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第14讲 比值或作差代换
知识与方法
本节我们来重新审视极值点偏移问题,并给出新的解题方法,极值点偏移问题的一般形式是: 已知函数的极值点为,两相异实数 满足 , 求证 或 或其他关于的不等式. 从代数层面来看, 极值点偏移问题是条件不等式的证明: 在等量条件 的约束下求证关于的二元不等式. 那么能否将双变量的条件不等式化为单变量的函数不等式呢 现在我们来研究极值点偏移另一处理方法: 比值消元 (比值代换).
比值代换一般步骤:
(1) 根据建立等量关系;
(2) 等量关系中如果含有参数,可考虑消参; 如果含有指数式,可考虑两边取对数.
(3) 令 或者 , 构造关于的函数来证明.
典型例题
【例1】已知函数 .
(1) 求函数 的单调区间和极值;
(2) 已知函数 的图象与函数 的图象关于直线对称, 证明当 时, ; (3) 如果 , 且 , 证明 .
【解析】(1) , 令, 解得,当 变化时, 的变化情况如下表:
1
0
极大值
所以 在 内是增函数,在 内是减函数.函数 在 处取得极大值 且 .
证明:由题意可知 , 得 , 令 , 即 , 于是 , 当 时, , 从而 , 又 , 所以 ,从而函数 在 上是增函数. 又 0, 所以 时, 有 , 即 .
(3) 证明:
【解法1】①若 , 由 (1) 及 , 则 . 与 矛盾.
②若 , 由 (1) 及 , 得 . 与 矛盾.
根据①②得 , 不妨设 .
由 (2) 可知, , 则 , 所以 , 从而得 ). 因为 , 所以 ,
又由 (1) 可知函数 在区间 内是增函数, 所以 ,
即 .
【解法2】由 , 得 , 化简得 ,
不妨设 , 由方法 1 知, .
令 , 则 , 代入化简式, 得 , 反解出 , 则
, 故要证 , 即证 , 又因为 , 等价于证明:
,
构造函数 , 则 ,
故 在 上单调递增, ,
从而 也在 上单调递增, .
【例2】 已知函数 有两个不同的零点 , 求证 : .
【解析】 证明: 函数 有两个零点 , 所以 .
因此 , 即 ,
要证明 , 只要证明 , 即证: .
不妨设 , 记 , 则 , 因此只要证明: ,
即 .记 , 则 .
记 , 则 . 当 时, ,
所以 , 即 时 , 所以 , 即 成立, 所以 .
【例3】已知函数，a为常数.
(1) 若函数 在 处的切线与 轴平行, 求 的值;
(2) 当 时,试比较 与 的大小;
(3) 若函数 有两个零点 , 试证明 .
【解析】(1) 由 , 得: 函数 在 处的切线与 轴平行, , 即 ;
(2) 当 时, , 当 时, 单调递增, 当 时, 单调递减.
令 ,
则 .
又 ,
①当 时, , 即 ;
②当 时, , 即 ;
③当 时, , 即 .
(3) 证明：
【解法1】 函数 有两个零点 ,
,
, 欲证明 , 即证 ,
即证 原命题等价于证明 ,
即证: . 令 , 则 , 设 在 上单调递增, 又 ,
, 即 .
【解法2】直接换元构造新函数: , 设 ,
则 ,
反解出: ,
故 ,
设 在 上单调递
增, 又 , 即 .
【例4】已知函数 .
（1）若 在点 处的切线与直线 垂直, 求函数 的单调递增区间;
(2) 若方程 有两个不相等的实数解 , 证明: .
【解析】(1) . 得: 令 , 得: , 即 的单调减区间为 和 . (2) 证明: 由 ,
, 只要证 ,
即证 . 不妨设 ,
即证 , 令 , 只需证 2 , 则 在 上单调递增, , 即证.
【例5】已知函数 , 曲线 在点 处的切线与直线 垂直.
(1)试比较 与 的大小, 并说明理由;
(2) 若函数 有两个不同的零点 , 证明 : .
【解析】(1) 函数 ,
所以 , 又由切线与直线 垂直,
可得 , 即 , 解得 .
此时 ,
令 , 即 , 解得 ;
令 , 即 , 解得 ,
所以 的增区间为 , 减区间为 . 所以 , 即 ,
, 即有 .
(2) 证明: 不妨设 , 因为 ,
所以化简得 .
可得 ,
要证明, , 即证明 , 也就是 .
因为 , 即证 ,
即 , 令 , 则 , 即证 .
令 . 由 , 故函数 在 上是增函数, 所以 , 即 得证. 所以 .
1第14讲 比值或作差代换
知识与方法
本节我们来重新审视极值点偏移问题,并给出新的解题方法,极值点偏移问题的一般形式是: 已知函数的极值点为,两相异实数 满足 , 求证 或 或其他关于的不等式. 从代数层面来看, 极值点偏移问题是条件不等式的证明: 在等量条件 的约束下求证关于的二元不等式. 那么能否将双变量的条件不等式化为单变量的函数不等式呢 现在我们来研究极值点偏移另一处理方法: 比值消元 (比值代换).
比值代换一般步骤:
(1) 根据建立等量关系;
(2) 等量关系中如果含有参数,可考虑消参; 如果含有指数式,可考虑两边取对数.
(3) 令 或者 , 构造关于的函数来证明.
典型例题
【例1】已知函数 .
(1) 求函数 的单调区间和极值;
(2) 已知函数 的图象与函数 的图象关于直线对称, 证明当 时, ; (3) 如果 , 且 , 证明 .
【例2】 已知函数 有两个不同的零点 , 求证 : .
【例3】已知函数，a为常数.
(1) 若函数 在 处的切线与 轴平行, 求 的值;
(2) 当 时,试比较 与 的大小;
(3) 若函数 有两个零点 , 试证明 .
【例4】已知函数 .
（1）若 在点 处的切线与直线 垂直, 求函数 的单调递增区间;
(2) 若方程 有两个不相等的实数解 , 证明: .
【例5】已知函数 , 曲线 在点 处的切线与直线 垂直.
(1)试比较 与 的大小, 并说明理由;
(2) 若函数 有两个不同的零点 , 证明 : .
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