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第10讲 双变量问题——韦达定理妙用
知识与方法
题型特点: 函数求导后主导函数为二次函数, 涉及两根(两极值点)问题, 可以利用两根和与积的关系 进行消元, 代换后变成单变量问题, 题目就迎刃而解 了.
典型例题
【例1】已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2) 若 有两个极值点 , 证明: .
【例2】 已知函数 .
（1）讨论 的单调性;
(2) 若 存在两个极值点 , 证明: .
【例3】 设函数 有两个极值点 , 且 .
(1)求 的取值范围,并讨论 的单调性;
(2) 证明: .
【例4】已知函数 .
(1) 若 有三个极值点, 求 的取值范围;
(2) 设 为 的极值点, 证明: .
强化训练
1. 已知常数 , 函数 .
（1）讨论 在区间 上的单调性;
(2) 若 存在两个极值点 , 且 , 求 的取值范围.
2. 已知函数 .
（1）若 在 [1,3]上是单调递增函数,求实数 的取值范围;
(2) 记 , 并设 是函数 的两个极值点, 若 , 求 的最小值..
3．已知函数．其中a，b，．
（1）若，，，求的单调区间；
（2）若，且当时，总成立，求实数a的取值范围；
（3）若，，，若存在两个极值点，，
求证：．
4．设函数．
（1）当时，求函数在点处切的切线方程；
（2）若函数存在两个极值点、，
①求实数a的范围；
②证明：．
5．已知函数．
（1）若函数在上为单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数在和处取得极值，且（e为自然对数的底数），求的最大值．
6．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，，证明：．
7．已知函数．
（1）若，求函数的极值点；
（2）若，函数有两个极值点，，且，证明：．
8．已知函数在处的切线与直线垂直．
（1）求函数（为的导函数）的单调递增区间；
（2）记函数，设，是函数的两个极值点，若，证明：．
1第10讲 双变量问题——韦达定理妙用
知识与方法
题型特点: 函数求导后主导函数为二次函数, 涉及两根(两极值点)问题, 可以利用两根和与积的关系 进行消元, 代换后变成单变量问题, 题目就迎刃而解 了.
典型例题
【例1】已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2) 若 有两个极值点 , 证明: .
【解析】 (1) , 不妨设 , 则关于 $x$ 的方程 的判别式 , 当 时, , 故 函数 在 上单调递减, 当 时, , 方程 有两个不相等的正根 ,
$
当 及 时 , 当 时, , 在 上递减, 在 上递增.
(2) 证明: 由（1) 知当 时,函数 有两个极值点, 且
设 , 则 , 所以 在 (4, 上递增, , 所以 .
【例2】 已知函数 .
（1）讨论 的单调性;
(2) 若 存在两个极值点 , 证明: .
【解析】 (1) 函数的定义域为 , 函数的导数 , 设 ,
当 时, 恒成立, 即 恒成立, 此时函数 在 上是减函数, 当 时, 判别式 ,
(1) 当 时, , 即 , 即 恒成立, 此时函数 在 上是减函数.
(2)当 时, 的变化如下表:
综上当 在 上单调递减, 当 时, 在 和 , 上单调递减, 则 上单调递增.
(2) 证明: 的定义域为 . 由于 的两个极值点 满足 , 所以 , 不妨设 , 则 . 由 于 , 所以 等价于 .
设函数 , 由 (1) 知, 在 单调递减, 又因为 , 从而当 时,. 所以 , 即 .
【例3】 设函数 有两个极值点 , 且 .
(1)求 的取值范围,并讨论 的单调性;
(2) 证明: .
【解析】
(1) , 令 , 其对称轴为 . 由题意知 是方程 的两个均大于-1的不相等的实根, 其充要条件为 , 得
①当 时, 在 内单调递增;
②当 时, 在 内单调递减;
③当 时, 在 内单调递增.
(2) 证明: 由 (1) ,
$$
设 ,
则 .
(1) 当 时, 在 内单调递增;
(2)当 时, 在 内单调递减. 当 时,
【例4】已知函数 .
(1) 若 有三个极值点, 求 的取值范围;
(2) 设 为 的极值点, 证明: .
【解析】 (1) 【解法1】.
若 有三个极值点, 则方程 有三个正数根,
设 , 则 ,
则方程 有两个根 , 满足 ,
且 在 上单调递增, 在 上单调递减, 上单调递增,
所以
解 得 .
【解法2】 .
