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市北初级中学2022学年第二学期七年级数学期末练习卷
（完卷时间90分钟 满分100分） 2023.6
注意：答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答.
一、选择题（本大题共有6题，每题3分，满分18分）
1．下列说法中，正确的是（ ▲ ）.
A．无限小数都是无理数； B．无理数都是带有根号的数；
C．、都是分数； D．实数分为正实数，负实数和零.
2．在同一平面内如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线的位置关系是（ ▲ ）.
A. 平行； B. 垂直；
C. 相交； D. 可能垂直，也有可能平行.
3．已知为平面直角坐标系中一点，下列说法正确的是（ ▲ ）.
A．点A在第四象限； B．点A到轴的距离是；
C．点A到轴的距离是； D．点A的横坐标是.
4.下列说法中错误的是（ ▲ ）.
A．三角形的高、中线、角平分线都是线段； B．三角形的三条中线交于同一点；
C．三角形的三条角平分线交于同一点； D．直角三角形的三条高的交点在三角形内部.
5. 只给定三角形的两个元素，画出的三角形的形状和大小是不确定的，在下列给定的两个条件上增加一个“AB=5cm”的条件后，所画出的三角形的形状和大小仍不能完全确定的是（ ▲ ）.
A. ∠A=30°,BC=3cm； B. ∠A=30°,AC=3cm；
C. ∠A=30°,∠C=50° ； D. BC=3cm, AC=6cm.
6. 下列说法中，正确的是（ ▲ ）.
A. 腰对应相等的两个等腰三角形全等； B. 等腰三角形角平分线与中线重合；
C. 底边和顶角分别对应相等的两个等腰三角形全等； D. 形状相同的两个三角形全等．
二、填空题（本大题共12题，每小题2分，满24分）.
7．若，则x的值为 ▲ ．
8． ▲ ．
9．比较大小：4 ▲ （填“>”或“<”）．
10．某计算机运算速度的近似数用科学记数法表示为每秒次，这个近似数据保留了 ▲ 个有效数字．
11．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ▲ ．
12．若点A在数轴上对应的数是2，那么点B在数轴上对应的数是，则A、B两点的距离是 ▲ ．

(第13题) (第15题)
13．如图，直线，被直线所截，若，，，则 ▲ °．
14．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出 的依据是 ▲ ．

15．如图△ABC中，AD⊥BC于点,于点，与BE相交于点，若，，，则AF的大小是 ▲ ．
16．如图，在△ABC中，，是边上的中线，在上取一点E，连结，使得，若，则 ▲ ．
17．如图，在△ABC中，，，、BE为△ABC的两条高，则 ▲ ．
18. 如图，在△ABC中，，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为 ▲ ．
三、计算题：(本题共4题，每题5分，满分20分)
19．计算：－＋． 20．计算：．
利用幂的运算性质计算： .
计算：.
四、解答题（本题共3题，每题6分，满分18分）
23．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，把△ABC先向右平移3个单位，再向下平移4个单位可以得到．
(1)画出平移后的图形；
(2)请写出平移后的各个顶点，，的坐标；( ▲ ) ( ▲ ) ( ▲ ) ；
(3)三角形的面积是 ▲ ．
24．如图，已知点E、D、C、F在一条直线上，∠ADE+∠BCF=180°，BE平分∠ABC，∠ABC=2∠E.
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；
解：（1）AD∥BC，理由如下：
∵∠ADE+∠ADF=180°（平角的定义），
∠ADE+∠BCF=180°（已知），
∴∠ADF=∠ ▲ （ ▲ ），
∴ AD∥BC （ ▲ ）.
（2）AB与EF的位置关系是： ▲ .
∵BE平分∠ABC （已知），
∴∠ABC =2∠ABE（角平分线的定义），
又∵∠ABC=2∠E （已知），
∴∠E=∠ ▲ ，
∴ AB ▲ EF（ ▲ ） .
