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6.2.1&6.2.2 平面向量的加减法运算
知识点一 向量的加法运算
1、向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
2、向量求和的法则
求和法则 三角形法则 平行四边形法则
前提 已知非零向量， 已知两个不共线向量，
作法 在平面内取任意一点，作，连接 在平面内任取一点O，作＝，＝，以为邻边作 OACB，
结论 向量叫做与的和，记作＋，即＋＝＋ 以O为起点的向量就是向量与的和
图形
微点拨：
(1)三角形法则与平行四边形法则的记忆口诀
①三角形法则：作平移，首尾连，由起点，指终点；
②平行四边形法则：作平移，共起点，四边形，对角线．
(2)向量加法的三角形法则和平行四边形法则的区别和联系
区别 联系
三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何两个非零向量求和 当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
平行四边形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和
(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单．
3、向量加法中的常见结论
特殊规定 对于零向量与任意向量，规定
特殊结论 一般地，我们有，当且仅当，方向相同或者至少有一个为零向量时等号成立
两个物理模型 (1)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型； (2)力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型
4、向量加法的运算律
交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
微点拨：
①应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
②当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立．
③多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如
知识点二 相反向量
定义 与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作
性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量； (2)对于相反向量有：； (3)若互为相反向量，则
微点拨：
①相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．.
②避免一个误区：即将相反向量等同于方向相反的向量，而是方向相反且模相等的向量．
知识点三 向量的减法运算及其几何意义
定义 向量加上的相反向量，叫做与的差，即，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量．求两个向量差的运算叫做向量的减法
作法 在平面内任取一点，作
结论 向量
图形
几何意义 如果把两个向量,的起点放在一起，则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量
微点拨：
①向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，，就可以把减法转化为加法．
②两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点．
③向量减法满足三角形法则，在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
知识点四 向量加法和减法几何意义的联系
1、如图，在平行四边形ABCD中，若，则．
微点拨：
①若，则平行四边形ABCD为菱形．
②若，则平行四边形ABCD为矩形．
③若，且，则平行四边形ABCD为正方形．
2、类比，可知，其中的几何意义分别是以AB,AD为邻边的平行四边形的两条对角线的长．
微点拨：
①在公式中，当与方向相反且时，；当与方向相同时，．
②在公式中，当与方向相同且时，；当与方向相反时，．
考点一 向量的加法
题型一 已知向量作和向量
易错提醒 向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点．
1．（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的平行四边形法则作出向量．
(1)
(2)
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）（2）利用平面向量加法的平行四边形法则可作出向量.
【详解】（1）解：作，，以、为邻边作，，
则即为所求作的向量.

（2）解：作，，以、为邻边作，，
则即为所求作的向量.

2．（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．

【答案】详见解析
【分析】向量，，不共线中隐含着向量，，均为非零向量，因为零向量与任何一个向量都是共线的，利用三角形法则或平行四边形法则作图.
【详解】解法一：（三角形法则），如下图所示，作，，
则，再作，则，即.

解法二：（平行四边形法则）因为向量，，不共线，
如下图所示，在平面内任取一点O，作，，
以，为邻边作平行四边形，则对角线，
再作，以，为邻边作平行四边形，则.

3．（2022·高一课时练习）如图所示，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）按照向量加法法则直接计算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
题型二 向量加法的运算律及应用
提分笔记 解决向量加法运算问题时应关注两点 (1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算． (2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母的排列顺序，特别注意勿将写成0.
1．（2023下·天津红桥·高一统考期末）化简：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由向量加法的三角形法则可知.
【详解】.
故选：C.
2．（2023下·云南迪庆·高一统考期末）四边形是梯形，，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的加法运算法则即可求解.
【详解】,
故选：B
3．（2022下·广东梅州·高一兴宁市第一中学校考期中）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量加法的运算律计算可得；
【详解】解：
故选：B
4．（2023下·广西·高一统考期末）在矩形中，，，则等于（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【详解】根据向量的加法运算法化简，根据矩形的特征可求对角线的长度，进而可求模长．
【分析】在矩形中，由，可得，
又因为，故，故．
故选：A.
5．（2016·高一课时练习）如图所示，点分别为的三边的中点.
求证：
(1)；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由向量加法的三角形法则，得到，即可作出证明；.
（2）由向量加法的平行四边形法则，得到，进而作出证明.
【详解】（1）证明：由向量加法的三角形法则，
因为，所以.
（2）证明：由向量加法的平行四边形法则，
因为，
所以
.
题型三 向量加法的应用问题
提分笔记 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
1．（2023下·陕西榆林·高一统考期末）若向量表示“向东航行”，向量表示“向北航行”，则向量表示（ ）
A．向东北方向航行
B．向北偏东方向航行
C．向正北方向航行
D．向正东方向航行
【答案】B
【分析】根据向量的方向，画出图形，利用向量的加法运算，计算结果.
【详解】如图，

