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2023-2024学年广西北海市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列代数式，不是分式的是( )
A. B. C. D.
2.某红外线遥控器发出的红外线波长为，用科学记数法表示这个数据是( )
A. B. C. D.
3.的平方根是( )
A. B. C. D.
4.与的和大于，用不等式表示为( )
A. B. C. D.
5.下列命题是真命题的是( )
A. 同位角互补，两直线平行 B. 三角形内角和等于
C. 对顶角相等 D. 内错角相等
6.和数轴上的点一一对应的是( )
A. 整数 B. 无理数 C. 实数 D. 有理数
7.如图，数轴上表示的不等式解集为( )
A. B. C. D.
8.下列各式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
9.计算的结果是( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则( )
A.
B.
C.
D.
11.已知一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为( )
A. B. C. 或 D. 或
12.如图，等边的边长为，点是边的中点，且，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
14.在，，，中，无理数的个数有______个
15.的算术平方根是______．
16.的相反数为______．
17.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么 ．
18.某大型超市从生产基地购进一批水果，运输及销售中估计有的苹果正常损耗，苹果的进价是每千克元，商家要避免亏本，需把售价至少定为______元千克．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：．
20.本小题分
计算：．
21.本小题分
解不等式组：．
22.本小题分
先化简，再求值：，从，中选取一个合适的数作为的值代入求值．
23.本小题分
如图，已知中，，，请用尺规完成下列作图只保留作图痕迹，不要求写出作法：
求作的角平分线；
求作，使，．
24.本小题分
八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表：
课题 测量学校教学楼高度
测量工具 测角仪、皮尺等
测量方案示意图
测量步骤 在教学楼外，选定一点；
测量教学楼顶点视线与地面夹角；
测的长度；
放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面；
测量标杆顶部视线与地面夹角．
测量数据 ，，，
请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值．
25.本小题分
为创建文明城市，促进生活垃圾分类工作的开展，某小区准备购买、两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：种垃圾桶每组的单价比种垃圾桶每组的单价少元，且用元购买种垃圾桶的组数量与用元购买种垃圾桶的组数量相等．
求、两种垃圾桶每组的单价；
若该小区物业计划用不超过元的资金购买、两种垃圾桶共组，则最多可以购买种垃圾桶多少组？
26.本小题分
八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答：
由已知和作图能得到≌的理由是______；
A.
求得的取值范围是______；
A.
B.
C.
D.
归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答．
如图，在中，点在上，且，过作，且求证：平分．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：符合分式的定义，它是分式，则不符合题意；
符合分式的定义，它是分式，则不符合题意；
符合分式的定义，它是分式，则不符合题意；
不符合分式的定义，它不是分式，则符合题意；
故选：．
形如是整式，中含有字母，的式子即为分式，根据分式的定义进行判断即可．
本题考查分式的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】【解答】
解：的平方根是．
故选：．
【分析】
根据平方根的定义和求法，可得的平方根是：，据此解答即可．
此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
4.【答案】
【解析】解：与的和大于，用不等式表示为，
故选：．
根据题意可以用不等式表示与的和大于，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是明确题意，用相应的不等式表示出题目中的语句．
5.【答案】
【解析】解：同位角互补，两直线平行是假命题，不符合题意；
B.三角形的内角和是是假命题，不符合题意；
C.对顶角相等是真命题，符合题意；
D.因为两直线平行内错角相等，所以内错角相等是假命题，不符合题意；
故选：．
根据对顶角的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，以及平行线的判定方法逐项分析即可．
此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．
6.【答案】
【解析】解：实数与数轴上的点是一一对应的，
和数轴上的点一一对应的是实数．
故选C．
根据实数与数轴上的点是一一对应的进行解答．
本题考查了实数与数轴的关系，熟记实数与数轴上的点是一一对应的是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：处是空心圆点，且折线向右，处是实心圆点，且折线向左，
不等式组的解集为：．
故选：．
直接根据数轴上表示的两个不等式的解集即可得出结论．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：、是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：．
根据最简二次根式的定义解答即可．
本题考查的是最简二次根式，熟知被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：原式，
故选：．
根据二次根式的运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
在中，，
，
的垂直平分线交于点，交于点，
，
，
，
故选：．
