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专题08 分式与分式方程（知识串讲+热考题型）
一．分式的定义（共2小题） 二．分式有意义的条件（共2小题）
三．分式的值为零的条件（共2小题） 四．分式的值（共2小题）
五．分式的基本性质（共3小题） 六．约分（共2小题）
七．最简分式（共2小题） 八．最简公分母（共2小题）
九．分式的乘除法（共2小题） 十．分式的加减法（共8小题）
十一．分式的混合运算（共4小题） 十二．分式的化简求值（共4小题）
十三．分式方程的定义（共1小题） 十四．分式方程的解（共4小题）
十五．解分式方程（共4小题） 十六．分式方程的增根（共3小题）
十七．由实际问题抽象出分式方程（共2小题） 十八．分式方程的应用（共11小题）
一、分式的有关概念及性质
1.分式
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．其中A叫做分子，B叫做分母．
分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义．
2.分式的基本性质
（M为不等于0的整式）．
3.最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简．
二、分式的运算
1.约分　
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
2.通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　
3.基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似，具体运算法则如下：
（1）加减运算
；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
（2）乘法运算
，其中是整式，．
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母．
（3）除法运算 ，其中是整式，．
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（4）乘方运算
分式的乘方，把分子、分母分别乘方．
4.零指数
．
5.负整数指数
6.分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．
三、分式方程
1.分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2.分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母，即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3.分式方程的增根问题
（1）增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根——增根；
（2）验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．
四、分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．
一．分式的定义（共2小题）
（2023春 沙坪坝区校级月考）
1．下列式子中，是分式的是（　　）
A． B． C． D．
（2023春 靖江市校级月考）
2．下列各式：中，分式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．分式有意义的条件（共2小题）
（2023春 原阳县月考）
3．下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（　　）
A． B． C． D．
（2023春 鼓楼区校级月考）
4．使式子有意义的x的取值范围是 ．
三．分式的值为零的条件（共2小题）
（2023春 惠山区期中）
5．若分式的值为零，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（2023春 平阴县期中）
6．若分式的值为，则的值为 ．
四．分式的值（共2小题）
（2022秋 定州市期末）
7．若，则的值为（　　）
A． B．-1 C． D．
（2023春 思明区校级期中）
8．已知非零实数x、y满足，则的值等于 ．
五．分式的基本性质（共3小题）
（2023春 惠山区期中）
9．将分式中的x，y的值都变为原来的2倍，则该分式的值（ ）
A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．不变 D．变为原来的一半
（2023春 玄武区期中）
10．下列从左到右变形正确的是( )
A． B． C． D．
（2023春 沙坪坝区校级期中）
11．简单的规则可以涌现出丰富的代数结构．对单项式x进行如下操作：规定，计算，，称为第一次操作：计算，，，称为第二次操作；以此类推：①；②；③当，； ④对任意正整数，等式总成立．以上说法正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
六．约分（共2小题）
（2023春 原阳县月考）
12．下列约分：①； ②；③；④；⑤；⑥．其中正确的有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
（2023 梅州校级开学）
13．化简：
七．最简分式（共2小题）
（2023春 宜宾月考）
14．下列各分式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
（2023春 衡山县校级月考）
15．下列说法正确的是（ ）
A．分式的值为零，则的值为±2
B．根据分式的基本性质，等式
C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为
D．分式是最简分式
八．最简公分母（共2小题）
（2023春 长沙月考）
16．与的最简公分母为（ ）
A． B． C． D．
（2023春 锡山区期中）
17．分式，的最简公分母是 ．
九．分式的乘除法（共2小题）