若 有三个极值点, 则方程 有三个正数根,
设 为 的三个根,
则 ,
所以 ,
因为 ,
所以 ,
所以 .
(2) 根据题意有
由（1）方法二可知,
所以 ,
又由 (1) 可知 ,
所以 ,
所以 .
强化训练
1. 已知常数 , 函数 .
（1）讨论 在区间 上的单调性;
(2) 若 存在两个极值点 , 且 , 求 的取值范围.
【解析】 (1) ,
当 时, 即 时, 恒成立,
则函数 在 上单调递增; 当 时, 由 得 ,
则函数 在 单调递减, 在 , 单调递增.
(2) 由 (1) 知, 当 时, , 此时 不存在极值点.
因此要使 存在两个极值点 , 则必有 ,
又 的极值点值可能是 ,
且由 的定义域可知 且 且 , 解 得 , 则 分别为函数 的极小值点和极大值点.
令 , 由 且 得,
当 时, ; 当 时, .
令 .
(1) 当 时, ,
故 在 上单调递减, ,
当 时,;
(2) 当 ,
故 在 上单调递减, ,
当 时, ;
综上所述, 的取值范围是 .
2. 已知函数 .
（1）若 在 [1,3]上是单调递增函数,求实数 的取值范围;
(2) 记 , 并设 是函数 的两个极值点, 若 , 求 的最小值..
【解析】 (1) 在 $[1,3]$ 上是单调递增函数, 在 [1,3]上恒成立, ,
上恒成立. 在 上的最小值为 .
(2) ,
.
令 , 得 .
设 , 令 ,
则 在 上单调递减.
又 , 即 ,
即 , 解 得 或 .
又 .
的最小值为 .
3．已知函数．其中a，b，．
（1）若，，，求的单调区间；
（2）若，且当时，总成立，求实数a的取值范围；
（3）若，，，若存在两个极值点，，
求证：．
【解析】（1），，，，
∴，，或时，，
∴函数的单调减区间是，单调增区间是；
（2）若，且当时，总成立，则．
，，，∴．
，，，；
，在上为减函数，在上为增函数，，不成立，
综上所述，；
（3）证明：，．
∵存在两个极值点，，∴，∴．
令，，，，
∵，∴．
4．设函数．
（1）当时，求函数在点处切的切线方程；
（2）若函数存在两个极值点、，
①求实数a的范围；
②证明：．
【解析】（1）函数的导数为，在点处的切线斜率为2，切点为，即有在点处的切线方程为，即为．
（2），令，得，
①函数有两个极值点等价于方程有两个不同的根．
设，所以，
所以函数有两个极值点，，则．
②证明：由，得，则，
，，，
，
，，
在区间上递减，所以，即．
5．已知函数．
（1）若函数在上为单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数在和处取得极值，且（e为自然对数的底数），求的最大值．
【解析】（1）∵，
又在上单调递增，∴恒有，
即恒成立，∴，
而，当且仅当时取“=”，∴．
即函数在上为单调递增函数时，a的取值范围是．
（2）∵在和处取得极值，
且，
∴，是方程的两个实根，
由根与系数的关系得，，
∴，
设，令，
则，
∴在上是减函数，
∴，
故的最大值为．
6．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，，证明：．
【解析】（1）的定义域为，．
（ⅰ）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减．
（ⅱ）若，令得，或．
当时，；
当时，．所以在，单调递减，在单调递增．
（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当．
由于的两个极值点，满足，所以，不妨设，则．由于，
所以等价于．
设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，．
所以，即．
7．已知函数．
（1）若，求函数的极值点；
（2）若，函数有两个极值点，，且，证明：．
【解析】（1）的定义域为，，
①若，则，
所以当时，，
所以在上单调递增，所以无极值点．
②若，则，
由得，．
当x变化时，，的变化情况如下表：
x
+ 0 ― 0 +
极大值 极小值
所以有极大值点，
极小值点．
（2）由（1）及条件可知，
且，，即，，
所以，
记，，
因为当时，，
所以在上单调递减，
因为，
所以，即．
8．已知函数在处的切线与直线垂直．
（1）求函数（为的导函数）的单调递增区间；
（2）记函数，设，是函数的两个极值点，若，证明：．
【解析】（1）由题意可得：，，可得：；
又，所以；
当时，，y单调递增；
当时，，y单调递减；故函数的单调增区间为．
（2），，
因为，是的两个极值点，故，是方程的两个根，由韦达定理可知：
，∵，可知，又，
令，可证在递增，由，从而可证．
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