易知，所以．故的方向是北偏东．又.
2．（2023·全国·高一课堂例题）如图，无弹性的细绳OA，OB的一端分别固定在A，B处，同样的细绳OC下端系着一个称盘，且使得，试分析OA，OB，OC三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大.

【答案】分析答案见解析，OA受力最大
【分析】根据题意利用向量加法的平行四边形法则，画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系得出拉力最大的是OA．
【详解】设OA，OB，OC三根绳子所受的力分别为，，，则.
因为，的合力为，所以.
如图在平行四边形中，

因为，，
所以，，即，.
故细绳OA受力最大.
故选：B．
考点二 向量的减法运算
易错提醒 忽视只有向量共起点时才可用减法法则.
题型一 用已知向量求解向量的差
提分笔记 作两个向量的差的两种方法 (1)用向量减法的三角形法则 ①步骤： ②口诀：共起点，连终点，指向被减． (2)用向量减法的定义 根据转化为向量加法运算，再作图．
1．（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，求作．
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】（1）（2）（3）（4）根据平面向量的减法法则可作出向量.
【详解】（1）解：作，，则，即即为所求作的向量.

（2）解：作，，则，即即为所求作的向量.

（3）解：作，，则，即即为所求作的向量.

（4）解：作，，则，即即为所求作的向量.

2．（2024上·北京西城·高一统考期末）如图，在正六边形中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正六边形的性质转换相等向量即可.
【详解】.
故选：C
3．（2022上·浙江丽水·高三校考期中）如图所示，单位圆上有动点A，B，当取得最大值时，等于（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】由题可得，可得为直径时最大.
【详解】因为，A，B是单位圆上的动点，
所以的最大值为2，此时与反向.
故选：D.
题型二 向量的加减法混合运算
提分笔记 1．向量减法运算的常用方法 2．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和； (2)起点相同且为差． 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
1．（2023下·新疆·高一校考期中）化简下列各向量的表达式：
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1).
(2).
(3)
【分析】根据平面向量的加法运算和减法运算法则可求出结果.
【详解】（1）.
（2）
.
（3）
.
2．（2023·全国·高一随堂练习）化简：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】
【分析】根据向量加减法的几何意义进行运算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
故答案为：；；；.
3．（2022下·高一校考课时练习）如图所示，在矩形中，，，设，，，求.

【答案】
【分析】求出的值，利用平面向量的线性运算化简向量，即可求得的值.
【详解】解：在矩形中，，，
则，
因为，，，
则，
因此，.
题型三 向量加减法几何意义的应用
提分笔记 利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意 (1)一个关键： 一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道． (2)三点注意： ①注意相等向量、相反向量、共线向量与构成三角形三向量之间的关系； ②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律； ③注意在封闭图形中利用多边形法则．
1．（2022·高一课前预习）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是平行四边形ACDE内一点，且，，，试用向量表示向量，，.
【答案】，，
【分析】根据向量加法和减法的运算法则即可求解.
【详解】解：因为四边形ACDE是平行四边形，
所以，，.
2．（2021·高一课时练习）如图所示，，，.
(1)用表示；
(2)用表示.
【答案】(1)；
(2).
【分析】利用向量减法与加法的规则即可用表示，用表示
【详解】（1）.
（2）.
3．（2023·高一课时练习）已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算结合图形的性质分析求解.
【详解】在中，设，则，
因为，即，所以为等边三角形，
以为邻边作平行四边形，设交于点，
可得，
则，
因为，取的起点为，
可知的终点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，
如图，当点为的延长线与圆的交点时，的最大值为；
当点为线段与圆的交点时，的最小值为；
所以.
故选：A.