（2023 襄州区开学）
18．计算 ．
（2023春 万州区校级月考）
19．计算
(1)
(2)
一十．分式的加减法（共8小题）
（2023春 北碚区校级月考）
20．对于任意的值都有，则，值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
（2023春 江津区校级月考）
21．有依次排列的一列式子：，，，小明对前两个式子进行操作时发现：，，根据操作，小明得出来下面几个结论：
①；
②对第个式子进行操作可得；
③前10个式子之和为；
④如果前个式子之和为，那么．
小明得出的结论中正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
（2023春 长宁区校级月考）
22．若实数x满足，那么 ．
（2023春 海陵区校级月考）
23．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式，如：．
解决下列问题：
(1)分式是________（填“真分式”或“假分式”）；
(2)若分式的值为整数，求满足条件的整数的值；
(3)若分式的值为整数，求满足条件的整数的值；
(4)若分式的值为，求的取值范围．
（2023春 海陵区校级月考）
24．，则 ．
（2023春 玄武区期中）
25．阅读理解
材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数．
例如：．
类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和．
例如：．
材料2：为了研究字母x和分式得变化关系，小明制作了如下表格：
无意义 …
请根据上述材料完成下列问题：
(1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；
= ，= ．
(2)随着x值的变化，分式的值是如何变化的？
(3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是 ．
（2023春 靖江市校级月考）
26．观察下列式子，并探索它们的规律：
；
．
(1)根据以上式子填空：
① ．
② ．
(2)求分式的最小值．
(3)已知为整数，求能使分式的值为整数的所有值的和．
（2023春 高邮市月考）
27．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和雅式”，这个常数称为关于的“和雅值”．
如分式，，，则是的“和雅式”，关于的“和雅值”为．
(1)已知分式，，判断是否为的“和雅式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“和雅值”；
(2)已知分式，，是的“和雅式”，且关于的“和雅值”是，求的值；
(3)已知分式，，是的“和雅式”，且关于的“和雅值”是，为整数，且“和雅式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和．
一十一．分式的混合运算（共4小题）
（2023春 偃师市校级月考）
28．计算：
(1)；
(2)．
（2023 张店区一模）
29．化简的结果为 ．
（2023 鼓楼区一模）
30．计算：．
（2023春 兴化市月考）
31．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
甲同学：
第一步
第二步
第三步
乙同学：
第一步
第二步
第三步
老师发现这两位同学的解答都有错误：
(1)甲同学的解答从第______步开始出现错误；乙同学的解答从第_____步开始出现错误；
(2)请重新写出完成此题的正确解答过程.
一十二．分式的化简求值（共4小题）
（2023春 沙坪坝区校级期中）
32．已知且，则的值为( )
A． B． C．3 D．-1
（2022秋 雨花区期末）
33．已知，则的值是 ．
（2023春 沙坪坝区校级期中）
34．先化简．再求值：，其中．
（2023春 高新区期中）
35．先化简，，再从0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
一十三．分式方程的定义（共1小题）
（2023春 宜宾月考）
36．在方程，，，中，分式方程有 个．
一十四．分式方程的解（共4小题）
（2023春 北碚区校级月考）
37．已知关于的分式方程．
(1)若分式方程的根是，求的值；
(2)若分式方程无解，求的值．
（2023春 万州区校级月考）
38．阅读材料：
对于两个不相等的非零实数，若分式，则．
因为
所以关于的方程有两个解，分别是
利用上面的结论解答下列问题：
(1)关于方程的两个解分别是，则___________，___________．
(2)关于的方程的两个解分别为，求的值．
（2023春 沙坪坝区校级月考）
39．若关于x的不等式的解集为，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数m的和为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．9
（2023春 沙坪坝区校级期中）
40．若关于y的不等式组的解集为，且关于x的分式方程 的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
一十五．解分式方程（共4小题）
（2023春 吴江区期中）
41．方程：的根为 ．
（2022秋 怀化期末）
42．对于两个不相等的数、，我们规定min{、}()表示、中的较小的值.例min{2、3}=2，按照这个规定，方程min的解为 ．
（2023春 沙坪坝区校级期中）
43．解方程：
(1)；
(2)．
（2023春 兴化市月考）
44．解分式方程，去分母后得到（　　）
A． B．
C． D．
一十六．分式方程的增根（共3小题）
（2023春 沈丘县月考）
45．若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
（2023春 锡山区期中）
46．若去分母解分式方程会产生增根，则m的值为 ．
（2023春 洛江区校级月考）
47．关于的分式方程．
(1)若方程的增根为，求的值；
(2)若方程无解，求的值．