25. 阅读并填空：如图：根据六年级第二学期学过的用直尺、圆规作线段中点的方法，画出了线段AB的中点C，请说明这种方法正确的理由．
解：连接AE、BE、AF、BF．
△AEF和△BEF中，
EF＝EF（　 ▲ 　），
　 ▲ 　＝　 ▲ 　（画弧时所取的半径相等），
　 ▲ 　＝　 ▲ 　（画弧时所取的半径相等）．
所以△AEF≌△BEF （　 ▲ 　），
所以∠AEF＝∠BEF （　 ▲ ）.
又AE＝BE，
所以AC＝BC （　 ▲ 　），
即点C是线段AB的中点．
五、解答题（第26题8分、第27题12分满分20分）
26. 如图，已知AD∥BC ，连接AB、CD, 点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且．
（1）求证：≌；
（2）连接，判断与的位置关系并说明理由．
27．探究：（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．请直接写出线段BD、DE、CE之间的数量关系是　 ▲ 　;
拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由;
应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，
请直接写出图3中所有全等三角形 　▲ ; ②求证：△DEF是等边三角形.
附加题（满分20分） （本部分作答直接写在此卷子上）
1．点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为A、B．若，则点P称为“好点”．例如：点，因为，所以点M是“好点”．
(1)在点，，中，“好点”是______；
(2)若是“好点”，求a的值．
如果，求的值．
3．如图，在中，，将绕点逆时针旋转到，边和边相交于点P，边和边相交于，当△BPQ为等腰三角形时，则__________．
(备用图）
4．已知，是等边三角形，是直线上一点，以为顶点作 ． 交过且平行于的直线于，求证：；当为的中点时，（如图1）小明同学很快就证明了结论：他的做法是：取的中点，连结，然后证明． 从而得到，我们继续来研究：
（1）如图2、当D是边BC上的任意一点时，求证：；
（2）如图3、当D在边BC的延长线上时，求证：；
（3）当在边的延长线上时，请利用图4画出图形，并说明上面的结论是否成立（不必证明）．
市北初级中学2022学年第二学期七年级数学期末练习卷参考答案
一．选择题（本大题共有6题，每题3分，满分18分）
D 2.A 3.C 4.D 5.A 6.C
二．填空题（本大题共有12题，每题2分，满分24分）
8或-8； 8. -6； 9. >; 10. 3；
6; 12. ； 13. 70°； 14. SSS；
2； 16. 55； 17. 2:3； 18. 24°
计算题：(本题共4题，每题5分，满分20分)
计算：－＋
解：原式..........................3’
.........................................................1’
．.............................................................1’
20．计算：．
解：原式.........................4’
．.........................1’．
21．利用幂的运算性质计算：． ．
解：原式.........................2’
........................2’
．........................1’
22．
解：原式........................2’
........................2’
．........................1’
解答题（本题共3题，每题6分，满分18分）
23.（1）解：如图所示，结论即为所求...........1’
作图...................1’
，，；.......................2’
，....................2’
24.解：（1）AD∥BC，理由如下：
∵∠ADE+∠ADF=180°，（平角的定义）
∠ADE+∠BCF=180°，（已知）
∴∠ADF=∠ BCF ，（同角的补角相等__ ） ...........................2’
∴ AD∥BC;（同位角相等，两直线平行 ）；....................1’
（2）AB与EF的位置关系是： AB∥EF _.....................1’
∵BE平分∠ABC（已知）
∴∠ABE=∠ABC（角平分线的定义）
又∵∠ABC=2∠E, （已知） ,
即∠E=∠ABC，
∴∠E=∠_ABE .....................1’
∴ AB ∥EF （内错角相等，两直线平行 ）；....................1’
25.如图，连接AE、BE、AF、BF，(每空1分）