考点三 向量加减法在几何中的应用
题型一 向量模长的三角不等式
1．（2021下·高一课时练习）若向量满足，则的最小值为 ，的最大值为 ．
【答案】 1 5
【分析】根据向量的性质，根据的夹角情况求、的最值.
【详解】当反向时，有最小值；
当反向时，有最大值.
故答案为：
2．（2022·高一课时练习）若，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据向量加法的三角不等式计算可得.
【详解】因为，
所以，当且仅当与共线时取等号，
其中左端的等号是与反向时取得，右端的等号是与同向时取得，
所以.
故答案为：
题型二 利用向量加减法判断几何形状
1．（2023·全国·高一专题练习）在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据向量的减法法则可得，由三边相等关系即可得出结果.
【详解】因为，，
所以，
所以为等边三角形．
故选：A
2．（2023下·云南西双版纳·高一校考期中）在四边形中，若，且，则（ ）
A．在四边形是矩形
B．在四边形是菱形
C．在四边形是正方形
D．在四边形是平行四边形
【答案】A
【分析】由平面向量加法的平行四边形法则可判断为平行四边形，再由向量加法、减法运算和模的含义可得对角线相等，然后可判断四边形形状.
【详解】因为，所以四边形为平行四边形，
又，所以，即对角线相等，所以四边形为矩形.
故选：A
3．（2020下·高一课时练习）已知非零向量满足，且，则 .
【答案】4
【分析】根据向量加减运算及向量的模长可得出平行四边形OACB是矩形，由矩形对角线相等得解.
【详解】如图所示，设，，
则，
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则，
由于，
故，
所以是直角三角形，，
从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形，
根据矩形的对角线相等得，即.
4．（2023下·广东佛山·高一佛山市顺德区容山中学校考阶段练习）在平行四边形中，已知，且，．求．
【答案】
【分析】根据得到平行四边形是矩形，，计算得到答案.
【详解】，，，故，
故平行四边形是矩形,
，，
，
=.
5．（2023下·河南南阳·高一统考阶段练习）如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点．
(1)若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由．
(2)化简，并在图中作出表示该化简结果的向量．
【答案】(1)菱形，理由见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据平面向量加法的运算法则，结合菱形的定义进行求解判断即可；
（2）根据三角形中位线定理，结合平面向量运算法则进行求解即可.
【详解】（1）由条件知，
即，又四边形是平行四边形，故四边形是菱形．
（2）由平行四边形及三角形中位线的性质可知．
所以．
作出向量如图所示．6.2.1&6.2.2 平面向量的加减法运算
知识点一 向量的加法运算
1、向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
2、向量求和的法则
求和法则 三角形法则 平行四边形法则
前提 已知非零向量， 已知两个不共线向量，
作法 在平面内取任意一点，作，连接 在平面内任取一点O，作＝，＝，以为邻边作 OACB，
结论 向量叫做与的和，记作＋，即＋＝＋ 以O为起点的向量就是向量与的和
图形
微点拨：
(1)三角形法则与平行四边形法则的记忆口诀
①三角形法则：作平移，首尾连，由起点，指终点；
②平行四边形法则：作平移，共起点，四边形，对角线．
(2)向量加法的三角形法则和平行四边形法则的区别和联系
区别 联系
三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何两个非零向量求和 当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
平行四边形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和
(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单．
3、向量加法中的常见结论
特殊规定 对于零向量与任意向量，规定
特殊结论 一般地，我们有，当且仅当，方向相同或者至少有一个为零向量时等号成立
两个物理模型 (1)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型； (2)力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型
4、向量加法的运算律
交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
微点拨：
①应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
②当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立．
③多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如
知识点二 相反向量
定义 与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作
性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量； (2)对于相反向量有：； (3)若互为相反向量，则
微点拨：
①相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．.
②避免一个误区：即将相反向量等同于方向相反的向量，而是方向相反且模相等的向量．
知识点三 向量的减法运算及其几何意义
定义 向量加上的相反向量，叫做与的差，即，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量．求两个向量差的运算叫做向量的减法
作法 在平面内任取一点，作
结论 向量
图形
几何意义 如果把两个向量,的起点放在一起，则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量
微点拨：
①向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，，就可以把减法转化为加法．
②两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点．
③向量减法满足三角形法则，在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
知识点四 向量加法和减法几何意义的联系
1、如图，在平行四边形ABCD中，若，则．
微点拨：
①若，则平行四边形ABCD为菱形．
②若，则平行四边形ABCD为矩形．
③若，且，则平行四边形ABCD为正方形．
2、类比，可知，其中的几何意义分别是以AB,AD为邻边的平行四边形的两条对角线的长．
微点拨：
①在公式中，当与方向相反且时，；当与方向相同时，．
②在公式中，当与方向相同且时，；当与方向相反时，．
考点一 向量的加法
题型一 已知向量作和向量
易错提醒 向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点．
1．（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的平行四边形法则作出向量．
(1)
(2)
2．（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．