一十七．由实际问题抽象出分式方程（共2小题）
（2023 荔湾区校级开学）
48．某中学为了创建“最美校园图书屋”，新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍．已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是多少元？设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x元，则下面所列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（2023春 沙坪坝区校级期中）
49．2023重庆马拉松在重庆市南岸区海棠烟雨公园鸣枪开跑．小南、小开参加千米的迷你马拉松比赛，两人约定从地沿相同路线跑向距地千米的地．已知小南跑步的速度是小开的倍．若小开先跑分钟，小南才开始从地出发，两人恰好同时到达地，设小开跑步的速度为每小时千米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
一十八．分式方程的应用（共11小题）
（2023春 宜宾月考）
50．已知和两个有理数，规定一种新运算“*”为：（其中），若，则 ．
（2023春 惠山区期中）
51．为了奖励优秀学生，某学校购买了A、B两种不同的笔记本，已知B型笔记本的单价比A型笔记本的单价多元，且用1200元购买A型笔记本与用1500买B型笔记本本数相同．
(1)求A、B两种型号笔记本的单价各是多少元？
(2)为了奖励更多的学生，增强学生的学习积极性．学校还需要增加购买一些笔记本，增加购买A型笔记本和B型笔记本共200本，且购买的A型笔记本数量不能多于B型笔记本．若要使得用于购买的花费最少，应当购买A型笔记本，B型笔记本各多少本？
（2023春 高新区期中）
52．宣纸是中国古典书画用纸，是中国传统造纸工艺之一，成品宣纸一般分生宣和熟宣两类．已知某宣纸厂一个工人平均每天生产生宣数量是生产熟宣数量的2倍，生产张熟宣比生产张生宣多用1天．求该工厂的工人平均每天生产生宜和熟宣各多少张？
（2023春 沙坪坝区校级期中）
53．二月樱花开，四月樱桃红，随着樱桃成熟上市，某水果店花费6000元购进黄蜜樱桃，另花费1000元购进红灯樱桃，黄蜜樱桃的进价是红灯樱桃的进价的2倍，黄蜜樱桃的数量比红灯樱桃的数量多100千克．
(1)求红灯樱桃每千克的进价；
(2)该水果店第一周以40元/千克的价格售出红灯樱桃3m千克，第二周每千克售价降低了0.5m元，售出20千克，第三周售价在第一周的基础上打七折，购进的红灯樱桃剩余部分全部售罄、若购进的红灯樱桃总利润不低于770元，求m的最小值．
（2023春 张家港市校级月考）
54．为了我市创建全国文明城市，区里积极配合，计划将西区道路两旁的人行道进行改造，经调查知：若该工程由甲工程队单独做刚好在规定时间内完成，若该工程由乙工程队单独完成，则所需天数是甲单独完成时间的1.5倍，如果甲、乙两工程队合作20天后，那么余下的工程由乙工程队单独来做还需10天才能完成
(1)问：甲、乙单独完成这项工程各需要多少天？
(2)已知甲工程队做一天需付给工资4万元，乙工程队做一天需付给工资3万元，现该工程由甲、乙两工程队合做来完成，区里准备了工程工资款170万元，请问区里准备的工程工资款是否够用？
（2023春 高邮市月考）
55．连镇铁路通车以来极大地方便了高邮市民的出行，现有甲、乙两列动车在不同的时刻分别从高邮站出发开往上海站．已知高邮到上海的铁路里程约为360千米，列车甲行驶的平均速度为列车乙行驶平均速度的倍，全程运行时间比列车乙少12分钟，求列车甲从高邮到上海运行的时间．
（2023春 宜宾月考）
56．“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，例如：．
(1)计算；
(2)求等式中x的值．
（2022秋 临淄区期末）
57．为支援灾区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买两种型号的学习用品共件，已知型学习用品的单价比型学习用品的单价多元，用元购买型学习用品与用元购买型学习用品的件数相同．
(1)求两种学习用品的单价各是多少元；
(2)若购买这批学习用品的费用不超过元，则最多购买型学习用品多少件？
（2023 历城区模拟）
58．2022年10月16日，习总书记在第二十次全国代表大会上的报告中提出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆．
(1)A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？
(2)该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可以购买多少辆A型汽车？
（2023春 沙坪坝区校级月考）
59．随着我国疫情管控的全面放开，近期旅游业逐渐回暖．今年元旦期间，重庆A级景区接待游客47万余人次．今年一月小明购买麻花和桃片这两种特产若干袋作为年货．已知每袋麻花的售价比每袋桃片的售价少4元，且购买麻花的数量是桃片数量的2倍，购买麻花用了280元，购买桃片用了160元．
(1)求每袋麻花和每袋桃片的售价；
(2)今年三月，小明再次购买一些和上次品质相同的麻花和桃片，恰逢特产店对两种产品的价格进行了调整，三月每袋麻花的售价比一月每袋麻花的售价高元，每袋桃片的售价比一月每袋桃片的售价低a元．三月购买麻花的数量比一月购买麻花的数量多，且购买桃片的数量是一月购买桃片数量的4倍．最终这次购买两种特产的总费用比一月购买的总费用多了575元，求a的值．
（2022秋 青山区期末）
60．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程．
(1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？
(2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？
(3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有未知数的式子叫分式．
【详解】解：A. 的分母不含有字母，不是分式，故选项A不符合题意；
