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6.4.1 平面几何中的向量方法
学习目标
1、能运用向量的模长公式求解平面图形中的线段长度问题；
2、能运用向量的夹角公式求解平面图形中的角度计算问题；
3、能运用向量共线与垂直的充要条件求解平面图形中有关平行与垂直的问题。
常考题型
知识梳理
一、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系。
二、利用向量证明平面几何的两种经典方法及步骤：
1、线性运算法
（1）选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）；
（2）利用基底表示相关向量；
（3）利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
（4）把计算结果“翻译”为几何问题。
2、坐标运算法
（1）建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）；
（2）把相关向量坐标化；
（3）用向量的坐标运算找到相应关系；
（4）利用向量关系回答几何问题。
二、平面几何中证明问题的具体转化方法
1、证明线段，可转化为证明；
2、证明线段，只需证明存在一个实数，使成立；
3、证明两线段，只需证明数量积；
4、证明三点共线，只需证明存在一个，使成立。
题型精析
题型一 利用向量证明线段垂直
【例1】（2023·全国·高一随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：．
【变式1-1】（2023·陕西西安·高一统考期末）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.
（1）请用、表示向量；
（2）设和的夹角为，若，且，求证：.
【变式1-2】（2023·海南·高一校考期中）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.
（1）设，，用，表示，；
（2）猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想.
【变式1-3】（2023·山东济南·高一山东师范大学附中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心．
（1）求重心E的坐标；
（2）用向量法证明：．
题型二 利用向量证明线段平行
【例2】（2023·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E，F，使BE=DF．用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形．
【变式2-1】（2023·高一课时练习）设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点
（1）试用向量证明：PQAB；
（2）若AB=3CD，求PQ：AB的值.
【变式2-2】（2023·河北保定·高一校联考期中）已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线．
（1）求的最小值．
（2）若点满足，证明：．
【变式2-3】（2023·广东·高二校联考阶段练习）如图，三点不共线，，，设，.
（1）试用表示向量；
（2）设线段的中点分别为，试证明三点共线.
题型三 利用向量求线段的长度
【例3】（2023·福建·高一校联考期中）在中，点D是边的中点，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）在平面内，若，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）已知，，，，点D在边上且，则长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2022·山东济宁·高一统考期中）已知两点分别是四边形的边的中点，且，，，，则线段的长为是
题型四 利用向量求几何夹角
【例4】（2023·福建厦门·高一校考期中）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则 .
【变式4-1】（2023·山东聊城·高一统考期末）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．
【变式4-2】（2023·湖南怀化·高一统考期末）在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为
【变式4-3】（2022·山东菏泽·高一统考期末）如图，在中，已知，，，且.求.
题型五 判断三角形的形状
【例5】（2023·重庆·高一校联考阶段练习）在中，若，则一定为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形
【变式5-1】（2023·广西·高一校联考期中）若非零向量与满足，且，则为（ ）
A．三边均不等的三角形 B．直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形
【变式5-2】（2023·北京顺义·高一北京市顺义区第一中学校考阶段练习）是所在平面内一点，满足，则的形状是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【变式5-3】（2023·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）在中，是边的中点，且对于边上任意一点，恒有，则一定是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
题型六 平面几何中的最值及问题
【例6】（2023·高一单元测试）已知向量共面，且均为单位向量，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2022·甘肃白银·高一校考期中）如图，点是半径为的扇形圆弧上一点，，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2023·山西朔州·高一校联考阶段练习）已知向量满足，若对任意的实数，都有，则的最小值为 .
【变式6-4】（2023·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）、、三点在半径为的圆上运动，且，是圆外一点，，则的最大值是 ．6.4.1 平面几何中的向量方法
学习目标
1、能运用向量的模长公式求解平面图形中的线段长度问题；
2、能运用向量的夹角公式求解平面图形中的角度计算问题；
3、能运用向量共线与垂直的充要条件求解平面图形中有关平行与垂直的问题。
常考题型
知识梳理
一、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系。
二、利用向量证明平面几何的两种经典方法及步骤：
1、线性运算法
（1）选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）；
（2）利用基底表示相关向量；
（3）利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
（4）把计算结果“翻译”为几何问题。
2、坐标运算法
（1）建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）；
（2）把相关向量坐标化；
（3）用向量的坐标运算找到相应关系；
（4）利用向量关系回答几何问题。
二、平面几何中证明问题的具体转化方法
1、证明线段，可转化为证明；
2、证明线段，只需证明存在一个实数，使成立；
3、证明两线段，只需证明数量积；
4、证明三点共线，只需证明存在一个，使成立。
题型精析
题型一 利用向量证明线段垂直
【例1】（2023·全国·高一随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：．
【答案】证明过程见解析
【解析】由题意得，，
故，
因为，所以，故.
【变式1-1】（2023·陕西西安·高一统考期末）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.
（1）请用、表示向量；
（2）设和的夹角为，若，且，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）.
（2），
，.
【变式1-2】（2023·海南·高一校考期中）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.
（1）设，，用，表示，；
（2）猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想.
【答案】（1），；（2），证明见解析
【解析】（1），
；
（2），证明如下：
由（1）知，，
所以，
设，则，
所以，所以，得证.
