资源简介

第12讲 洛必达法则巧解 高考压轴题
知识与方法
数压轴题第2问中，如果是不等式恒成立来求参数的取值范围问题，我们可以用洛必达法则来处理．
先给大家介绍一下什么是洛必达法则：
法则1：若函数和满足下列条件：
（1）及；
（2）在点a的去心邻域内，与可导且；
（3），那么．
法则2：若函数和满足下列条件：
（1）及；
（2）在点a的去心邻域内，与可导且；
（3），那么．
了解了什么是洛必达法则，那么，什么情况下可以使用它去解 决问题呢？
首先，先逐条诠释一下洛必达法则需要满足的条件．
对于（1），这样给大家解 释，我们用洛必达法则处理的式子形式为或的形式，也是唯一判定标准．
对于（2），我们在高中阶段几乎不研究不可导函数，所以大家不用担心．
对于（3），高中阶段，当出现或的时候，对分子分母分别求导，若值存在，则值不变，洛必达法则可以在一个式子中多次使用，直到可以求出定值为止．
典型例题
【例1】 设函数．
（1）若a=0，求的单调区间；
（2）若当x≥0时，，求a的取值范围．
【例2】 已知函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)当,且时,,求的取值范围.
【例3】设函数.
(1)求的单调区间;
(2)如果对任何,都有,求的取值范围.
【例4】 设函数,若对所有的都有成立,求实数的取值范围.
1第12讲 洛必达法则巧解 高考压轴题
知识与方法
数压轴题第2问中，如果是不等式恒成立来求参数的取值范围问题，我们可以用洛必达法则来处理．
先给大家介绍一下什么是洛必达法则：
法则1：若函数和满足下列条件：
（1）及；
（2）在点a的去心邻域内，与可导且；
（3），那么．
法则2：若函数和满足下列条件：
（1）及；
（2）在点a的去心邻域内，与可导且；
（3），那么．
了解了什么是洛必达法则，那么，什么情况下可以使用它去解 决问题呢？
首先，先逐条诠释一下洛必达法则需要满足的条件．
对于（1），这样给大家解 释，我们用洛必达法则处理的式子形式为或的形式，也是唯一判定标准．
对于（2），我们在高中阶段几乎不研究不可导函数，所以大家不用担心．
对于（3），高中阶段，当出现或的时候，对分子分母分别求导，若值存在，则值不变，洛必达法则可以在一个式子中多次使用，直到可以求出定值为止．
典型例题
【例1】 设函数．
（1）若a=0，求的单调区间；
（2）若当x≥0时，，求a的取值范围．
【解析】 (1)时,.
当时,，当时,.故在单调减少,在单调增加.
(2)【解法1】 ,由(1)知,当且仅当时等号成立.故,从而当,即时,,而,所以当时,.由可得.因此当时,,故当时,,而,所以当时,.
综合得的取值范围为.
【解法2】 当时,,对任意实数,均在；当时,等价于,
令,则,令,则,知在上为增函数,;知在上为增函数,在上为增函数.由洛必达法则知,,故,
综上,知的取值范围为.
【例2】 已知函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)当,且时,,求的取值范围.
【解析】 (1).
由于直线的斜率为,且过.点,故故,解 得.
(2)【解法1】 由(1)知,所以，
考虑函数,则.
①设,由知,当时,递减.而,故
当时,,可得；
当时,,可得,
从而当,且时,,即.
②设.由于的图象开口向下,且,
对称轴.当时,,故,而,所以当时,，
可得,与题设矛盾.
③设.此时,而,故当时,,可得,与题设矛盾.
综合得,的取值范围为.
【解法2】由题设可得,当时,恒成立.
令,则,
再令,则,易知在上为增函数,且;故当时,0,当时,;
∴在上为减函数,在上为增函数;故在上为增函数.∵当时,,当时,当,时,,当时,在上为减函数,在上为增函数.
∵由洛必达法则法0,即的取值范围为.
【例3】设函数.
(1)求的单调区间;
(2)如果对任何,都有,求的取值范围.
【解析】
(1).
当时,,即;
当时,,即.
因此在每一个区间内是增函数,
在每一个区间内是减函数.
(2)应用洛必达法则和导数,若,则;
若,则等价于.即,
则.
记,
.
因此,当时,在上单调递减,且,故,所以在上单调递减,
而.
另一方面,当时,,因此.
【例4】 设函数,若对所有的都有成立,求实数的取值范围.
【解析】
【解法1】 令,对函数求导数:,令,解 得.
(1)当时,对所有,所以在上是增函数.又,所以对,有,即当时,对于所有,都有.
(2)当时,对于,所以在是减函数.又.所以对,有,即.所以当时,不是对所有的,都有成立.
综上的取值范围是.
【解法2】 令,于是不等式成立即为成立.对求导数得,令,解得,当时,为增函数,当时,为减函数.要对所有都有充要条件为.由此得,即的取值范围是.
1

展开更多......

收起↑