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6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
学习目标
1、掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算；
2、能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题。
常考题型
知识梳理
一、平面向量数量积的坐标表示
若，，则
两个向量的数量积：等于它们对应坐标乘积的和。
二、两个向量垂直的坐标表示
若两个向量垂直，则
三、用坐标表示的三个重要公式
1、向量的模公式：若，则
2、两点间的距离公式：若，，则
3、向量的交角公式：设两个非零向量，，与的夹角为，
则
题型精析
题型一 平面向量数量积的坐标计算
【例1】（2023·新疆喀什·高一校考期末）已知，，，分别求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）．
【变式1-1】（2023·北京平谷·高一统考期末）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ）
A．11 B．7 C．3 D．
【变式1-2】（2023·河北沧州·高一校联考阶段练习）如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则（ ）
A． B． C．0 D．4
【变式1-3】（2023·江西宜春·高一校联考阶段练习）已知边长为2的菱形中，，点E是BC上一点，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2023·甘肃武威·高一天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）在中，，且，是的中点，是线段的中点，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．2
题型二 利用坐标研究向量垂直问题
【例2】（2023·云南迪庆·高一统考期末）（多选）下列向量中，与不垂直的向量是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·云南保山·高一统考期中）已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-2】（2023·陕西咸阳·高一校考期中）已知向，，若向量与垂直，则实数（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023·山东青岛·高一校联考期中）已知向量，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
题型三 利用坐标研究向量的模长
【例3】（2023·安徽滁州·高一统考期末）已知平面向量，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【变式3-1】（2023·四川巴中·高一统考期中）已知向量，，，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·湖北荆门·高三月考）已知平面向量，，满足，，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·河南·高一校考阶段练习）已知，，.
（1）求；
（2）求的模的最小值.
题型四 利用坐标研究向量的夹角
【例4】（2023·河北邢台·高一邢台市第二中学校考阶段练习）已知点，，向量，，则与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023·江苏苏州·高一昆山中学校考期末）向量，且，则 ．
【变式4-2】（2023·浙江金华·高一东阳中学校联考阶段练习）已知，，则向量在方向上的投影向量的坐标为 .
【变式4-3】（2023·福建龙岩·高一校联考期中）如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值为 ．
题型五 利用坐标求投影向量
【例5】（2023·天津和平·高一统考期末）已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 .
【答案】
【解析】向量，则，
所以向量在方向上的投影向量为
【变式5-1】（2023·广东佛山·高一统考期中）向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：B
【变式5-2】（2023·内蒙古巴彦淖尔·高一统考期末）已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为向量，，所以，解得，
则，则，
所以在方向上的投影向量为，故选：C
【变式5-3】（2023·河北保定·高一统考期中）已知平面向量，，，且．
（1）求的坐标；
（2）求向量在向量上的投影向量的模．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设，因为，所以．
又，解得，，所以．
（2），所以，
则向量在向量上的投影向量的模为.
题型六 利用坐标求数量积的最值范围
【例6】（2023·四川成都·高一成都市第四十九中学校校考期中）已知是边长为1的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，设，
，
，且，
时，取最小值；时，取最大值，
∴的取值范围是，故选：A.
【变式6-1】（2023·天津滨海新·高一塘沽第一中学校考期中）在矩形ABCD中，若，，且，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】建立如图所示坐标系，设，，，，，，
由可得： ，
由，可得，解得，或舍去，
则．故选：D．
【变式6-2】（2023·河北石家庄·高一校考期中）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在直线上任意一点，则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】等腰梯形ABCD中，作垂直于于点，作垂直于于点，
又，，，
则，，，，
则建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，，
又P为腰AD所在直线上任意一点，
则设，，
则点P的坐标为，
所以，，
又关于的二次函数的对称轴为，
则在上单调递减，
所以当，即点P和点D重合时，取得最小值．
故的最小值是．故选：C．
【变式6-3】（2023·浙江温州·高一校联考期中）如图，已知直角梯形ABCD，，，，P是斜腰BC边（含端点）上的动点，的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为四边形为直角梯形，则以为坐标原点建立如图所示直角坐标系，
因为，所以，
则，设直线的方程为，
则代入坐标有，解得，
则直线的方程为，
则可设，，
则，则，
因为，则其最小值为，故选：D.
【变式6-4】（2023·广东东莞·高一东莞中学松山湖学校月考）在扇形中，，，M是OA中点，点P在弧AB上，则的最小值为（ ）
A．0 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】如图，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，
的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系，
则，设，，
于是，
所以，
其中锐角满足，
因此当，即时，.
所以的最小值为，故选：D6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
学习目标
1、掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算；
2、能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题。
常考题型
知识梳理
一、平面向量数量积的坐标表示
若，，则
两个向量的数量积：等于它们对应坐标乘积的和。
二、两个向量垂直的坐标表示
若两个向量垂直，则
三、用坐标表示的三个重要公式
1、向量的模公式：若，则
2、两点间的距离公式：若，，则
3、向量的交角公式：设两个非零向量，，与的夹角为，
则
题型检测
题型一 平面向量数量积的坐标计算
【例1】（2023·新疆喀什·高一校考期末）已知，，，分别求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）原式
（2）原式
（3），∴.
【变式1-1】（2023·北京平谷·高一统考期末）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ）
A．11 B．7 C．3 D．
【答案】C
【解析】以向量的起点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，
所以，故选：C.
