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第11讲 三次函数
知识与方法
1．单调性
当时，三次函数在上是单调函数；
当时，三次函数在上有3个单调区间．
证明：
∴当时，与x轴无交点或有一个交点，或恒成立，
原函数单调．
当时，与x轴有两个交点，原函数有3个单调区间．
2．对称中心
三次函数是关于点对称的，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标．
证明：只需证明常数，即可．
3．三次函数图象的切线条数
过（）的对称中心作切线l，则坐标平面被切线l和函数的图象分割为四个区域，有以下结论：
①过区域Ⅰ、Ⅲ内的点作的切线，有且仅有三条；
②过区域Ⅱ、Ⅳ内的点以及对称中心作的切线，有且仅有一条；
③过切线l或函数图象（除去对称中心）上的点作的切线，有且仅有两条．切线条数口诀：内一、上二、外三．
典型例 题
【例1】 已知过点且与曲线相切的直线的条数有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】
【解法1】若直线与曲线切于点，则．
∵，∴，∴，∴，，
∴过点与曲线相切的直线方程为或，
【解法1】由大招结论，的中心对称点为，过点A的切线方程为．点在曲线上，根据切线条数口诀：内一、上二、外三．P与曲线有2条切线．
【答案】 C．
【例2】 对于三次函数，定义：是函数的导数的导数，若方程有实数解 ，则称点为函数的“拐点”．有机智的同学发现“任何三次函数都有‘拐点’；任何三次函数都有对称中心，且‘拐点’就是对称中心”．请你将这一机智的发现作为条件，求：
（1）函数的图象对称中心为______；
（2）若函数，则______．
【解析】 依题意得：，∴．由，即．∴，
又∵，∴函数的图象对称中心为．
（2）依题意，设，得：，∴．
由，即．∴，又∵，
∴函数对称中心为，．
所以．
【答案】（1）；（2）2015．
【例3】已知过第二象限内的点能且只能向函数（t为给定的正常数）的图象作两条切线，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】
【解法1】 设切点为，的导数为，
可得切线的方程为，
代入点，可得，
即有，设，，由，
解得或，，可得为极小值点，为极大值点，由题意可得，，即有，表示以O为端点在第二象限的射线，表示点与两点的距离的平方，由点到射线的距离为，则的最小值为．故选A．
方法2：，，，令，得．所以对称中心为，，在O点切线方程为．根据“内一上二外三”，点位于第二象限中，而且在三次函数上或者过原点的切线上．所以表示点与两点的距离的平方，由点到射线的距离为，则的最小值为．故选A．
【例4】已知函数．
（1）求在区间上的最大值；
（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；
（3）问过点，，分别存在几条直线与曲线相切 （只需写出结论）
【解析】 （1）由得，令，得或，
∵，，，，∴在区间上的最大值为．
（2）【解法1】 设过点的直线与曲线相切于点，则，且切线斜率为，∴切线方程为，∴，即，设，则“过点存在3条直线与曲线相切”，等价于“有3个不同的零点”．∵，∴与变化情况如下：
x 0 1
+ 0 ― 0 +
↗ ↘ ↗
∴是的极大值，是的极小值．
当，即时，在区间和上分别至多有一个零点，故至多有2个零点．
当，即时，在区间和上分别至多有一个零点，故至多有2个零点．
当且，即时，∵，，
∴分别在区间和以及上恰有1个零点，由于在区间和上单调，故分别在区间和上恰有1个零点．
综上所述，当过点存在3条直线与曲线相切时，t的取值范围是．
【解法2】 （此大招可快速秒答案，但考试还是建议普通方法）
显然函数的对称中心为，而，故切线为，当时，，而，故t的取值范围是．
（3）过点存在3条直线与曲线相切；
过点存在2条直线与曲线相切；
过点存在1条直线与曲线相切．
【例5】已知函数，其中，．
（1）若存在，使得，证明：；
（2）当时，若存在个极值点，证明：．
【解析】 （1）设
则，，其中为常数，根据题设知．
因为，
所以．
（2）假设当时，存在n个零点，设，，，为的n个零点，
则，
所以，，
即，，
因为，，，互不相等，且包含项，
所以，
所以，
所以．
当时，若存在个极值点，
即次函数存在个零点，
所以，
所以．
强化训练
1．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数【解析】 ，则称点为函数的对称中心（也称为函数的拐点），若，则的图象的对称中心为______．