B. 的分母不含有字母，不是分式，故选项B不符合题意；
C. 的分母π不是字母，不是分式，故选项C不符合题意；
D. 的分母是字母，是分式，故选项D符合题意，
故选：D
【点睛】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
2．D
【分析】根据负整数指数幂，分式的定义即可求出答案．
【详解】解：，，，是分式，共有4个，，，是整式，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的定义，解题的关键是熟练运用分式的定义．
3．D
【分析】根据分式有意义，分母不等于0对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、时，，分式无意义，故本选项不符合题意；
B、时，，分式无意义，故本选项不符合题意；
C、时，，分式无意义，故本选项不符合题意；
D、无论x取何值，，分式都有意义，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义 分母为零；（2）分式有意义 分母不为零；（3）分式值为零 分子为零且分母不为零．
4．
【分析】利用使分式有意义的条件求解即可．
【详解】由题意，得，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不为0是解决此题的关键．
5．C
【分析】根据分式值为0的条件是分母不为0，分子为0进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴，
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分母不为0，分子为0是解题的关键．
6．
【分析】根据分式的值为时分子为，分母不为进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为，
且，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键．
7．D
【分析】将变形得，然后整体代入即可求解．
【详解】解： ∵，
∴，
∵，
∴
故答案为：D．
【点睛】本题考查代数式求值，解题关键是正确变形整体代入求解．
8．
【分析】将通过变形得到，将变式代入，即可解答．
【详解】解：根据，可得，即，
，
将代入，得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式得值，根据已知条件得到是解题的关键．
9．A
【分析】把原分式中的x、y分别替换成 2x，2y ，然后利用分式的基本性质化简即可得到答案．
【详解】解：∵分式中x、y的值都变为原来的2倍，
∴分式变为：
则该分式的值变为原来的2倍．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是掌握分式的基本性质．
10．D
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，分别判断即可．
【详解】解：当时，没有意义，
故A不符合题意；
当时，，
故B不符合题意；
不一定等于，
故C不符合题意；
，
故D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
11．C
【分析】①根据题中公式求出，再作判断；
②根据的值找到规律，再进行判断；
③把代入，找到规律，再进行计算；
④根据的规律，进行计算判断．
【详解】解：①，，
故①是错误的；
②是，， ，，
∴四个为一个循环出现，
∴，
∴，，
∴②是正确的；
③当时，是，，-，，四个为一个循环出现，
，
，
故③是正确的；
④∵， ，
∴，
故④是正确的，
故选：C．
【点睛】本题考查了数字的变化类，找到变化规律和掌握分式的运算是解题的关键．
12．A
【分析】根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【详解】解：①，分子分母都除，故①正确；
②，分子分母都减，等式不一定成立，故②错误；
③，分子分母都减1，等式不一定成立，故③错误；
④，分子分母都除以，故④正确；
⑤，分子分母都除以，故⑤正确；
⑥分子分母都除以，应该是，故⑥错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了分式基本性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，分注意式的分子分母都加或减同一个数，分式的值发生变化．
13．
【分析】先找出分子分母的公因式，约去公因式即可求解．
【详解】
故答案为：．
【点睛】此题主要考查分式的约分，解题的关键是准确确定分子分母的公因式．
14．D
【分析】直接利用最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式，进而分析得出答案．
【详解】解：A．，故此选项不合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．是最简分式，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了最简分式，熟练掌握分式的约分和最简分式的定义是解题的关键．
15．C
【分析】直接利用分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义分别分析得出答案．
【详解】解：A、分式的值为零，则x的值为 2，故此选项错误；
B、根据分式的基本性质，等式（x≠0），故此选项错误；
C、分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，故此选项正确；
D、分式，原式不是最简分式，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
16．A
【分析】根据最简公分母的确定方法：各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积，进行判断即可．
【详解】解：与的最简公分母为；
故选A．
【点睛】本题考查最简公分母．熟练掌握最简公分母的确定方法，是解题的关键．
17．