根据等边对等角即可求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数，再根据线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等得出，于是得出，从而求出的度数．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：若等腰三角形的腰长为，底边长为，
，
能组成三角形，
它的周长是：；
若等腰三角形的腰长为，底边长为，
，
能组成三角形，
它的周长是：，
综上所述，它的周长是：或．
故选：．
由等腰三角形两边长为、，分别从等腰三角形的腰长为或去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形．
此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系．此题难度不大，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解．
12.【答案】
【解析】解：作交于点，则，
是边长为的等边三角形，
，，，，
是等边三角形，
点是边的中点，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
的长为，
故选：．
作交于点，则，，，所以是等边三角形，则，求得，而，所以，可证明≌，得，于是得到问题的答案．
此题重点考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
直接利用二次根式有意义的条件得出答案．
【解答】
解：若在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：在，，，中，无理数的个数有，，共个．
故答案为：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
15.【答案】
【解析】解：的算术平方根是．
故答案为：．
直接利用算术平方根的定义得出答案．
此题主要考查了算术平方根，正确掌握相关定义是解题关键．
16.【答案】
【解析】解：根据相反数的定义的相反数为即．
故答案为：．
由于只有符号不同的两个数互为相反数，所以根据相反数的定义解答即可．
此题主要考查相反数的概念．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数．
17.【答案】
【解析】解：给图中角标上序号，如图所示．
，，
，
．
故答案为：．
由三角形的内角和为即可得出，结合即可求出的度数，再由和为对顶角即可得出的度数．
本题考查了三角形内角和定理和对顶角的知识，解题的关键是利用三角形的内角和为求出的度数．
18.【答案】
【解析】解：设售价应定为元千克，该超市共购进千克苹果，
根据题意得：，
即，
解得：，
的最小值为，
商家要避免亏本，需把售价至少定为元千克．
故答案为：．
设售价应定为元千克，该超市共购进千克苹果，利用总利润销售单价销售数量进货单价进货数量，结合不亏本即总利润非负，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
19.【答案】解：
．
【解析】先根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则、立方根的定义进行计算，然后再进行计算．
本题主要考查了实数的混合运算，掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则、立方根的定义是关键．
20.【答案】解：原式
．
【解析】利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质和乘法公式是解决问题的关键．
21.【答案】解：不等式可化为，
解得，
不等式可化为，
，
解得．
把解集表示在数轴上为：
原不等式组的解集为．
【解析】首先解出不等式组中的的取值范围，然后找出它们的公共部分，该公共部分就是不等式组的解集．
本题考查解不等式组，求出不等式公共解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
22.【答案】解：
，
，，
，，
当时，原式．
【解析】先计算分式的除法，再算减法，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23.【答案】解：如图，线段即为所求；
如图，即为所求．

【解析】根据要求作出图形；
作线段，分别以，为圆心，为半径作弧，两弧交于点，连接，，即为所求．
本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
24.【答案】解：，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
答：教学楼高度为．
【解析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
25.【答案】解：设种垃圾桶每组的单价为元，则种垃圾桶每组的单价为元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：种垃圾桶每组的单价为元，种垃圾桶每组的单价为元．
设购买种垃圾桶组，则购买种垃圾桶组，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
答：最多可以购买种垃圾桶组．
【解析】设种垃圾桶每组的单价为元，则种垃圾桶每组的单价为元，利用数量总价单价，结合用元购买种垃圾桶的组数量与用元购买种垃圾桶的组数量相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出种垃圾桶每组的单价，再将其代入中，即可求出种垃圾桶每组的单价；
设购买种垃圾桶组，则购买种垃圾桶组，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】
【解析】解：延长到点，使，
，
在和中，
，
≌，
故选：．
解：≌，
，
，，，
，
，
故选：；
证明：如图，延长至，使，连接，
，，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分．
根据三角形全等的判定定理去选择即可；
根据三角形全等的性质和三角形三边关系定理计算即可；
由“”可证≌，可得，，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证，可得平分．
本题是三角形综合题，考查了倍长中线法解题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法，灵活进行三角形全等的证明，是解题的关键．
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