布的期望与方差
一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).
【题型1 利用二项分布求分布列】
【例1】（2023上·辽宁·高二校联考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·全国·高二专题练习）已知随机变量服从二项分布，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）设随机变量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【题型2 服从二项分布的随机变量概率最大问题】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）若X～B，则使P（X＝k）最大的k的值是（ ）
A．2 B．3 C．4或3 D．4
【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）某人在11次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则k＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式2-2】（2023·高二课时练习）已知，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023下·湖北武汉·高二校考期末）设随机变量，记，，下列说法正确的是（ ）
A．当k由0增大到n时，先增后减，在某一个（或两个）k值处达到最大.二项分布当时是对称的，当时向右偏倚，当时向左偏倚
B．如果为正整数，当且仅当时，取最大值
C．如果为非整数，当且仅当k取的整数部分时，取最大值
D．
【题型3 二项分布的均值与方差】
【例3】（2023下·辽宁鞍山·高二校联考期中）在3重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生的次数X的期望和方差分别为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【变式3-1】（2023下·江西抚州·高二校考阶段练习）设随机变量，则下列说法不正确的有（ ）
A． B．
C．的数学期望 D．的方差
【变式3-2】（2023下·江苏徐州·高二统考期中）两组各有3人独立的破译某密码，组每个人成功破译出该密码的概率为，组每个人成功破译出该密码的概率为，记两组中成功破译出该密码的人数分别为，若，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2023下·辽宁·高二东北育才学校校联考期末）已知某疾病的某种疗法治愈率为80%.若有100位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．存在，使得成立
【题型4 二项分布的实际应用】
【例4】（2023上·河南·高三校联考开学考试）小明参加一项答题活动，需进行两轮答题，每轮均有道题．第一轮每道题都要作答；第二轮按次序作答，每答对一题继续答下一题，一旦答错或题目答完则结束答题．第一轮每道题答对得5分，否则得0分；第二轮每道题答对得20分，否则得0分．无论之前答题情况如何，小明第一轮每题答对的概率均为，第二轮每题答对的概率均为．设小明第一轮答题的总得分为，第二轮答题的总得分为．
(1)若，求；
(2)证明：当时，．
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：
心理价位（元/件） 90 100 110 120
人数 10 20 50 20
假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x（单位：元/件），，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.
(1)若，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望；
(2)假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y（单位：元），当该纪念品的销售价格x定为多少时，Y的数学期望达到最大值？
【变式4-2】（2023上·全国·高三校联考开学考试）一个不透明口袋里有大小、形状、质量完全相同的10个小球，其中有1个红色球、2个绿色球、3个黑色球，其余的是白色球，采取放回式抽样法，每次抽取前充分搅拌.
(1)50名学生先后各从口袋里随机抽取1个球，设抽取到的球为黑色或红色的次数为，求的数学期望；
(2)甲、乙两人进行游戏比赛，规定：抽到红色球得100分，抽到绿色球得50分，抽到黑色球得0分，抽到白色球得分.两人各从口袋里抽取两次，每次随机抽取一个球，求甲的得分比乙的得分高，且差值大于100分的概率.
【变式4-3】（2023·河北·统考模拟预测）为切实做好新冠疫情防控工作，有效、及时地控制和消除新冠肺炎的危害，增加学生对新冠肺炎预防知识的了解，某校举办了一次“新冠疫情”知识竞赛.竞赛分个人赛和团体赛两种.个人赛参赛方式为：组委会采取电脑出题的方式，从题库中随机出10道题，编号为，，，，，，电脑依次出题，参赛选手按规则作答，每答对一道题得10分，答错得0分.团体赛以班级为单位，各班参赛人数必须为3的倍数，且不少于18人，团体赛分预赛和决赛两个阶段，其中预赛阶段各班可从以下两种参赛方案中任选一种参赛：
方案一：将班级选派的名参赛选手每3人一组，分成组，电脑随机分配给同一组的3名选手一道相同的试题，3人均独立答题，若这3人中至少有2人回答正确，则该小组顺利出线；若这个小组都顺利出线，则该班级晋级决赛.
方案二：将班级选派的名参赛选手每人一组，分成3组，电脑随机分配给同一组的名选手一道相同的试题，每人均独立答题，若这个人都回答正确，则该小组顺利出线；若这3个小组中至少有2个小组顺利出线，则该班级晋级决赛.