【分析】按照找最简公分母的方法步骤进行即可．
【详解】分式，的最简公分母是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了找最简公分母，熟知找最简公分母的步骤是解题的关键．
18．
【分析】先算乘方，再把除法转化为乘法，最后利用分式的乘法法则得结果．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可；
（2）根据分式乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算，分式乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式，分式乘除混合运算法则，准确计算．
20．B
【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
21．D
【分析】通过阅读题中给出的操作方法，总结出规律即可．
【详解】解：根据规律可知，
，故①②都正确；
前10个式子之和为，故③正确；
如果前个式子之和为，
则，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简和规律性问题，解题关键是严格按照规律进行运算即可．
22．
【分析】先将原方程化为，再令，进一步将原方程化为，解方程求出的值，即可得到，即可求出原式的值．
【详解】解：
令，则原方程为，整理得：
解得：，（不符合题意，舍去）
故答案为：
【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握分式方程和一元二次方程的解法．
23．(1)真分式；
(2)0、1、3、4；
(3)、、；
(4)．
【分析】（1）根据新定义求解；
（2）先把分式化为带分式，再根据整除的意义求解；
（3）先把分式化为带分式，再根据整除的意义求解；
（4）先把分式化为带分式，再根据非负数的意义求解．
【详解】（1）分式是真分式，
故答案为：真分式；
（2）是整数，
的值为：，，
的值为：0、1、3、4；
（3）为整数，
的值为：、，
的值为：、、；
（4），
，
，
．
【点睛】本题考查了分式的加减法，理解新定义是解题的关键．
24．2
【分析】先通分，计算异分母的分式的加法，再对应相等，得到关于的二元一次方程组，解方程即可得到答案．
【详解】解：
，
，
解得：，
，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了分式的加减法，二元一次方程组的应用，先通分，计算异分母的分式的加法，再对应相等，得到关于的二元一次方程组，是解题的关键．
25．(1)，
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）根据题中给出的例子即可写出答案；
（2）将分式转换成形式，利用的变化情况解答即可；
（3）将分式转换成形式，利用随着的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0，进而得出结论．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：，；
（2）根据表格可知，当或时，随着x的增大，的值逐渐减小，随着x的减小，的值逐渐增大，，
∴当或时，随着x的增大，的值逐渐减小；随着x的减小，的值逐渐增大．
（3）∵，
当x大于2时，随着x的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0，
∴分式的值无限趋近于一个数，这个数是2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了分式的加减法，分式的变化，分式的值，本题是阅读型题目，理解题干值的定义并熟练应用是解题的关键．
26．(1)①；②
(2)
(3)
【分析】（1）根据所给的规律对①②进行运算即可；
（2）结合所给的规律进行求解即可；
（3）结合所给的规律进行求解即可．
【详解】（1）解：①
，
故答案为：；
②
，
故答案为：；
（2）
，
要求原式的最小值，则的值最大，
当时，，
∴的最小值为：；
（3）
，
要使结果为整数，
则为整数，
的值为：或或或，
其和为：．
【点睛】本题主要考查分式的加减，数字的变化规律，解答的关键是对相应的运算法则的掌握，及找到存在的规律．
27．(1)不是，理由见解析
(2)
(3)，
【分析】（1）根据新定义进行判断；
（2）根据新定义，列出方程求解；
（3）根据新定义列出方程，再根据整除的意义求解．
【详解】（1）解：不是的“和雅式”；
理由：
，
不是的“和雅式”；
（2）由题意得：，
，
，
，
解得：，，
；
（3）由题意得：，
，
，
为整数，为整数，
的值为：或，
的值为：，，，，
，
所以所有符合条件的的值之和为．
【点评】本题考查了分式的加减法，理解新定义和掌握分式的运算是解题的关键．
28．(1)
(2)
【分析】（1）根据分式的乘除运算法则即可求出答案．
（2）根据分式的乘除运算以及加减运算法则即可求出答案．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式=
．
【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算，本题属于基础题型．
29．
【分析】先计算括号内的减法运算，再进行除法运算即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算顺序和法则是解题的关键．
30．
【分析】先将括号内式子通分，再将分式除法转化为分式乘法，最后约分化简即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
31．(1)一、二；(2)．
【分析】（1）观察解答过程，找出出错步骤，并写出原因即可；
（2）写出正确的解答过程即可．
【详解】（1）甲同学的解答从第一步开始出现错误，错误的原因是第一个分式的变形不符合分式的基本性质，分子漏乘；
乙同学的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是与等式性质混淆，丢掉了分母．
故答案为：一、二，
(2)原式=
=
=
