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6.3 平面向量的数量积运算
【考点1：求向量的数量积】 1
【考点2：利用向量的数量积求模】 2
【考点3：利用向量的数量积求夹角】 3
【考点4：向量垂直与向量的数量积关系】 3
【考点5：投影向量】 5
【考点1：求向量的数量积】
【知识点：求向量的数量积】
1．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量||||cos θ叫做与的数量积(或内积)，记作·，即·＝||||cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·＝0.
(2)几何意义：数量积·等于的长度||与在的方向上的投影||cos θ的乘积．
2．平面向量数量积的运算律
(1) ·＝· (交换律)．
(2)λ·＝λ(·)＝·(λb)(结合律)．
(3)( ＋)·＝·c＋· (分配律)．
[易错提醒]
(1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．
(2)两向量，的数量积·与代数中，的乘积写法不同，不能省略掉其中的“·”．　　
1．（2024·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在边长为2的等边中，的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
2．（2024·内蒙古鄂尔多斯·高三期末）在边长为6的菱形ABCD中，，，则=（ ）
A．15 B． C．30 D．20
3．（2024·河南·模拟预测）中，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．2
4．（2024·安徽合肥·高三合肥一六八中学校考阶段练习）如图，半径为为圆上两点，若，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
5．（2024·贵州黔东南·高二校考期末）在矩形中，，点分别是的中点，则 ．
【考点2：利用向量的数量积求模】
【知识点：利用向量的数量积求模】
几何表示
模 ||＝
1．（2024上·内蒙古鄂尔多斯·高三统考期末）已知单位向量与单位向量的夹角为，则（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2024上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知平面向量，均为单位向量，且它们的夹角为，则（ ）
A．7 B．3 C． D．1
3．（2024·山西大同·高三统考期末）设向量，满足，，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2024上·河北张家口·高三统考期末）已知向量，的夹角为，，，则 ．
5．（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知单位向量满足，则 .
6．（2024·江苏苏州·高一南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）已知向量，，满足：，且，则的取值范围是 ．
【考点3：利用向量的数量积求夹角】
【知识点：利用向量的数量积求夹角】
几何表示
夹角 cos θ＝
1．（2024·全国·模拟预测）若向量，，且，则 ．
2．（2024·全国·模拟预测）已知向量在向量上的投影向量为，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·青海西宁·高三统考期中）已知向量，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【考点4：向量垂直与向量的数量积关系】
【知识点：向量垂直与向量的数量积关系】
1．（2024上·浙江宁波·高三统考期末）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）若向量满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知向量的夹角为，，则 ， ．
4．（2024上·吉林长春·高三长春吉大附中实验学校校考期末）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为
5．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）设，为两个单位向量，且，若与垂直，则 .
6．（2023下·陕西西安·高一期中）已知向量满足，且的夹角为.
(1)求的模；
(2)若与互相垂直，求λ的值.
7．（2024·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习），的夹角为，，.
(1)求；
(2)若与互相垂直，求.
【考点5：投影向量】
【知识点：投影向量】
在上的投影向量为：.
1．（福建省泉州市2023届高三毕业班质量监测（二）数学试题）已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·安徽六安·高三校联考期末）已知中，为的中点，且，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·福建·统考一模）平面向量满足，对任意的实数t，恒成立，则（ ）
A．与的夹角为 B．为定值
C．的最小值为 D．在上的投影向量为
4．（2023·高一课时练习）已知向量，为单位向量，当向量、的夹角等于时，则向量在向量方向上的投影向量是________．
5．（2023·高一课时练习）设向量、满足，且，若为在方向上的投影向量，并满足，则________．6.3 平面向量的数量积运算
【考点1：求向量的数量积】 1
【考点2：利用向量的数量积求模】 3
【考点3：利用向量的数量积求夹角】 6
【考点4：向量垂直与向量的数量积关系】 8
【考点5：投影向量】 11
【考点1：求向量的数量积】
【知识点：求向量的数量积】
1．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量||||cos θ叫做与的数量积(或内积)，记作·，即·＝||||cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·＝0.