在△AEF和△BEF中，
EF＝EF（公共边），
AE＝BE（画弧时所取的半径相等），
AF＝BF（画弧时所取的半径相等）．
所以△AEF≌△BEF（SSS）．
所以∠AEF＝∠BEF（全等三角形的对应角相等）．
又AE＝BE，
所以AC＝BC（等腰三角形三线合一）．
即点C是线段AB的中点．
五、解答题（第26题8分、第27题12分满分20分）
26.（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠BFE，....................1’
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，....................1’
在△ADE和△BFE中，
，....................1’
∴△ADE≌△BFE（AAS）；....................1’
（2）EG⊥DF，....................1’
理由如下：连接EG，
∵∠GDF＝∠ADE，∠ADE＝∠BFE，
∴∠GDF＝∠BFE，....................1’
∴DG＝FG，....................1’
由（1）得：△ADE≌△BFE
∴DE＝FE，....................1’
即GE为DF上的中线，
又∵DG＝FG，
∴EG⊥DF．
27.1．探究：（1）DE=BD+CE；....................2’
（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，..................1’
进而由AAS就可以得出△BAD≌△ACE，...................1’
就可以得出BD＝AE，DA＝CE，DE=BD+CE；即可得出结论；...................2’
(3)①△BDF≌△AEF，△BAF≌△ACF，△DAF≌△ECF，△BDA≌△AEC..................2’
②由等边三角形的性质，可以求出∠BAC＝120°，就可以得出△BAD≌△ACE，就有BD＝AE，进而得出△BDF≌△AEF，得出DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，而得出∠DFE＝60°，即可推出△DEF为等边三角形．.................4’
市北初级中学2022学年第二学期七年级数学期末加试卷参考答案
1.（4分）（1）∵，
∴A是“好点”，∵，∴B不是“好点”，
∵，∴C是“好点”．∴A和C是好点．
故答案为：A和C....................1’
（2）∵是“好点”
∴，
①当时，， 解得；
②当时，， 解得． ∴．....................3’
2.（4分）∵，∴，，...................1’
∴，∴，
即，....................1’
∵，∴，
∴，
∴．....................2’
3.（6分）或
解：如图，过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，
由旋转可得，△ABC≌△A'BC'，则BD＝BE，∴BP平分∠A'PC，
又∵∠C＝∠C'＝30°，∠BQC＝∠PQC'，∴∠CBQ＝∠C'PQ＝，
∴∠BPQ＝（180° ∠C'PQ）＝90° ，
分三种情况：
①如图所示，当PB＝PQ时，∠PBQ＝∠PQB＝∠C＋∠QBC＝30°＋，
∵∠BPQ＋∠PBQ＋∠PQB＝180°，∴90° ＋2×（30°＋）＝180°，
解得＝20°；....................2’
②如图所示，当BP＝BQ时，∠BPQ＝∠BQP，
即90° ＝30°＋，解得＝40°；....................2’
③当QP＝QB时，∠QPB＝∠QBP＝90° ，又∵∠BQP＝30°＋，
∴∠BPQ＋∠PBQ＋∠BQP＝2（90° ）＋30°＋＝210°＞180°（不合意），....................2’
故答案为：20°或40°．
4.（6分，每题2分）（1）证明：在AB上截取AF=DC，连接FD，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=60°，
又∵AF=DC， ∴BF=BD， ∴△BDF是等边三角形，∴∠BFD=60°，∴∠AFD=120°，
又∵AB∥CE，∴∠DCE=120°=∠AFD，
而∠EDC+∠ADE=∠ADC=∠FAD+∠B∠ADE=∠B=60°，∴∠FAD=∠CDE，
在△AFD和△DCE中
，∴△AFD≌△DCE（ASA），∴AD=DE；
（2）证明：在BA的延长线上截取AF=DC，连接FD，如图所示：（方法同上）
（3）解：AD=DE仍成立．理由如下：
在AB的延长线上截取AF=DC，连接FD，如图所示：（方法同上）

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