=．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式的基本性质．
32．A
【分析】根据分式的混合运算法则按原式化简，把代入计算即可．
【详解】解：原式
，
，
，
则原式，
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
33．14
【分析】根据题意可得，将已知等式两边同时除以，得到，进而根据完全平方公式的变形即可求解．
【详解】解：，且由题意可得，
，
，
原式，
故答案为：14
【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．
34．，
【分析】根据分式的加减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算，得到答案．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
35．，当时，原式
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可．
【详解】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∴当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．
36．3
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】解：在方程，，，中，
分式方程有，，，一共有3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟记相关定义是解本题的关键．
37．(1)
(2)或
【分析】（1）把代入方程计算，即可求出的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程无解和分式方程无解求的值即可．
【详解】（1）解：分式方程的根是，
，
解得，
的值为；
（2）解：①去分母得：，
当时，方程无解，
，
②当分式方程有增根，
或，
当时，，
当时，，
，
的值为；
，
若分式方程无解，的值为或．
【点睛】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键．
38．(1)6，
(2)
【分析】（1）根据题中所给新定义运算可直接进行求解；
（2）方程两边同时加1，然后根据题中所给新定义运算可知，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：关于方程的两个解分别是，则；
故答案为6，；
（2）解：
令，则有，设该方程的两个根为，且，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及分式的运算，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及分式的运算是解题的关键．
39．B
【分析】解不等式组，根据解不等式组的法则可得m的取值范围，再解分式方程，根据题意求出整数m的值即可解答．
【详解】解：解不等式组，
得：，
不等式组的解集为，
，
解关于x的分式方程，
可得且，
分式方程有正整数解，
的值为，，，
即的值为，，，
，
的值为，，
故满足条件的所有整数m的和为．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，熟练掌握计算法则，记住分式方程增根的情况是解题的关键．
40．19
【分析】解不等式组再结合可得，解分式方程可得且，据此求得整数a的值即可．
【详解】解：由得：，
由得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴，
∵
，
，
∴，
∵方程的解是非负整数，
∴是3的倍数，
∵，
∴，
∴a的取值为，5，8，11，
∴所有满足条件的整数a的值之和是19．
故答案为：19．
【点睛】本题主要考查分式方程的解、一元一次不等式组的解集等知识点，熟练掌握一元一次不等式组和分式方程的解法以及分式方程的增根情况是解题的关键．
41．
【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
当时，，
∴是原方程的增根；
当时，，
∴原方程的解为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意检验是解题的关键．
42．##
【分析】根据新定义可得：若，则；若，则，分别求出，即可．
【详解】解：根据新定义可得：
若，即，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴不符合题意，舍去；
若，即，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
当时，，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算，解题的关键是根据题意转化为解分式方程，注意转化的过程中注意进行分类讨论．
43．(1)无解
(2)
【分析】（1）先去分母，化为整式方程，再解一元一次方程即可，注意检验；
（2）先去分母，化为整式方程，再解一元一次方程即可，注意检验．
【详解】（1）解： ，
去分母，得，
解得，
经检验，是原方程的增根，
原分式方程无解；
（2）解：，
去分母，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
44．B
【分析】分式方程左右两边同乘去分母得到结果，即可作出判断．
【详解】解：去分母得：．
故选：B．
【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
45．D
【分析】将分式方程化为整式方程，根据分式方程有增根得到，得到，即可求出m的值．
【详解】解：，
去分母，得，
∵方程有增根，
∴，即，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】此题考查了已知分式方程的解的情况求参数，正确掌握分式方程的解法及增根的意义是解题的关键．
46．1
【分析】首先解分式方程，再根据方程产生增根，列方程，即可求解．