(2)几何意义：数量积·等于的长度||与在的方向上的投影||cos θ的乘积．
2．平面向量数量积的运算律
(1) ·＝· (交换律)．
(2)λ·＝λ(·)＝·(λb)(结合律)．
(3)( ＋)·＝·c＋· (分配律)．
[易错提醒]
(1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．
(2)两向量，的数量积·与代数中，的乘积写法不同，不能省略掉其中的“·”．　　
1．（2024·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在边长为2的等边中，的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积运算求得正确答案.
【详解】∵，向量与的夹角为120°，
∴.
故选：D
2．（2024·内蒙古鄂尔多斯·高三期末）在边长为6的菱形ABCD中，，，则=（ ）
A．15 B． C．30 D．20
【答案】C
【分析】根据条件将表示为的线性组合，然后根据向量的数量积运算求解出结果.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
故选：C.
3．（2024·河南·模拟预测）中，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据数量积求解，，进而求解三角形的面积.
【详解】因为，
所以，
则.
故选：A.
4．（2024·安徽合肥·高三合肥一六八中学校考阶段练习）如图，半径为为圆上两点，若，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】首先由数量积运算结合圆的性质可得，进而可求弦心距，则三角形的面积可求.
【详解】，
，弦心距，
，
故选：C.
5．（2024·贵州黔东南·高二校考期末）在矩形中，，点分别是的中点，则 ．
【答案】2
【分析】用表示，，即可判断
【详解】因为四边形ABCD为矩形，所以，
，
故答案为：2.
【考点2：利用向量的数量积求模】
【知识点：利用向量的数量积求模】
几何表示
模 ||＝
1．（2024上·内蒙古鄂尔多斯·高三统考期末）已知单位向量与单位向量的夹角为，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】借助模长与数量积的关系计算即可得.
【详解】，
故.
故选：D.
2．（2024上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知平面向量，均为单位向量，且它们的夹角为，则（ ）
A．7 B．3 C． D．1
【答案】D
【分析】根据向量的数量积的运算，以及平面向量的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】由平面向量均为单位向量，且它们的夹角为，
则，所以.
故选：D．
3．（2024·山西大同·高三统考期末）设向量，满足，，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】利用的平方与的平方之间的关系求解.
【详解】因为，，
以上两式相减，可得，即，
所以.
故选：B
4．（2024上·河北张家口·高三统考期末）已知向量，的夹角为，，，则 ．
【答案】
【分析】根据向量，的模和夹角即可得出的值.
【详解】由题意，
向量，的夹角为，，，
，
故答案为：.
5．（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知单位向量满足，则 .
【答案】
【分析】利用向量数量积的运算律及已知可得，再由运算律求即可.
【详解】因为，所以，所以，
则，故.
故答案为：
6．（2024·江苏苏州·高一南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）已知向量，，满足：，且，则的取值范围是 ．
【答案】[1,5]
【分析】先表示出，再利用数量积的性质，求出的范围即可.
【详解】∵，
∴，
，
∴，即
∴，
，即.
故答案为：.
【考点3：利用向量的数量积求夹角】
【知识点：利用向量的数量积求夹角】
几何表示
夹角 cos θ＝
1．（2024·全国·模拟预测）若向量，，且，则 ．
【答案】
【分析】根据题意结合数量积的运算律可得，求得，进而求夹角余弦值.
【详解】因为，则，
两边平方得，即，整理得，
可得，
所以.
故答案为：.
2．（2024·全国·模拟预测）已知向量在向量上的投影向量为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意得，再由平方，可知，结合向量夹角公式即可求解.
【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以．
因为，所以，即，
故，所以．
因为，所以.
故选：B．
3．（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据可得，再由向量夹角计算公式可求得与的夹角为.
【详解】由题意可得，
将两边平方可得；
可得，可得；
设与的夹角为，则，
所以.
故选：C
4．（2023上·青海西宁·高三统考期中）已知向量，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据模长公式，结合数量积的运算律，即可由夹角公式求解.