【解析】 ∵函数，∴，∴，令，解 得，且，故函数的对称中心为，
【答案】．
2．设的极小值为，其导函数的图象是经过点，开口向上的抛物线，如图所示．
（1）求的解析式；
（2）若，且过点可作曲线的三条切线，求实数m的取值范围．
【解析】（1）由图象可知，在上，在上．在上．
故在上递增，在上递减．因此在处取得极小值，
∴，∵，∴，，∴，即，，即，∴，，，∴．
（2）方法1：过点向曲线作切线，设切点为，
则，，则切线方程为，将代入上式，整理得．
∵过点可作曲线的三条切线，
∴方程有三个不同实数根．
记，，
令，得或1，则x，，的变化情况如下表：
x 0 1
+ 0 ― 0 +
↗ 极大 ↘ 极小 ↗
当，有极大值；，有极小值，由题意有，当且仅当即解 得时函数有三个不同零点．此时过点A可作曲线的三条不同切线．故m的取值范围是．
方法2：显然三次函数对称中心为，而，故切线为，当时，，而，故m的取值范围是．
3．设函数，其中，曲线在点处的切线方程为．
（1）确定b，c的值；
（2）设曲线在点及处的切线都过点．证明：当时，；
（3）若过点可作曲线的三条不同切线，求a的取值范围．
【解析】（1）由，得，，．
又由曲线在点处的切线方程为，得，．故，．
（2）证明：，，由于点处的切线方程为，而点在切线上，所以，化简得．即t满足的方程为．下面用反证法证明．
假设，由于曲线在点及处的切线都过点，
则下列等式成立：
由③得，由①―②得④
又，故由④得，此时与矛盾，所以．
（3）方法1：由（2）知，过点可作的三条切线，等价于方程有三个相异的实根，即等价于方程有三个相异的实根．
设，则．由于，故有
t 0
+ 0 ― 0 +
↗ 极大值1 ↘ 极小值 ↗
由的单调性知：当且仅当时，有三个相异的实根．
即，∴a的取值范围是．
方法2：由于，故，，令，即，此时，而，故切线为，当时，，即保证即可，即，故，即得到实数a的取值范围是．
4．设a为实数，函数．
（1）求的极值；
（2）是否存在实数a，使得方程恰好有两个实数根 若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1），令，得或．
∵当时，；当时，；
当时，，
∴在，上单调递减，在上单调递增．
∴的极小值为，极大值为．
（2）方程恰好有两个实数根，等价于直线与函数的图象有两个交点．∵，∴．令，【解析】 得或；令，解 得．
∴在上为减函数，在和上为增函数．
∴当时，；当时，．∴的大致图象如图所示．
表示平行于x轴的一条直线，由图象知，当或时，与有两个交点．
故当或时，方程恰好有两个实数根．
5．已知函数，曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标为．
（1）求a；
（2）证明：当时，曲线与直线只有一个交点．
【解析】（1），．
曲线在点处的切线方程为．
由题设得，所以．
（2）由（1）知，
设，由题设知．
当时，，单调递增，
，，所以在有唯一实根．
当时，令，则．
，在单调递减，在单调递增，
所以，所以在没有实根．
综上，在R有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点．
6．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，试讨论是否存在，使得．
【解析】（1），方程的判别式：．
∴当时，，∴，此时在上为增函数．
当时，方程的两根为．
当时，，∴此时为增函数，
当时，，∴此时为减函数，
当时，，∴此时为增函数，
综上，时，在上为增函数
当时，的单调递增区间为，．
的单调递减区间为．
（2）
∴若存在，使得，
必须在上有解 ，
∵，∴，
方程的两根为：，∵，
∴只能是，
依题意，，即，
∴，即，
又由，得，故欲使满足题意的存在，则．
∴当时，存在唯一的满足．
当时，不存在，
使．
7．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在a，b，使得在区间的最小值为且最大值为1 若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）．
令，得或．
若，则当时，；当时，．故在，单调递增，在单调递减；
若，在单调递增；
若，则当时，；当时，．故在，单调递增，在单调递减．
（2）满足题设条件的a，b存在．
（ⅰ）当时，由（1）知，在单调递增，所以在区间的最小值为，最大值为．此时a，b满足题设条件当且仅当，，即，．
（ⅱ）当时，由（1）知，在单调递减，所以在区间的最大值为，最小值为．此时a，b满足题设条件当且仅当，，即，．
（ⅲ）当时，由（1）知，在的最小值为，最大值为b或．
若，，则，与矛盾．