【变式1-2】（2023·河北沧州·高一校联考阶段练习）如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则（ ）
A． B． C．0 D．4
【答案】D
【解析】如图，建立平面直角坐标系，每一个小正方形的边长均为1，
故，，
则.故选:D.
【变式1-3】（2023·江西宜春·高一校联考阶段练习）已知边长为2的菱形中，，点E是BC上一点，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，
垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，设，
则，
因为，所以，解得，故，
则.故选：B
【变式1-4】（2023·甘肃武威·高一天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）在中，，且，是的中点，是线段的中点，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】C
【解析】如图，以为原点，，所在直线分别为轴，轴建立直角坐标系，
则，，，
∵是的中点，∴，
∵是线段的中点，∴，
∴，，，∴，
∴.故选：C.
题型二 利用坐标研究向量垂直问题
【例2】（2023·云南迪庆·高一统考期末）（多选）下列向量中，与不垂直的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
故选：ABD
【变式2-1】（2023·云南保山·高一统考期中）已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由向量，
若，可得，解得，
所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.
【变式2-2】（2023·陕西咸阳·高一校考期中）已知向，，若向量与垂直，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，则，，
因为向量与垂直，则，解得，故选：C.
【变式2-3】（2023·山东青岛·高一校联考期中）已知向量，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
又因为，所以，解得，故选：A
题型三 利用坐标研究向量的模长
【例3】（2023·安徽滁州·高一统考期末）已知平面向量，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】由题意可得：，所以,故选：C.
【变式3-1】（2023·四川巴中·高一统考期中）已知向量，，，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
即，解得，
，解得．故选：D
【变式3-2】（2023·湖北荆门·高三月考）已知平面向量，，满足，，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则，可得，所以，故选：A
【变式3-3】（2023·河南·高一校考阶段练习）已知，，.
（1）求；
（2）求的模的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
（2）∵，，∴
∴
∴当时，.
题型四 利用坐标研究向量的夹角
【例4】（2023·河北邢台·高一邢台市第二中学校考阶段练习）已知点，，向量，，则与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为点，，向量，，
所以，，
所以与的夹角的余弦值.故选：A
【变式4-1】（2023·江苏苏州·高一昆山中学校考期末）向量，且，则 ．
【答案】
【解析】由，得，即，
而，则，即，
以的方向分别为轴正方向，建立平面直角坐标系，如图，
则，于是，有，
所以.
【变式4-2】（2023·浙江金华·高一东阳中学校联考阶段练习）已知，，则向量在方向上的投影向量的坐标为 .
【答案】
【解析】，，
向量在方向上的投影向量为
，
所以投影向量的坐标为.
【变式4-3】（2023·福建龙岩·高一校联考期中）如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值为 ．
【答案】
【解析】依题意，以为原点，所在直线为轴，过作的垂线为轴，如图所示，
因为，，，
所以，则，
，
即为向量与的夹角，
，
，，
.
题型五 利用坐标求投影向量
【例5】（2023·天津和平·高一统考期末）已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 .
【答案】
【解析】向量，则，
所以向量在方向上的投影向量为
【变式5-1】（2023·广东佛山·高一统考期中）向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：B
【变式5-2】（2023·内蒙古巴彦淖尔·高一统考期末）已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为向量，，所以，解得，
则，则，
所以在方向上的投影向量为，故选：C
【变式5-3】（2023·河北保定·高一统考期中）已知平面向量，，，且．
（1）求的坐标；
（2）求向量在向量上的投影向量的模．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设，因为，所以．
又，解得，，所以．
（2），所以，
则向量在向量上的投影向量的模为.
题型六 利用坐标求数量积的最值范围
【例6】（2023·四川成都·高一成都市第四十九中学校校考期中）已知是边长为1的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，设，
，
，且，
时，取最小值；时，取最大值，
∴的取值范围是，故选：A.
【变式6-1】（2023·天津滨海新·高一塘沽第一中学校考期中）在矩形ABCD中，若，，且，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】建立如图所示坐标系，设，，，，，，
由可得： ，
由，可得，解得，或舍去，
则．故选：D．
【变式6-2】（2023·河北石家庄·高一校考期中）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在直线上任意一点，则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】等腰梯形ABCD中，作垂直于于点，作垂直于于点，
又，，，
则，，，，
则建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，，
又P为腰AD所在直线上任意一点，
则设，，
则点P的坐标为，
所以，，
又关于的二次函数的对称轴为，
则在上单调递减，
所以当，即点P和点D重合时，取得最小值．
故的最小值是．故选：C．
【变式6-3】（2023·浙江温州·高一校联考期中）如图，已知直角梯形ABCD，，，，P是斜腰BC边（含端点）上的动点，的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为四边形为直角梯形，则以为坐标原点建立如图所示直角坐标系，
因为，所以，
则，设直线的方程为，
则代入坐标有，解得，
则直线的方程为，
则可设，，
则，则，
因为，则其最小值为，故选：D.
【变式6-4】（2023·广东东莞·高一东莞中学松山湖学校月考）在扇形中，，，M是OA中点，点P在弧AB上，则的最小值为（ ）
A．0 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】如图，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，
的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系，
则，设，，
于是，
所以，
其中锐角满足，
因此当，即时，.
所以的最小值为，故选：D

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