【详解】由可得，所以，
同理由和可得
所以，
故，
故选：D
【考点4：向量垂直与向量的数量积关系】
【知识点：向量垂直与向量的数量积关系】
1．（2024上·浙江宁波·高三统考期末）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量，则数量积为零，将已知和公式代入求解.
【详解】设与的夹角为
因为，
所以
所以，因为，
所以.
故选：A
2．（2024·全国·模拟预测）若向量满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平方，再结合求解.
【详解】解：因为，所以．
因为，所以①．
因为，所以．
因为，所以②，
①②得，，
故选：C．
3．（2024·全国·模拟预测）已知向量的夹角为，，则 ， ．
【答案】 2
【分析】根据向量垂直的表示得，利用数量积的运算性质计算可得；根据与，结合数量积的运算性质求解可得出.
【详解】由向量的夹角为，且，
得，
所以．
因为，
，
所以．
故答案为：2，.
4．（2024上·吉林长春·高三长春吉大附中实验学校校考期末）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为
【答案】
【分析】利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，求得与的夹角的值．
【详解】非零向量，满足，且，
设与的夹角为，，，
则，解得，
．
故答案为：．
5．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）设，为两个单位向量，且，若与垂直，则 .
【答案】/-0.4
【分析】根据向量与垂直可得，结合数量积的运算，即可求得答案.
【详解】由题意知设，为两个单位向量，且，与垂直，
故，即，
故，解得，
故答案为：
6．（2023下·陕西西安·高一期中）已知向量满足，且的夹角为.
(1)求的模；
(2)若与互相垂直，求λ的值.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根据向量满足，且的夹角为，由求解；
（2）根据与互相垂直，由求解.
【详解】（1）因为向量满足，且的夹角为，
所以，
解得；
（2）因为与互相垂直，
所以，
，
即，解得或.
7．（2024·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习），的夹角为，，.
(1)求；
(2)若与互相垂直，求.
【答案】(1)7
(2).
【分析】（1）利用，展开后代入数量积公式求得答案；
（2）由与互相垂直，得，展开后化为关于的方程求解.
【详解】（1），的夹角为，，，
.
故.
（2）若与互相垂直，则，
即.
所以，整理得，
即，解得.
【考点5：投影向量】
【知识点：投影向量】
在上的投影向量为：.
1．（福建省泉州市2023届高三毕业班质量监测（二）数学试题）已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的数量积运算，对两边同时平方得到，再由投影向量的定义即可求解.
【详解】由已知条件得：，即，
又在方向上的投影向量为，
故选：A.
2．（2022秋·安徽六安·高三校联考期末）已知中，为的中点，且，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由向量线性运算可得，知，根据投影向量为，结合长度和角度关系可求得结果.
【详解】，，，
又，，，，为等边三角形，；
在上的投影向量为.
故选：C.
3．（2023·福建·统考一模）平面向量满足，对任意的实数t，恒成立，则（ ）
A．与的夹角为 B．为定值
C．的最小值为 D．在上的投影向量为
【答案】AD
【分析】由题意可得：与的夹角，然后根据向量的运算逐项进行检验即可求解.
【详解】设平面向量与的夹角为，
因为对任意的实数t，恒成立，
即恒成立，又，
也即对任意的实数恒成立，
所以，则，所以，
故选项正确；
对于，因为随的变化而变化，故选项错误；
对于，因为，由二次函数的性质可知：当时，取最小值，故选项错误；
对于，向量上的一个单位向量，由向量夹角公式可得：，
由投影向量的计算公式可得：在上的投影向量为，故选项正确，
故选：.
4．（2023·高一课时练习）已知向量，为单位向量，当向量、的夹角等于时，则向量在向量方向上的投影向量是________．
【答案】
【分析】根据投影向量的定义结合条件即得.
【详解】因为向量、的夹角等于，，为单位向量，
所以向量在向量上的投影向量是.
故答案为：.
5．（2023·高一课时练习）设向量、满足，且，若为在方向上的投影向量，并满足，则________．
【答案】
【分析】根据投影向量的定义结合条件即得.
【详解】因为为在方向上的投影向量，，
所以，又，且，
所以.
故答案为；.

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