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第13讲 极值点偏移定义及判定定理
知识与方法
所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图象没有对称性.若函数在处取得极值，且函数与直线交于，两点，则的中点为，而往往，如下图所示.
极值点偏移问题的一般题设形式：
1.若函数存在两个零点且，求证：(为函数的极值点)；
2.若函数中存在且满足，求证：(为函数的极值点)；
3.若函数存在两个零点且，令，求证：.
4.若函数中存在且满足，令，求证：.
[抽化模型]答题模板：若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.
1.讨论函数单调性并求出的极值点；
假设此处：在上单调递增，在上单调递减.
2.构造；
注：此处根据题意需要还可以进行中值构造，构造成的形式.
3.通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；
假设此处：在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到当时，.
4.不妨设，通过单调性，，与的大小关系得出结论；
接上述情况，由于时，＞且，，
故＞，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证.
5.若要证明：，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.
此处只需继续说明：因为，故＜，由于在上单调递减，故.
典型例题
【例1】已知函数.
(1)讨论的单调性：
(2)设为两个不相等的正数,且,证明：.
【解析】 （1）由函数的解析式可得，
∴，，单调递增；，，单调递减；
则在单调递增，在单调递减.
(2)证明:由，得,
即.
由（1）在单调递增，在单调递减，所以且.
令,则为的两根，其中.
不妨令,则，
先证,即证,即证,
令,
则在单调递减,
所以,
故函数在单调递增,
∴,得证.
同理,要证,
【解法1】 即证,
根据(1)中单调性,即证,
令,则,令,
单调递增,单调递减,
又时,,且,
故,,∴恒成立,得证,
【解法2】 ,
又,故,
故,
令,
在上,单调递增,所以,
即,所以,得证,
则.
【例2】已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,证明当时,;
(3)如果,且,证明.
【解析】 (1),令,解 得,当变化时,的变化情况如下表：
1
＋ 0 －
递增 极大值 递减
所以在内是增函数,在内是知函数.
函数在处取得极大值且.
(2)证明：由题意可知,得.令,即,于是,当时,,从而,又因为,所以,从而函数在是增函数.又因为,所以时,有,即.
(3)证明:①若,由(1)及,则.与矛盾.
②若,由(1)及,得.与矛盾.
根据①②得.不妨设.
由(2)可知,,则,所以,从而.因为,所以,又由(1)可知函数在区间内是增函数,所以,即.
【例3】已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)证明:当时,.
【解析】 (1)函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)证明:由题,易知时,时,.
因为,不妨设,
结合(1)可知.
要证,即证,于是作差构造辅助函数,
代入化简得.
再次局部构造辅助函数,求导得.当时,,即是上的单调知函数.于是,则.即.故时,.由,则.
又,即得.根据知是上的单调增函数,
而,所以,故得证.
【例4】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)设,证明:当时,;
(3)若函数的图象与轴交于两点,线段中点的横坐标为,证明:.
【解析】 (1)函数的定义域为,
①若,则由,得,且当时,,当时,
,所以在上单调递增,在上单调递减;
②当时,恒成立,因此在上单调递增.
(2)证明:设函数,则,当时,,而,所以,
故当时,.
(3)证明:由(1)可得,当时,函数的图象与轴至多有一个交点,故,从而
的最大值为,不妨设,则,由(2)得,,得在单调递减,∴,于是,由(1)知,.
【例5】已知函数.
(1)研究函数的单调性;
(2)设函数有两个不同的零点、,且.
①求的取值范围;
②求证:.
【解析】 (1)的定义域,
若,则恒成立,在单调递增函数;
若,令,解得,则在上单调递减,在上单调递增.
(2)证明:因为有两个不同的零点,由(1)知,且,
要证,即证,
由于,则,即证.
设,只需证即可,
可知在是单调递减函数,故,得证.
【例6】已知函数有两个不同的零点.
(1)求的取值范围;
(2)证明:;
(3)证明:.
【解析】(1)依题意,有两个相异的实根,即在上有两解 ,即0在上有两解 ,也就等价于在上有两解 ,即直线与曲线有两个交点.令,当时,单调递减;当时,单调递增.所以,在处,取得极小值,即,因为直线与曲线有两个交点,所以.
(2)证明:当时,令,
所以,
故,
整理得.
又.
因为,所以,所以,即,
所以.因为,即时,在内单调递减,也就是0,即当时,.
不妨假设,所以,又因为,也就是,所以.
因为,所以,即,且.
由(1)可知在单调递增,所以,也就是,证毕.
(3)证明:当时,令,整理得,
所以,
所以,即在内单调递減,即,
也就是当时,不妨假设,
所以,因为,
所以,因为,所以,且.由(1)可知在内单调递减,所以,也就是,证毕.
1第13讲 极值点偏移定义及判定定理
知识与方法
所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图象没有对称性.若函数在处取得极值，且函数与直线交于，两点，则的中点为，而往往，如下图所示.
极值点偏移问题的一般题设形式：
1.若函数存在两个零点且，求证：(为函数的极值点)；
2.若函数中存在且满足，求证：(为函数的极值点)；
3.若函数存在两个零点且，令，求证：.
4.若函数中存在且满足，令，求证：.
[抽化模型]答题模板：若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.
1.讨论函数单调性并求出的极值点；
假设此处：在上单调递增，在上单调递减.
2.构造；
注：此处根据题意需要还可以进行中值构造，构造成的形式.
3.通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；
假设此处：在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到当时，.
4.不妨设，通过单调性，，与的大小关系得出结论；
接上述情况，由于时，＞且，，
故＞，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证.
5.若要证明：，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.
此处只需继续说明：因为，故＜，由于在上单调递减，故.
典型例题
v
【例1】已知函数.
(1)讨论的单调性：
(2)设为两个不相等的正数,且,证明：.
【例2】已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,证明当时,;
(3)如果,且,证明.
【例3】已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)证明:当时,.
【例4】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)设,证明:当时,;
(3)若函数的图象与轴交于两点,线段中点的横坐标为,证明:.
【例5】已知函数.
(1)研究函数的单调性;
(2)设函数有两个不同的零点、,且.
①求的取值范围;
②求证:.
【例6】已知函数有两个不同的零点.
(1)求的取值范围;
(2)证明:;
(3)证明:.
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