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第15讲 对数平均不等式
知识与方法
基本不等式链: 已知 (当且仅当 取等号), 即: 调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数, 简记为:调几算方.
对数平均不等式: 对于正数 , 且 , 定义 为 的对数平均值, 且若 , 即 : 调和平均数何平均数 对数平均数算术平均数平方平均数, 简记为:调几对算方.
证明：
证法 1 (比值代换) 令 , 则
, 构造函数可证.
证法 2(主元法) 不妨设 ,
记 , 则 , 得 在 上单调递减, 有 , 左边得证, 右边同理可证.
证法 3 (构造函数法) 先证 :
要证 , 只需证 , 令 , 只需证 , 设 , 则 , 可得 在 上单 调递减, .
再证:
要证 , 只需证 , 令 , 只需证 。设 , 则 , 故 在 上单调递减, .
常见等价变形:
用对数平均数求证极值点偏移问题的步骤 :
(1) 根据 建立等量关系;
(2)等量关系中如果含有参数, 可考虑消参; 如果含有指数式, 可考虑两边取对数;
(3) 通过恒等变形转化出对数平均数, 代人对数平均不等式求解.
典型例题
【题型 1】证明极值点偏移问题
【例1】已知函数 , 如果 , 且 , 证明: .
【例2】 已知函数 的图像与直线 交于不同的两点 , 求证: .
【例3】 设函数 的两个零点是 , 求证: .
【例4】设函数 , 其图像与 轴交于 两点, 且 ,
【题型 2】 的应用
【例5】设函数 , 其中 是 的导函数, 设 , 比较 (2) 与 的大小, 并加以证明.
【例6】已知函数 的最小值为 0 , 证明: .
【题型 3】 的应用
【例7】设数列 的通项 , 其前 项的和为 , 证明: .
【例8】 设数列 的通项 , 证明: .
【题型 5】 的应用
【例9】已知函数 的图象在点 处的切线方程为 .
证明:
【题型 6】 的应用
【例10】已知 .
求证: 对一切正整数均成立.
强化训练
1.已知函数有两个零点,则下列说法错误的是
A. B. C. D.有极小值点,且
2.设函数的两个零点是,求证:
3.已知函数和,若存在两个实数且,满足,求证:
4.已知函数
(1)若时,,求的最小值;
(2)设数列的通项,证明:.
1第15讲 对数平均不等式
知识与方法
基本不等式链: 已知 (当且仅当 取等号), 即: 调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数, 简记为:调几算方.
对数平均不等式: 对于正数 , 且 , 定义 为 的对数平均值, 且若 , 即 : 调和平均数何平均数 对数平均数算术平均数平方平均数, 简记为:调几对算方.
证明：
证法 1 (比值代换) 令 , 则
, 构造函数可证.
证法 2(主元法) 不妨设 ,
记 , 则 , 得 在 上单调递减, 有 , 左边得证, 右边同理可证.
证法 3 (构造函数法) 先证 :
要证 , 只需证 , 令 , 只需证 , 设 , 则 , 可得 在 上单 调递减, .
再证:
要证 , 只需证 , 令 , 只需证 。设 , 则 , 故 在 上单调递减, .
常见等价变形:
用对数平均数求证极值点偏移问题的步骤 :
(1) 根据 建立等量关系;
(2)等量关系中如果含有参数, 可考虑消参; 如果含有指数式, 可考虑两边取对数;
(3) 通过恒等变形转化出对数平均数, 代人对数平均不等式求解.
典型例题
【题型 1】证明极值点偏移问题
【例1】已知函数 , 如果 , 且 , 证明: .
【解析】证明: 即 , 则 (正数 的对数平均数为 1), 于是 , 得 , 且 .
【例2】 已知函数 的图像与直线 交于不同的两点 , 求证: .
【解析】 证明: 由 得 ; , 由 对数平均不等式得 , 得 .
【例3】 设函数 的两个零点是 , 求证: .
【解析】 证明: 由题意得 , 两式相减得 - a) , 则 , 所以
【例4】 设函数 , 其图像与 轴交于 两点, 且 ,
解；证明: . 证明: 即 , 则 ①-②得 , 则 (正数 的对数平均数 为 1 ), 于 是, , 得
①+②得 , 所以 , 由此可得
【题型 2】 的应用
【例5】设函数 , 其中 是 的导函数, 设 , 比较 (2) 与 的大小, 并加以证明.
【解析】因为 , 所 以 ,而 , 因此, 比较 与 的大小,即只需比较 与 的大小即可. 根据 时, , 即 , 令 , 则 , 所以 , , 将以上各不等式左右两边相加得: ,故 .
【说明】本题是高考试题的压轴题, 难度较大, 我们这里应用对数平均数不等式链来证明, 思路简 捷, 别具新意,易于学生理解、掌握, 也可以利用之前讲的数列不等式.
当 时, , 即 , 令 , 则 , 可得 .
【例6】已知函数 的最小值为 0 , 证明: .
【解析】证明: 易求 , 待证不等式等价于 , 根据 时, , 即 , 令 , 则 , , 将以上各不等式左右两边分别相加得：
【题型 3】 的应用
【例7】设数列 的通项 , 其前 项的和为 , 证明: .
【解析】 证明 : 根据 时, , 即 , 令 , 则 , 易证 .
【题型 4】 的应用
【例8】 设数列 的通项 , 证明: .
【解析】 证明: 根据时, , 即 , 令 , 则 , 易证 .
【题型 5】 的应用
【例9】已知函数 的图象在点 处的切线方程为 .
证明:
【解析】证明: 当 时, , 即 ,
令 则 ,
所以 ,
, 将以上各不等式左右两边分别相加得：
,
即 ,
故 .
【题型 6】 的应用
【例10】已知 .
求证: 对一切正整数均成立.
【解析】证明:根据时,.即.
令,则,变形可得:
将以上各不等式左右两边相加得:对一切正整数均成立.
强化训练
1.已知函数有两个零点,则下列说法错误的是
A. B. C. D.有极小值点,且
【解析】函数 导函数: , 有极值点 , 而极值 正确; 有两个零点: , 即: (2)
(1) -(2)得: , 根据对数平均值不等式: , 而 正确, 错误, 而 (1) +得, 即 成立.
【答案】D.
2.设函数的两个零点是,求证:
【解析】 证明 :
3.已知函数和,若存在两个实数且,满足,求证:
【解析】证明 : 由 得 , 则 , 得 ; .
4.已知函数
(1)若时,,求的最小值;
(2)设数列的通项,证明:.
【解析】(1) 易得 , 令 , 则 , 若 , 则当 时, 是增函数, 不符合题意; 若 , 则当 时, 是增函数, 不符合题意; 若 , 则当 时, 是减函数, 符合题意; 综上, 的最小值是 .
(2) 当 时, , 即 , 令 , 则 , 所以 , , 将以上各不等式左右两边分别相加得：
即 ,
故 .
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