【详解】解：去分母，得：，
移项、合并同类项，得：，
解得：，
方程有增根，
，
解得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了利用分式方程根的情况求参数，熟练掌握解分式方程是解决本题的关键．
47．(1)
(2)的值为4或
【分析】（1）将分式方程化为整式方程，将代入即可求出a；
（2）分两种情况解答即可．
【详解】（1）解：去分母，得，
∴，
∵方程的增根为，
∴，
解得；
（2）当时，方程无解，此时；
当时，，此时，
∴的值为4或．
【点睛】此题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，正确掌握分式方程无解的情况是解题的关键．
48．B
【分析】首先设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为1.2x元，根据题意可得等量关系：学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，根据等量关系列出方程，
【详解】设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x元，可得：
故选B．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
49．C
【分析】根据小南、小开参加千米的迷你马拉松比赛，小开比小南多用时分钟，列分式方程即可，注意换算单位．
【详解】解：根据题意，得，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意并根据题意找准等量关系是解题的关键．
50．﹣
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出的值．
【详解】∵，
∴，，
∴，解得：，
经检验：是原分式方程的解，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解题的关键．
51．(1)一本A型笔记本需要元，一本B型笔记本需要元
(2)购买A型笔记本本，B型笔记本本
【分析】（1）设A型口罩的单价是元，则A型口罩的单价是元，根据数量=总价÷单价，结合用元购买A型口罩的数量与用元购买B型口罩的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设增加购买A型口罩的数量是个，则增加购买B型口罩数量是个，本，总花费．根据总价=单价×数量，即可得出总花费关于的一次函数解析式，根据一次函数的最大值即可得出结论．
【详解】（1）解：设购买一本A型笔记本需要x元，则一本B型笔记本需要（元．
根据题意得，解得：；
经检验得是原方程的解且符合题意，（元） 一本A型笔记本需要6元，一本B型笔记本需要元
答：一本A型笔记本需要元，一本B型笔记本需要元；
（2）设购买A型笔记本本，则购买B型笔记本为本，总花费W．
根据题意得，解得
，
故时，W有最小值为元，此时
答：购买A型笔记本本，B型笔记本本．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一次函数解析式并确定自变量的取值范围．
52．该工厂的工人平均每天生产生宜和熟宣各张、张
【分析】设该工厂的工人平均每天生产生宜x张，则该工厂的工人平均每天生产熟宜张，然后根据生产张熟宣比生产张生宣多用1天列出方程求解即可．
【详解】解：设该工厂的工人平均每天生产生宜x张，则该工厂的工人平均每天生产熟宜张，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴该工厂的工人平均每天生产生宜和熟宣各张、张，
答：该工厂的工人平均每天生产生宜和熟宣各张、张．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
53．(1)20元
(2)5
【分析】（1）设红灯樱桃每千克的进价为x元，根据黄蜜樱桃的数量比红灯樱桃的数量多千克，列分式方程，求解即可；
（2）根据购进的红灯樱桃总利润不低于元，列一元一次不等式，求解即可．
【详解】（1）解：设红灯樱桃每千克的进价为x元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，且符合题意，
答：红灯樱桃每千克的进价为元；
（2）解：千克，
根据题意，得，
解得，
答：的最小值为．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
54．(1)完成这项工程甲单独需要的时间是天，乙单独完成这项工程需要天；
(2)区里准备的工程工资款够用
【分析】（1）设甲单独需要的时间是天，那么甲单独完成的时间就是天，乙单独完成的时间为，甲乙一天的工作效率分别为，，甲、乙两工程队合作天的工作量表示为 ，乙又单独干了天表示为，所以列方程：，解答即可．
（2）由（1）可以知道甲乙分别单独做需要的时间，用工作量除以两队合作一天的工作效率就是二者合作所用的时间，就可以进一步求出所需的工资款，作出判断，是否够用．
【详解】（1）解：设甲单独需要的时间是天，由题意得：
．
解得．
经检验，是方程的根．
∴乙单独完成这项工程需要天，
答：完成这项工程甲单独需要的时间是天，乙单独完成这项工程需要天；
（2）解：由(1)知甲工程队单独做需天，乙工程队单独做需天．则甲乙两工程队合作需要的天数是天，
所需工程工资款为万万，
故该区里准备的工程工资款够用．
答：故该区里准备的工程工资款够用．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系；②列出方程；③解出分式方程；④检验；⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
55．小时
【分析】设列车甲从高邮到上海运行的时间为x小时，则列车乙从高邮到上海运行的时间为小时，由题意：高邮到上海的铁路里程约为360千米，列车甲行驶的平均速度为列车乙行驶平均速度的倍，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设列车甲从高邮到上海运行的时间为x小时，则列车乙从高邮到上海运行的时间为小时，
