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指数函数
一、主要概念、定理、公式及规律
1．函数，且)叫做指数函数（exponential function），其中指数是自变量，定义域是．
2．指数函数的图象和性质．
图象
定义域
值域
过定点 图象过定点，即当时，．
奇偶性 非奇非偶
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
函数值的变化情况 ， ，
变化对图象影响 在第一象限内，越大图象越高，越靠近轴；在第二象限内，越大图象越低，越靠近轴。 在第一象限内，越小图象越低，越靠近轴；在第二象限内，越小图象越高，越靠近轴。
二、思想、方法点拨
1．明确指数函数的概念，理解并掌握指数函数的图象和性质．
2．借助指数函数的图象理解性质，并会用数形结合的思想方法来解决有关问题．
3．在掌握指数函数图象和性质的基础上解决与指数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、图象、不等式、方程等问题．
典型例题
类型一 指数函数的判定
例1 有下列函数：（1）；（2）；（3）；（4），且．其中指数函数的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
例2 （1）指数函数的图象过点，则 ．
（2）若函数，且是指数函数，则 ， ．
类型二 指数函数图象过定点问题
例3 求证：函数，且的图象恒过定点，并求此定点的坐标．
类型三 指数函数图象的平移、对称变换问题
例4 函数的图象可以由指数函数的图象经过怎样的变换得到
类型四 与指数函数复合的函数的定义域、值域
例5 求下列函数的定义域和值域：
（1）；
（2）；
（3）．
当堂训练
一、单选题
1.已知函数是指数函数，则的值 为( ).
A.1 B.2 C.1或2 D.任意值
2.若函数的图象不经过第二象限，则，的取值范围是( ).
A., B.,
C., D.,
3.函数 的值域为( ).
A. B. C. D.
4.要得到函数的图象，只需将函数的图象( ).
A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
5.函数的大致图象是( ）
A. B.
C. D.
6.已知函数的值域为集合，函数的值域为集合，则（ ）.
A. B.
C. D.
7.已知函数.若，则（ ）
A.5 B.7 C.9 D. 11
二、多选题
8.若函数是指数函数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
9.下列命题是真命题的是（ ）
A．是幂函数 B．不是指数函数
C．不是幂函数 D．是指数函数
三、填空题
10.函数的值域是 .
11.不论为何值，函数的图象恒过定点，则这个定点的坐标是
12.如果函数的定义域为，那么实数的取值范围为
课后作业
1.设，满足，下列不等式中，正确的是（ ).
A. B. C. D.
2.当时，指数函数的图象在指数函数的图象的上方，则的取值范围是
3.求下列函数的定义域和值域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
4.已知函数
（1）作出此函数的图象；
（2）由图象指出其单调区间；
(3)由图象指出当取什么值时，函数有最值.
5.已知函数，当其值域为时，的取值范围是( ).
A. B. C. D.
6.已知函数(其中）.若的图象如图所示，则函数的图象是( ).
（B）
（D）
7.求函数，且的最小值.
8.根据下列条件，分别求(，且)的取值范围：
（1)函数的定义域为；
(2)函数的值域为.
9.若函数,且在上的最大值为，求的值.
10.已知函数.