若，，则或或，与矛盾．
综上，当且仅当，或，时，在的最小值为，最大值为1．
8．已知函数．
（1）求曲线的斜率为1的切线方程；
（2）当时，求证：；
（3）设（），记在区间上的最大值为．当最小时，求a的值．
【解析】（1）由得．
令，即，得或．
又，，
所以曲线的斜率为1的切线方程是与，
即与．
（2）令，．
由得．
令得或．
，的情况如下：
x 0 4
+ ― +
↗ 0 ↘ ↗ 0
所以的最小值为，最大值为0．
故，即．
（3）由（2）知，
当时，；
当时，；
当时，．
综上，当最小时，．
9．设函数，a，b，，为的导函数．
（1）若，，求a的值；
（2）若，，且和的零点均在集合中，求的极小值；
（3）若，，，且的极大值为M，证明：．
【解析】（1）因为，所以．
因为，所以，解 得．
（2）因为，
所以，
从而．令，得或．
因为a，b，都在集合中，且，
所以，，．
此时，．
令，得或．列表如下：
x 1
+ 0 ― 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以的极小值为．
（3）因为，，所以，．
因为，所以，
则有2个不同的零点，设为，．
由，得，．
列表如下：
x
+ 0 ― 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以的极大值．
【解法1】
．因此．
【解法2】因为，所以．
当时，．
令，，则．
令，得．列表如下：
x
+ 0 ―
↗ 极大值 ↘
所以当时，取得极大值，且是最大值，故．
所以当时，，因此．
10．若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点．设函数．
（1）若函数在在无极值点，求t的取值范围；
（2）证明：对任意实数t，函数的图像总存在两条切线相互平行；
（3）当时，函数的图像存在的两条平行切线之间的距离为4，求满足此条件的平行切线共有几组．
【解析】（1），令，解 得，，
因为在上无极值点，所以，即t的取值范围为．
（2），取，则有，
此时，
且，
因为，所以，所以，
即，所以曲线在处与处的切线平行．
（3）当时，，，
令，则，所以，
所以：
，
所以，
所以，的中点为，即点到处的切线距离为2，
曲线在处的切线方程为，
整理得，
点到直线的距离，
整理得，故符合
设，，
列表可知，在上单调递减，在单调递增，
又因为，，，
所以存在及，使得，
故，s，t均符合题意，所以满足条件的平行切线共有三组．
11．已知函数．
（1）当，求的单调增区间；
（2）当时，若函数恰有两个不同的零点，求的值；
（3）当时，若的【解析】 集为，且中有且仅有一个整数，求实数b的取值范围．
【解析】（1）当时，，则，
令，解得，即的单调增区间为和；
（2）因为，所以，设，
则恰好有两个不同的零点，令，解得，
由题意可知，只需即可，整理得，解 得；
（3）当时，，则不等式可化为，设，
则，当时，，即单调递增，
当时，，即单调递减，
因为，，，所以．
12．设函数．
（1）求的单调区间；
（2）若函数在区间上有三个零点，求实数m的取值范围；
（3）设函数，如果对任意的，，都有成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）．
由，得或；
由，得，所以的单调递增区间是，，单调递减区间是．
（2）令，则，
，
由（1）知函数在处取得极大值，在处取得极小值．
因为函数在区间上有三个零点，
所以解得，
所以实数m的取值范围是．
（3）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
而，，故在区间上的最大值为．
因为“对任意的，，都有成立”等价于“对任意，恒成立”．
即当时，恒成立，
即恒成立．
记，则有．
，可知．
当时，，，
则，在上单调递增；
当时，，，
则，在上单调递减．
故在区间上的最大值为，
所以实数a的取值范围是．
13．函数满足时有恒成立，且．
（1）求a的取值范围及b的值；
（2）证明：函数有且仅有唯二零点．
【解析】（1）函数满足时，有恒成立等价于在恒成立，
∴等价于时，，和时，；
则是方程的一个根，即为，则，
因为当时，，则．
（2）证明：由（1）知，
，
则，
当，，
则，且，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
所以时，，
当时，，函数单调递减；当，，
则在时有唯一一个零点，
综上所述，函数有且仅有唯二零点．
1第11讲 三次函数
知识与方法
1．单调性
当时，三次函数在上是单调函数；
当时，三次函数在上有3个单调区间．
证明：