(1)郭靖同学参加了个人赛，已知郭靖同学答对题库中每道题的概率均为，每次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求郭靖同学得分的数学期望与方差；
(2)在团体赛预赛中，假设A班每位参赛选手答对试题的概率均为常数，A班为使晋级团体赛决赛的可能性更大，应选择哪种参赛方式？请说明理由.
【知识点2 超几何分布】
1．超几何分布
(1)定义
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽
取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np.
(2)求超几何分布的分布列
①判断随机变量是不是服从超几何分布；
②套用超几何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意义.
2．超几何分布与二项分布的关系
(1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有
截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的.
(2)事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布.
【题型5 超几何分布的判断】
【例5】（2023下·江西抚州·高二江西省抚州市第一中学校考阶段练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛次，记正面向上的次数为
B．某射手的射击命中率为，现对目标射击次，记命中的次数为
C．从男女共名学生干部中选出名学生干部，记选出女生的人数为
D．盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为
【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为（ ）
A．N＝15，M＝7，n＝10
B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7
D．N＝22，M＝7，n＝10
【变式5-2】（2022下·天津河西·高二天津实验中学校考期中）一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从（ ）
A．二项分布，且 B．两点分布，且
C．超几何分布，且 D．超几何分布，且
【变式5-3】（2023·全国·高二专题练习）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；
④X表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是(　　)
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【题型6 超几何分布的均值】
【例6】（2023上·四川成都·高三成都七中校考开学考试）某地盛行糕点有n种，该地的糕点店从中准备了m（）种糕点供顾客选购．已知某顾客喜好的糕点有k（）种，则当其随机进入一家糕点店时，会发现该店中有若干种糕点符合其喜好．记随机变量X为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023·全国·高二专题练习）设随机变量（且），最大时，（ ）
A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.01
【变式6-2】（2023下·山东青岛·高二校考期中）从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出个红球得分，每取出个白球得分. 按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2024上·山东临沂·高三校联考开学考试）一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【题型7 超几何分布的方差】
【例7】（2024下·全国·高二随堂练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】（2023·全国·高二专题练习）有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ）
A．增加，增加 B．增加，减小
C．减小，增加 D．减小，减小
【变式7-2】（2023下·山东枣庄·高二校考阶段练习）为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.
(1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
(2)记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望、方差.
【变式7-3】（2023·全国·高二专题练习）2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行.它被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法某中学培养学生知法懂法，组织全校学生学习《中华人民共和国民法典》并组织知识竞赛.为了解学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机抽取20名学生的成绩（单位：分），绘制成如图所示的茎叶图：
根据学生的竞赛成绩，将其分为四个等级：
测试成绩（单位：分）
等级 合格 中等 良好 优秀
（1）从样本中任取2名同学的竞赛成绩，在成绩为优秀的情况下，求这2名同学来自同一个年级的概率；
（2）现从样本中成绩为良好的学生中随机抽取3人座谈，记为抽到高二年级的人数，求的分布列，数学期望与方差.
【题型8 二项分布与超几何分布的综合应用】
【例8】（2023下·高二课时练习）甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望;
(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大
【变式8-1】（2023上·江西萍乡·高二统考期末）某职业学校为了了解毕业班学生的操作能力，设计了一个考查方案：每个考生从6道备选题中一次性随机抽取3道选题，按照题目要求正确完成，规定：至少正确完成其中2个选题方可通过.6道备选题中，考生甲有4个选题能正确完成，2个选题不能完成；考生乙每个选题正确完成的概率都是，且每个选题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲 乙两位考生正确完成选题个数的概率分布列（列出分布列表）；
(2)请分析比较甲 乙两位考生的操作能力.
【变式8-2】（2023上·山西·高三统考阶段练习）近日，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答．小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为，且猜中每道谜语与否互不影响．
(1)分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列；
(2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求的取值范围．
【变式8-3】（2023·全国·高二专题练习）为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在，两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：，两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生能正确回答其中的4个问题，而学生能正确回答每个问题的概率均为.，两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.
（1）分别求，两名学生恰好答对2个问题的概率.
（2）设答对的题数为，答对的题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.

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