（1）求证：对于，总有；
（2）求的值.指数函数
一、主要概念、定理、公式及规律
1．函数，且)叫做指数函数（exponential function），其中指数是自变量，定义域是．
2．指数函数的图象和性质．
图象
定义域
值域
过定点 图象过定点，即当时，．
奇偶性 非奇非偶
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
函数值的变化情况 ， ，
变化对图象影响 在第一象限内，越大图象越高，越靠近轴；在第二象限内，越大图象越低，越靠近轴。 在第一象限内，越小图象越低，越靠近轴；在第二象限内，越小图象越高，越靠近轴。
二、思想、方法点拨
1．明确指数函数的概念，理解并掌握指数函数的图象和性质．
2．借助指数函数的图象理解性质，并会用数形结合的思想方法来解决有关问题．
3．在掌握指数函数图象和性质的基础上解决与指数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、图象、不等式、方程等问题．
典型例题
类型一 指数函数的判定
例1 有下列函数：（1）；（2）；（3）；（4），且．其中指数函数的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】只有（4）符合指数函数的概念，（1）（2）（3）中的函数都不符合，且)的形式．故选
例2 （1）指数函数的图象过点，则 ．
（2）若函数，且是指数函数，则 ， ．
【解析】（1）设，且，因为的图象过点，
所以，，故，
所以，所以．
（2）根据指数函数的定义，得，解得．
类型二 指数函数图象过定点问题
例3 求证：函数，且的图象恒过定点，并求此定点的坐标．
【证明】 此函数的图象可以由指数函数的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位得到．而的图象恒过点，故此函数图象恒过定点．
类型三 指数函数图象的平移、对称变换问题
例4 函数的图象可以由指数函数的图象经过怎样的变换得到
【解析】．
先把的图象向左平移个单位，得到函数的图象，再作它关于轴的对称图形，得到的图象，最后将此图象向上平移个单位，就得到了函数的图象，即的图象．
类型四 与指数函数复合的函数的定义域、值域
例5 求下列函数的定义域和值域：
（1）；
（2）；
（3）．
【解析】（1）由，得，即，解得故函数的定义域为．
当时，，，，．
故函数的值域为．
（2）由，得故函数的定义域为．
由，有．故函数的值域为．
（3）由，得，则，即，所以．
故函数的定义域为．因为，
所以，即，
有，则．故函数的值域为．
当堂训练
1.已知函数是指数函数，则的值 为( ).
A.1 B.2 C.1或2 D.任意值
【答案】B
2.若函数的图象不经过第二象限，则，的取值范围是( ).
A., B.,
C., D.,
【答案】D
3.函数 的值域为( ).
A. B. C. D.
【答案】D
4.要得到函数的图象，只需将函数的图象( ).
A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
【答案】D
5.函数的大致图象是( ）
A. B.
C. D.
【答案】D
6.已知函数的值域为集合，函数的值域为集合，则（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
7.已知函数.若，则（ ）
A.5 B.7 C.9 D. 11
【答案】B
二、多选题
8.若函数是指数函数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据指数函数的定义求解.
【详解】因为函数是指数函数，
所以，解得或.
故选：AB
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．是幂函数 B．不是指数函数
C．不是幂函数 D．是指数函数
【答案】ACD
【分析】利用幂函数与指数函数的概念一一判定选项即可.
【详解】由幂函数的定义可知：是幂函数，不是幂函数，即A、C正确；
因为，
所以由指数函数的定义可知：都是指数函数，即B错误，D正确．
故选：ACD
三、填空题
10.函数的值域是 .
【答案】
11.不论为何值，函数的图象恒过定点，则这个定点的坐标是
【答案】
12.如果函数的定义域为，那么实数的取值范围为
【答案】
课后作业
1.设，满足，下列不等式中，正确的是（ ).
A. B. C. D.
【答案】C
2.当时，指数函数的图象在指数函数的图象的上方，则的取值范围是
【答案】
3.求下列函数的定义域和值域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）定义域为，值域为；
（2）定义域为，值域为；
（3）定义域为，值域为．
（4）定义域为，值域为．
4.已知函数
（1）作出此函数的图象；
（2）由图象指出其单调区间；
(3)由图象指出当取什么值时，函数有最值.
【答案】见详解；
【解析】（1）由函数解析式，可得
其图象由两部分组成:
一部分是:向左平移1个单位．
另一部分是:向左平移1个单位．如图所示
（2）由图象知，函数在上是增函数，在上是减函数；
（3）由图象知，当时，函数有最大值1，无最小值．
5.已知函数，当其值域为时，的取值范围是( ).
A. B. C. D.
【答案】D
6.已知函数(其中）.若的图象如图所示，则函数的图象是( ).
（B）
（D）
【答案】A
7.求函数，且的最小值.
【答案】
8.根据下列条件，分别求(，且)的取值范围：
（1)函数的定义域为；
(2)函数的值域为.
【答案】（1）．（2）
9.若函数,且在上的最大值为，求的值.
【答案】见详解
【解析】令，则，其对称轴为，该二次函数在上是增函数．
①若，因为，所以，故当，即时，，
解得舍去)．
②若，因为，
所以，故当，即时，
，所以舍去)．
综上所述，，或．
10.已知函数.
（1）求证：对于，总有；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）
（1）
（2）

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