∴当时，与x轴无交点或有一个交点，或恒成立，
原函数单调．
当时，与x轴有两个交点，原函数有3个单调区间．
2．对称中心
三次函数是关于点对称的，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标．
证明：只需证明常数，即可．
3．三次函数图象的切线条数
过（）的对称中心作切线l，则坐标平面被切线l和函数的图象分割为四个区域，有以下结论：
①过区域Ⅰ、Ⅲ内的点作的切线，有且仅有三条；
②过区域Ⅱ、Ⅳ内的点以及对称中心作的切线，有且仅有一条；
③过切线l或函数图象（除去对称中心）上的点作的切线，有且仅有两条．切线条数口诀：内一、上二、外三．
典型例 题
【例1】 已知过点且与曲线相切的直线的条数有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例2】 对于三次函数，定义：是函数的导数的导数，若方程有实数解 ，则称点为函数的“拐点”．有机智的同学发现“任何三次函数都有‘拐点’；任何三次函数都有对称中心，且‘拐点’就是对称中心”．请你将这一机智的发现作为条件，求：
（1）函数的图象对称中心为______；
（2）若函数，则______．
【例3】已知过第二象限内的点能且只能向函数（t为给定的正常数）的图象作两条切线，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例4】已知函数．
（1）求在区间上的最大值；
（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；
（3）问过点，，分别存在几条直线与曲线相切 （只需写出结论）
【例5】已知函数，其中，．
（1）若存在，使得，证明：；
（2）当时，若存在个极值点，证明：．
强化训练
1．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数【解析】 ，则称点为函数的对称中心（也称为函数的拐点），若，则的图象的对称中心为______．
2．设的极小值为，其导函数的图象是经过点，开口向上的抛物线，如图所示．
（1）求的解析式；
（2）若，且过点可作曲线的三条切线，求实数m的取值范围．
3．设函数，其中，曲线在点处的切线方程为．
（1）确定b，c的值；
（2）设曲线在点及处的切线都过点．证明：当时，；
（3）若过点可作曲线的三条不同切线，求a的取值范围．
4．设a为实数，函数．
（1）求的极值；
（2）是否存在实数a，使得方程恰好有两个实数根 若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
5．已知函数，曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标为．
（1）求a；
（2）证明：当时，曲线与直线只有一个交点．
6．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，试讨论是否存在，使得．
7．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在a，b，使得在区间的最小值为且最大值为1 若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．
8．已知函数．
（1）求曲线的斜率为1的切线方程；
（2）当时，求证：；
（3）设（），记在区间上的最大值为．当最小时，求a的值．
9．设函数，a，b，，为的导函数．
（1）若，，求a的值；
（2）若，，且和的零点均在集合中，求的极小值；
（3）若，，，且的极大值为M，证明：．
10．若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点．设函数．
（1）若函数在在无极值点，求t的取值范围；
（2）证明：对任意实数t，函数的图像总存在两条切线相互平行；
（3）当时，函数的图像存在的两条平行切线之间的距离为4，求满足此条件的平行切线共有几组．
11．已知函数．
（1）当，求的单调增区间；
（2）当时，若函数恰有两个不同的零点，求的值；
（3）当时，若的【解析】 集为，且中有且仅有一个整数，求实数b的取值范围．
12．设函数．
（1）求的单调区间；
（2）若函数在区间上有三个零点，求实数m的取值范围；
（3）设函数，如果对任意的，，都有成立，求实数a的取值范围．
13．函数满足时有恒成立，且．
（1）求a的取值范围及b的值；
（2）证明：函数有且仅有唯二零点．
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