【变式1-3】（2023·山东济南·高一山东师范大学附中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心．
（1）求重心E的坐标；
（2）用向量法证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）如图，
∵，，，
∴，则由重心坐标公式，得；
（2）．
易知的外心F在y轴上，可设为．
由，得，
∴，即．
∴．
∴，
∴，即．
题型二 利用向量证明线段平行
【例2】（2023·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E，F，使BE=DF．用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】如图，
因为四边形为平行四边形，所以.
又在直线上,所以,
从而,
所以,即与平行且相等，
所以四边形是平行四边形.
【变式2-1】（2023·高一课时练习）设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点
（1）试用向量证明：PQAB；
（2）若AB=3CD，求PQ：AB的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）∵Q为BD中点，∴，
又P为AC中点，∴；
∴2()，
又向量与共线，
设向量，则2(1+λ)，∴①，
又梯形ABCD中||≠||，∴λ≠﹣1，∴，即PQAB；
（2）∵向量与反向，且||=3||；
所以，即λ代入①式，得，
∴PQ：AB.
【变式2-2】（2023·河北保定·高一校联考期中）已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线．
（1）求的最小值．
（2）若点满足，证明：．
【答案】（1）4；（2）证明见解析
【解析】（1）由题可知，
因为点为的中点，所以
，
因为三点共线，所以，
，
当且仅当时，等号成立．
所以的最小值为4.
（2）由，
则，即，
，
所以，
又三点不共线，所以．
【变式2-3】（2023·广东·高二校联考阶段练习）如图，三点不共线，，，设，.
（1）试用表示向量；
（2）设线段的中点分别为，试证明三点共线.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1），，三点共线，，①
同理，，，三点共线，可得，②
比较①，②，得解得，，
．
（2），，，
，，
，，，三点共线．
题型三 利用向量求线段的长度
【例3】（2023·福建·高一校联考期中）在中，点D是边的中点，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，由题意可得：，
即，解之得.故选：A
【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）在平面内，若，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，
以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，
如图.设|AB1|＝a，|AB2|＝b，点O的坐标为(x，y)，
则点P的坐标为(a，b)，.
由得
则
又由，得，则，即①.
又，得，则；
同理由，得，即有②.
由①②知，所以.
而，所以，故选：D.
【变式3-2】（2023·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）已知，，，，点D在边上且，则长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】中，点D在边上且，
则
又，，，
则
，即长度为，故选：D
【变式3-3】（2022·山东济宁·高一统考期中）已知两点分别是四边形的边的中点，且，，，，则线段的长为是
【答案】
【解析】作，交于点，则，
，则；
，，
又，，，
，
.
题型四 利用向量求几何夹角
【例4】（2023·福建厦门·高一校考期中）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则 .
【答案】
【解析】设，，则，
，又，，
所以
.
【变式4-1】（2023·山东聊城·高一统考期末）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．
【答案】
【解析】因为是的中点，所以，
，
因为，，
，
所以
，
所以.
【变式4-2】（2023·湖南怀化·高一统考期末）在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为
【答案】
【解析】由已知得即为向量与的夹角.
因为M、N分别是，边上的中点，
所以，.
又因为，
所以，
,
,
所以.
【变式4-3】（2022·山东菏泽·高一统考期末）如图，在中，已知，，，且.求.
【答案】
【解析】由题意得，的夹角为，
，则，
又，所以，
故，
同理
于是，，
，
.
题型五 判断三角形的形状
【例5】（2023·重庆·高一校联考阶段练习）在中，若，则一定为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形
【答案】B
【解析】由得：，
，为直角三角形，故选：B.
【变式5-1】（2023·广西·高一校联考期中）若非零向量与满足，且，则为（ ）
A．三边均不等的三角形 B．直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形
【答案】C
【解析】，
的角平分线与BC垂直，
，，
则是顶角为的等腰三角形，故选：C.
【变式5-2】（2023·北京顺义·高一北京市顺义区第一中学校考阶段练习）是所在平面内一点，满足，则的形状是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【解析】因为，
由可得，
可得，整理可得，，
所以，为直角三角形，故选：C.
【变式5-3】（2023·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）在中，是边的中点，且对于边上任意一点，恒有，则一定是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解析】如下图所示，取的中点，
显然，，
同理，，
因为，所以，
即，所以，
因为是的中点，所以,
所以，所以一定是直角三角形，故选：A
题型六 平面几何中的最值及问题
【例6】（2023·高一单元测试）已知向量共面，且均为单位向量，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为向量共面，且均为单位向量，，
可设，，，如图，
所以，当与同向时，此时有最大值，为，故选：A.
【变式6-1】（2022·甘肃白银·高一校考期中）如图，点是半径为的扇形圆弧上一点，，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，；
以为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，
则，，设，，
由得：，，
，
其中，，
，，当时，，故选：B.
【变式6-2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
又，
且，所以．
设与的夹角为，
则．
因为，所以，故选：C．
【变式6-3】（2023·山西朔州·高一校联考阶段练习）已知向量满足，若对任意的实数，都有，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为，所以对任意的实数恒成立，
即，
所以，所以.
所以，
当且仅当与反向时等号成立，即的最小值为.
【变式6-4】（2023·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）、、三点在半径为的圆上运动，且，是圆外一点，，则的最大值是 ．
【答案】
【解析】连接，如下图所示：
因为，则为圆的一条直径，故为的中点，
所以，，
所以，，
当且仅当共线且同向时，等号成立．

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