3．（2022·高一课时练习）如图所示，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
题型二 向量加法的运算律及应用
提分笔记 解决向量加法运算问题时应关注两点 (1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算． (2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母的排列顺序，特别注意勿将写成0.
1．（2023下·天津红桥·高一统考期末）化简：（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·云南迪庆·高一统考期末）四边形是梯形，，则等于（ ）

A． B． C． D．
3．（2022下·广东梅州·高一兴宁市第一中学校考期中）等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·广西·高一统考期末）在矩形中，，，则等于（ ）
A． B． C．3 D．4
5．（2016·高一课时练习）如图所示，点分别为的三边的中点.
求证：
(1)；
(2).
题型三 向量加法的应用问题
提分笔记 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
1．（2023下·陕西榆林·高一统考期末）若向量表示“向东航行”，向量表示“向北航行”，则向量表示（ ）
A．向东北方向航行
B．向北偏东方向航行
C．向正北方向航行
D．向正东方向航行
2．（2023·全国·高一课堂例题）如图，无弹性的细绳OA，OB的一端分别固定在A，B处，同样的细绳OC下端系着一个称盘，且使得，试分析OA，OB，OC三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大.

考点二 向量的减法运算
易错提醒 忽视只有向量共起点时才可用减法法则.
题型一 用已知向量求解向量的差
提分笔记 作两个向量的差的两种方法 (1)用向量减法的三角形法则 ①步骤： ②口诀：共起点，连终点，指向被减． (2)用向量减法的定义 根据转化为向量加法运算，再作图．
1．（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，求作．
(1)
(2)
(3)
(4)
2．（2024上·北京西城·高一统考期末）如图，在正六边形中，（ ）
A． B． C． D．
3．（2022上·浙江丽水·高三校考期中）如图所示，单位圆上有动点A，B，当取得最大值时，等于（ ）
A．0 B． C．1 D．2
题型二 向量的加减法混合运算
提分笔记 1．向量减法运算的常用方法 2．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和； (2)起点相同且为差． 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
1．（2023下·新疆·高一校考期中）化简下列各向量的表达式：
(1)；
(2)；
(3)；
2．（2023·全国·高一随堂练习）化简：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
3．（2022下·高一校考课时练习）如图所示，在矩形中，，，设，，，求.

题型三 向量加减法几何意义的应用
提分笔记 利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意 (1)一个关键： 一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道． (2)三点注意： ①注意相等向量、相反向量、共线向量与构成三角形三向量之间的关系； ②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律； ③注意在封闭图形中利用多边形法则．
1．（2022·高一课前预习）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是平行四边形ACDE内一点，且，，，试用向量表示向量，，.
2．（2021·高一课时练习）如图所示，，，.
(1)用表示；
(2)用表示.
3．（2023·高一课时练习）已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则（ ）
A． B．2 C． D．1
考点三 向量加减法在几何中的应用
题型一 向量模长的三角不等式
1．（2021下·高一课时练习）若向量满足，则的最小值为 ，的最大值为 ．
2．（2022·高一课时练习）若，则的取值范围为 .
题型二 利用向量加减法判断几何形状
1．（2023·全国·高一专题练习）在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2．（2023下·云南西双版纳·高一校考期中）在四边形中，若，且，则（ ）
A．在四边形是矩形
B．在四边形是菱形
C．在四边形是正方形
D．在四边形是平行四边形
3．（2020下·高一课时练习）已知非零向量满足，且，则 .
4．（2023下·广东佛山·高一佛山市顺德区容山中学校考阶段练习）在平行四边形中，已知，且，．求．
5．（2023下·河南南阳·高一统考阶段练习）如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点．
(1)若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由．
(2)化简，并在图中作出表示该化简结果的向量．

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