由题意得： ，
解得： ，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：列车甲从高邮到上海运行的时间为小时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
56．(1)
(2)4
【分析】（1）根据题意，可以将所求式子展开，然后计算即可；
（2）根据题意，可以将所求的方程转化为分式方程，然后解方程即可，注意要检验．
【详解】（1）解：由题意可得，
；
（2），
，
去分母，得：，
移项及合并同类项，得：，
检验：当时，，
是原分式方程的解，
即的值为．
【点睛】本题考查分式方程的应用、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
57．(1)型学习用品的单价为元，型学习用品的单价为元
(2)件
【分析】（1）设型学习用品的单价为元，则B型学习用品的单价为元，根据题意列出分式方程解方程即可求解；
（2）设购买型学习用品件，则购买型学习用品件，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：设型学习用品的单价为元，则B型学习用品的单价为元，由题意得，
，
解得，经检验是原分式方程的根，且符合实际，
则，
答：型学习用品的单价为元，型学习用品的单价为元．
（2）设购买型学习用品件，则购买型学习用品件，
由题意得，
解得，
答：最多购买B型学习用品600件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键．
58．(1)A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元
(2)60辆
【分析】（1）设B型汽车的进价为每辆万元，则A型汽车的进价为每辆万元，根据“用3000万元购进A型汽车的数量比2400万元购进B型汽车的数量少20辆”列出方程，即可求解；
（2）设购买辆A型汽车，则购买辆B型汽车，根据“用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆”列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设B型汽车的进价为每辆万元，则A型汽车的进价为每辆万元，
依题意得：
解得：
经检验，是方程的解
答：A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元
（2）解：设购买辆A型汽车，则购买辆B型汽车，
依题意得：
解得：
答：最多可以购买60辆A型汽车．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程和不等式是解题的关键．
59．(1)每袋桃片的售价为32元，则每袋麻花的售价为28元
(2)
【分析】（1）设每袋桃片的售价为x元，则每袋麻花的售价为元，根据购买麻花的数量是桃片数量的2倍列出方程，求解即可；
（2）根据这次购买两种特产的总费用比一月购买的总费用多了575元，列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设每袋桃片的售价为x元，则每袋麻花的售价为元．
由题得，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
答：每袋桃片的售价为32元，则每袋麻花的售价为28元．
（2）解：由题意得，
解得
答：a的值为3．
【点睛】本题考查分式方程与一元一次方程的应用，根据题意列出正确的方程是解本题的关键．
60．(1)30
(2)甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元
(3)70
【分析】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，根据甲队单独施工30天完成总工程的求出甲队单独施工完成全部工程的天数，根据两队完成工程量的和等于总工程量列方程，求得乙队单独施工30天完成全部工程，注意分式方程要检验；
（2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元, 根据甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，列方程组求解， 得到甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元；
（3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，根据两个工程队不同时施工，总劳务费不超过28万元，两队完成工程量等于总工程量，列出与，求出a的取值范围，根据最快完成总工程的要求，求出的最小值即可．
【详解】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，
∵甲队单独施工完成全部工程的天数是（天），
∴，
解得，，
经检验，是所列方程的根，且符合题意，
故乙队单独施工30天完成全部工程；
（2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元,
∴，
解得，，
故甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元；
（3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，
则
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴
∴在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快70天能完成总工程．
故答案为：70．
【点睛】本题主要考查了工程问题，解决问题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，总劳务费与每天劳务费和劳务时间的关系，解分式方程与二元一次方程组等等，熟知相关知识是解题的关键．
答案第1页，共2页
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